Algèbre linéaire et bilinéaire

181 Pages·2015·4.93 MB·French

by  Bernard Le Stum

Algèbre linéaire et bilinéaire
(version du 11 décembre 2015)
Bernard Le Stum
Copyright(cid:13)c 2015BernardLeStum
Table des matières
I Première partie
1 Structures algébriques ......................................... 9
1.1 Ensemble 9
1.2 Monoïde, groupe 14
1.3 Anneau, corps 18
1.4 Module, espace vectoriel 19
1.5 Algèbre 21
1.6 Opérations élémentaires 23
1.7 Exercices 25
2 Algèbre linéaire .............................................. 29
2.1 Espace vectoriel 29
2.2 Image, noyau 30
2.3 Produit 32
2.4 Dual (début) 35
2.5 Orthogonal 37
2.6 Quotient 39
2.7 Exercices 44
3 Somme directe, base ......................................... 47
3.1 Somme directe (externe) 47
3.2 Somme directe interne 51
3.3 Base 53
3.4 Théorème d’existence 56
3.5 Dual (suite) 57
3.6 Exercices 60
II Seconde partie
4 Dimension ................................................... 65
4.1 Dimension 65
4.2 Rang 68
4.3 Changement de base 71
4.4 Dual (fin) 74
4.5 Exercices 78
5 Trace et déterminant ......................................... 81
5.1 Application multilinéaire 81
5.2 Produit tensoriel 85
5.3 Trace 88
5.4 Puissance extérieure 90
5.5 Déterminant 94
5.6 Exercices 98
6 Classification des endomorphismes .......................... 101
6.1 Polynôme annulateur 101
6.2 Diagonalisation 104
6.3 Endomorphisme nilpotent 107
6.4 Trigonalisation 108
6.5 Exercices 111
III Troisième partie
7 Forme quadratique .......................................... 117
7.1 Forme bilinéaire 117
7.2 Forme bilinéaire non dégénérée 119
7.3 Orthogonal 121
7.4 Forme quadratique 122
7.5 Décomposition d’une forme quadratique 125
7.6 Formes quadratiques complexes et réelles 127
7.7 Exercices 130
5
8 Espace vectoriel normé ...................................... 133
8.1 Topologie 133
8.2 Valeur absolue 135
8.3 Norme 136
8.4 Espace de Banach 139
8.5 Algèbre de Banach 141
8.6 Exponentielle 142
8.7 Fonction vectorielle 145
8.8 Exercices 148
9 Espace vectoriel euclidien ................................... 151
9.1 Produit scalaire 151
9.2 Espace euclidien 153
9.3 Réduction des matrices symétriques 157
9.4 Forme hermitienne 159
9.5 Espace préhilbertien 164
9.6 Exercices 166
IV Compléments
Solutions des exercices 171
Références
Références 181

I
Première partie
1 Structures algébriques ................ 9
1.1 Ensemble
1.2 Monoïde,groupe
1.3 Anneau,corps
1.4 Module,espacevectoriel
1.5 Algèbre
1.6 Opérationsélémentaires
1.7 Exercices
2 Algèbre linéaire ..................... 29
2.1 Espacevectoriel
2.2 Image,noyau
2.3 Produit
2.4 Dual(début)
2.5 Orthogonal
2.6 Quotient
2.7 Exercices
3 Somme directe, base ................ 47
3.1 Sommedirecte(externe)
3.2 Sommedirecteinterne
3.3 Base
3.4 Théorèmed’existence
3.5 Dual(suite)
3.6 Exercices

1. Structures algébriques
1.1 Ensemble
Nousnefaisonsqu’effleurerlaThéoriedesEnsemblesetnousrenvoyonslelecteurintéressé
versl’ouvrageéponymedeJean-LouisKrivine([4])parexemple.Ici,nousvoulonssurtoutrappeler
levocabulaireetfixerlesnotations.
Ensemble, élément
Définition1.1.1 Unensembleestune«collection»X d’objetsx,appeléslesélémentsdeX,qui
satisfonttousunemêmepropriétéP.C’estunnouvelobjet.
OnditalorsquexappartientàX,etonécritx∈X,ouquexsatisfaitlapropriétéP,etonécrit
P(x).
Exemple On définit par récurrence l’entier naturel n := {0,1,...,n−1} (c’est donc aussi un
ensemble)etl’ensembledesentiersnaturelsN:={0,1,2,...}(c’estdoncaussiunobjet).
Lathéoriedesensemblespermetdeconcrétiserlalogique(mathématique):
Mathématiques ←→ Logique
Objet ←→ Concept
Ensemble ←→ Propriété
{x/P(x)} ←→ x∈X
Égalité ←→ Équivalence
Inclusion ←→ Implication
Complémentaire ←→ Négation
Intersection ←→ Conjonction
Union ←→ Disjonction
Vide ←→ Impossible
Disjoint ←→ Incompatible
10 Chapitre 1. Structures algébriques
OndécritunensembleX endonnantunelistedesseséléments(enextension)ouendonnant
unepropriétéquilecaractérise(encompréhension).
Exemple 1. {1,−1}(extension) ={x∈Z/x2=1}(compréhension).
2. Ladiagonaleduplan:
∆:={(t,t), t ∈R}(extension) ={(x,y)∈R2 /y=x}(compréhension).
Produit, famille
Définition1.1.2 SoitSunensemble.Pourchaques∈S,soitX unensemble.Sionsedonne
s
pourtouts∈S,unélémentx ∈X ,onditque(x ) estunefamilleindexéeparS.Leproduit
s s s s∈S
desensemblesX estl’ensemble
s
∏X :={(x ) , x ∈X }
s s s∈S s s
s∈S
detoutescesfamilles.
Souvent,touslesX sontégauxaumêmeensembleX etonécritalors
s
XS:={(x ) , x ∈X}.
s s∈S s
Onparlealorsdepuissance(aulieudeproduit)etonditque(x ) estunefamilled’élémentsde
s s∈S
X.Aulieudefamille,onditn-uple(singleton,couple,triplet)siS=n,suitesiS=Netmatricesi
S=m×n.
Exemple 1. Commeoncomptetraditionnellementàpartirde1,onferasouventl’abusd’écri-
turen={1,...,n}(aulieude{0,...,n−1}).Parexemple,pourlesn-uples,onécriraplutôt
(x ,...,x )etonnoteleurensembleX ×···×X .
1 n 1 n
2. Demême,unematriceestunefamilleindexéeparn×m:c’estdonc(ennumérotantàpartir
de1)unobjetdelaforme
 
x ··· x
1,1 1,m
 ... ... ... .
x ··· x
n,1 n,m
LeurensemblesenoteaussiM (X)(ouM (X)lorsquem=n).
n×m n
Remarque Nepasconfondreensembleetfamille.Ona
{a,a}={a} et {a,b}={b,a}
mais les égalités analogues sont fausses pour les familles (l’ordre compte et on peut répéter).
Cependant, on peut jongler entre ces deux notions : si on se donne un ensemble X, il suffit de
prendreS:=X etdeconsidérerlafamille(x) ;etréciproquement,sionsedonneunefamille
x∈X
d’éléments(x ) d’unensembleX,onpeutregarderl’ensemble{x ,s∈S}⊂X.
s s∈S s
C’estplusanecdotiquemaisonpeutaussidéfinirl’uniondisjointe(appeléeaussisommeou
coproduit):
(cid:116) X ={(s,x ), s∈S,x ∈X }.
s∈S s s s s
Application