Algèbre L3A: Le grand combat [Lecture notes]

202 Pages·2010·1.03 MB·French

by  Grégory Berhuy

Alg`ebre L3A
Le grand combat
Gr´egory Berhuy

Table des mati`eres
partie I. Groupes : il faut agir!! 5
Chapitre I. Rappels de th´eorie des ensembles 7
I.1. Applications 7
I.2. Relations d’´equivalence 9
Chapitre II. Propri´et´es ´el´ementaires des groupes 13
II.1. G´en´eralit´es. 13
II.2. Sous-groupes. 19
II.3. Sous-groupes engendr´es par une partie. 22
II.4. Th´eor`eme de Lagrange, ordre d’un ´el´ement. 33
II.5. Actions de groupes. 38
Chapitre III. Groupe sym´etrique, groupe altern´e 43
III.1. Pr´eliminaires 43
III.2. D´ecomposition en produit de cycles. 45
III.3. Syst`emes de g´en´erateurs. 52
III.4. Signature, groupe altern´e. 53
III.5. Structure des groupes sym´etrique et altern´e. 56
Chapitre IV. Coloriages 61
IV.1. Formule de Burnside. 61
IV.2. Coloriages. 62
IV.3. Applications 68
IV.3.1. Le probl`eme de la roulette. 68
IV.3.2. Le probl`eme du collier. 69
Chapitre V. Groupes quotients 73
V.1. D´efinition 73
V.2. Th´eor`eme de factorisation. 76
Chapitre VI. Produits directs et semi-directs 79
VI.1. Pr´eliminaires 79
VI.2. Produits directs 80
VI.3. Produits semi-directs 83
Chapitre VII. Applications des groupes op´erants a` la structure
des groupes finis 89
VII.1. Premi`eres applications. 89
VII.2. Th´eor`eme de Sylow 94
3
4 TABLE DES MATIE`RES
partie II. Anneaux : la loi des irr´eductibles 99
Chapitre VIII. Propri´et´es ´el´ementaires des anneaux et des corps 101
VIII.1. G´en´eralit´es. 101
VIII.2. Diviseurs de z´ero, anneaux int`egres. 105
VIII.3. Unit´es, corps. 106
VIII.4. Exemple de l’anneau Z/nZ 108
VIII.5. Id´eaux. 109
VIII.6. Anneaux de polynˆomes. 111
VIII.7. Anneaux principaux et euclidiens. 119
Chapitre IX. Anneaux quotients. Th´eor`eme chinois 123
IX.1. Anneaux quotients, th´eor`eme de factorisation. 123
IX.2. Id´eaux premiers, maximaux. 126
IX.3. Th´eor`eme chinois. 128
Chapitre X. Factorisation dans les anneaux principaux 131
X.1. Divisibilit´e. 131
X.2. pgcd,ppcm 134
X.3. Factorisation dans les anneaux principaux. 135
partie III. Alg`ebre lin´eaire : r´eduisons en miettes! 143
Chapitre XI. Rappels et compl´ements d’alg`ebre lin´eaire 145
XI.1. G´en´eralit´es. 145
XI.2. Familles libres, g´en´eratrices, bases. 146
XI.3. Matrices repr´esentatives, changement de base. 149
XI.4. Somme d’espaces vectoriels. 150
XI.5. Espaces vectoriels quotients. 151
Chapitre XII. D´eterminant 155
XII.1. Formes multilin´eaires altern´ees, d´eterminant par rapport
a` une base. 155
XII.2. D´eterminant d’un endomorphisme. 158
XII.3. D´eterminant d’une matrice. 160
Chapitre XIII. R´eduction des endomorphismes 167
XIII.1. Polynˆomes d’endomorphismes. 167
XIII.2. R´eduction des endomorphismes. 174
XIII.3. D´ecomposition de Dunford. 180
XIII.4. D´ecomposition de Jordan. 187
XIII.5. R´eduction des endomorphismes normaux d’un espace
euclidien. 197
Premi`ere partie
Groupes : il faut agir ! !

CHAPITRE I
Rappels de th´eorie des ensembles
I.1. Applications
Dans ce paragraphe, E et F d´esigneront deux ensembles non vides et
f : E → F sera une application.
D´efinition I.1.1. On dit que f est injective si pour tout x,x(cid:48) ∈ E,
on a f(x) = f(x(cid:48)) ⇒ x = x(cid:48). Autrement dit, f est injective si pour tout
y ∈ F, l’´equation f(x) = y, x ∈ E a au plus une solution.
On dit que f est surjective si pour tout y ∈ F, l’´equation f(x) =
y, x ∈ E a au moins une solution.
On dit que f est bijective si elle est injective et surjective. Autrement,
f est bijective si pour tout y ∈ F, l’´equation f(x) = y, x ∈ E a
exactement une solution. Dans ce cas, il existe une unique application
g : F → E v´erifiant f ◦g = Id et g ◦f = Id . On la note f−1.
F E
D´efinition I.1.2. Si E(cid:48) ⊂ E, l’image (directe) de E(cid:48) par f est
l’ensemble
f(E(cid:48)) = {f(x(cid:48)) | x(cid:48) ∈ E}
= {y ∈ F | il existe x(cid:48) ∈ E(cid:48) tel que y = f(x(cid:48))}.
L’image de f est l’ensemble f(E). On le note aussi Im(f).
Si F(cid:48) ⊂ F, l’image r´eciproque de F(cid:48) par f est l’ensemble
f−1(F(cid:48)) = {x ∈ E | f(x) ∈ F}.
Attention! La notation est trompeuse, car f n’est pas n´ecessairement
bijective. On trouve parfois la notation f(cid:104)−1(cid:105)(F(cid:48)) pour ´eviter la confu-
sion.
Remarques I.1.3.
On a Im(f) = F si et seulement si f est surjective.
L’application E → Im(f),x (cid:55)→ f(x) est surjective. En particulier, si f
est injective, elle induit une bijection de E sur son image.
Exercice : Soit f : E → F une application. Montrer les propri´et´es
suivantes :
7
8 I. RAPPELS DE THE´ORIE DES ENSEMBLES
(1)Pour toutes parties F(cid:48),F(cid:48) de F, on a
1 2
f−1(F(cid:48) ∪F(cid:48)) = f−1(F(cid:48))∪f−1(F(cid:48))
1 2 1 2
f−1(F(cid:48) ∩F(cid:48)) = f−1(F(cid:48))∩f−1(F(cid:48)).
1 2 1 2
(2)Pour toute partie F(cid:48) de F, f(f−1(F(cid:48))) ⊂ F(cid:48) et on a
f(f−1(F(cid:48))) = F(cid:48) pour tout F(cid:48) ⊂ F ⇐⇒ f est surjective
(3)Pour toute partie E(cid:48) de E, f(f−1(E(cid:48))) ⊂ E(cid:48) et on a
f−1(f(E(cid:48))) = E(cid:48) pour tout E(cid:48) ⊂ E ⇐⇒ f est injective
(4)Pour toutes parties F(cid:48) et F(cid:48) de F, on a
1 2
f−1(F(cid:48)\F(cid:48)) = f−1(F(cid:48))\f−1(F(cid:48))
1 2 1 2
(5)Pour toute famille (F ) de parties de F, on a
i i∈I
(cid:32) (cid:33)
(cid:92) (cid:92)
f−1 F = f−1(F )
i i
i∈I i∈I
(cid:32) (cid:33)
(cid:91) (cid:91)
f−1 F = f−1(F ).
i i
i∈I i∈I
(6)Si l’on consid`ere de plus une application g : F → G, alors pour
toute partie G(cid:48) de G, on a
(gof)−1(G(cid:48)) = f−1(g−1(G(cid:48))).
(7)Pour toute famille (E ) de parties de E, montrer que
i i∈I
(cid:91) (cid:91)
f( A ) ⊂ f(A )
i i
i∈I i∈I
et
(cid:92) (cid:92)
f( A ) ⊂ f(A ).
i i
i∈I i∈I
Les inclusions sont-elle des ´egalit´es?
I.2. RELATIONS D’E´QUIVALENCE 9
I.2. Relations d’´equivalence
La notion de relation d’´equivalence sur un ensemble permet de mettre
en relation des ´el´ements qui sont similaires par une certaine propri´et´e.
On pourra ainsi regrouper ces ´el´ements par “paquets ” d’´el´ements qui
se ressemblent, d´efinissant ainsi la notion de classe d’´equivalence, pour
enfin construire de nouveaux ensembles en “assimilant” les ´el´ements
similaires `a un seul et mˆeme ´el´ement. On aboutit alors a` la notion
d’ensemble quotient.
D´efinition I.2.1. Soit E un ensemble non vide. Une relation sur E
est une partie non vide R de E ×E. On note x ∼ y si (x,y) ∈ R.
R
Une relation d’´equivalence sur E est une relation R satisfaisant les
propri´et´es suivantes :
(1) R´eflexivit´e : pour tout x ∈ E, x ∼ x.
R
(2) Sym´etrie : pour tout x,y ∈ E, si x ∼ y, alors y ∼ x.
R R
(3) Transitivit´e : pour tout x,y,z ∈ E, si x ∼ y et y ∼ z, alors
R R
x ∼ z.
R
On confondra souvent R et ∼ , et on parlera plutˆot de la relation
R
d’´equivalence ∼ ou ∼.
R
Si x ∈ E, la classe d’´equivalence de x est l’ensemble
x = {y ∈ E | y ∼ x}.
R
C’est le sous-ensemble des ´el´ements ´equivalents a` x. En particulier,
x ∈ x pour tout x ∈ E.
Exemples I.2.2. (1)La relation “=” est une relation d’´equivalence
surtoutensembleE nonvide,associ´eea`lapartieR = {(x,x) | x ∈ E.}
De plus, pour tout x ∈ E, on a
x = {x}.
(2)La relation “avoir la mˆeme parit´e” est une relation d’´equivalence
sur Z. Il y a deux classes d’´equivalence : l’ensemble P des entiers pairs,
et l’ensemble I des entiers impairs.
(3)Soit n ≥ 1 un entier. On dit que x,y ∈ Z sont congrus modulon
si x − y est un multiple de n. On le note x ≡ y mod n. C’est une
relation d’´equivalence sur Z.
D´efinition I.2.3. L’ensemble E/ dont les ´el´ements sont les diverses
∼
classes d’´equivalence de E pour la relation ∼ est appel´e ensemble
quotient de E par ∼.
Attention! Les ´el´ements de E/ sont des sous-ensembles de E.
∼
10 I. RAPPELS DE THE´ORIE DES ENSEMBLES
Exemple I.2.4. SiZestmunidelarelationd’´equivalence“avoirmˆeme
parit´e”, alors l’ensemble quotient a deux ´el´ements, qui sont P et I.
Proposition I.2.5. Soit E un ensemble non vide, que l’on suppose
muni d’une relation d’´equivalence ∼. Alors
(1)Pour tout x,y ∈ E, on a y ∼ x ⇐⇒ y = x.
(2)Deux classes d’´equivalence sont soit disjointes, soit ´egales.
(3)Les classes d’´equivalence forment une partition de E.
D´emonstration. Si y = x, alors y ∈ y = x, et donc y ∼ x. Inversement,
supposons que y ∼ x. Soit z ∈ y. Alors z ∼ y, et puisque y ∼ x, on a
z ∼ x. Ainsi z ∈ x, et donc y ⊂ x. Mais puisque y ∼ x, on a x ∼ y
et donc x ∈ y. Le mˆeme raisonnement montre que x ⊂ y, et donc
y = x. Montrons maintenant le second point. Soient x et y deux classes
d’´equivalence. Supposons qu’elles ne soient pas disjointes. Autrement
dit, il existe z ∈ E tel que z ∈ x et z ∈ y. Alors, par d´efinition, on a
x ∼ z et y ∼ z. On a alors y ∼ z et z ∼ x, et par suite y ∼ x. Le
premier point implique alors que y = x.
Enfin, pour montrer le dernier point, il reste a` montrer que E est la
r´euniondel’ensembledesesclassesd’´equivalence,lepoint(2)montrant
que cette union est disjointe. Mais c’est clair puisque x ∈ x pour tout
x ∈ E.
Exercice : Etantdonn´eunepartition(E ) d’unensembleE,montrer
i i∈I
qu’il existe une unique relation d’´equivalence sur E dont les classes
d’´equivalence sont les E ,i ∈ I.
i
Corollaire I.2.6. Soit ω ∈ E/ une classe d’´equivalence pour la rela-
∼
tion ∼. Alors pour tout x ∈ ω, on a ω = x.
D´emonstration. Par d´efinition d’une classe d’´equivalence, on peut
´ecrire ω = y pour y ∈ E. Si x ∈ ω = y, alors y ∼ x, et donc ω = y = x
par la Proposition I.2.5 (1).
D´efinition I.2.7. Soit ω ∈ E/ une classe d’´equivalence pour la rela-
∼
tion ∼. Un ´el´ement x ∈ E tel que ω = x est appel´e un repr´esentant
de ω. Par le corollaire pr´ec´edent, x ∈ E est un repr´esentant de ω si et
seulement si x ∈ ω.
Exemple I.2.8. Si E = Z est muni de la relation d’´equivalence ”avoir
mˆeme parit´e”, un repr´esentant de l’ensemble P des entiers pairs est 4.
D´efinition I.2.9. Soit E un ensemble non vide muni d’une relation
d’´equivalence ∼. L’application surjective
π : E → E/ ,x (cid:55)→ x
∼
est appel´ee la projection canonique.