ALGÈBRE - Institut de Mathématiques de Toulouse

75 Pages·2012·0.46 MB·French

ALGÈBRE
(COURS DE L3, PREMIER SEMESTRE 2012/2013)
J.Sauloy1
19novembre2012
1. InstitutmathématiquedeToulouseetU.F.R.M.I.G.,UniversitéPaulSabatier,118,routedeNarbonne,
31062ToulouseCEDEX4
Introduction
Contenu du cours
Le cours d’algèbre du premier semestre de L3 porte sur les anneaux, et ceux-ci sont presque
toujourscommutatifsetunitaires (saufdansquelquesexercices).Outre la théorie(élémentaire!),
onproposedenombreusesapplicationsarithmétiques(ycomprisdel’étudedesanneauxdepoly-
nômes). Desapplicationsgéométriques serontdonnées danslescours d’algèbredu premieretdu
second semestre de M1. Comme la structure d’anneau a pris de l’importance dans les mathéma-
tiquesduXXèmesiècle(engéométrieetenanalyse,lesanneauxdefonctionssurunespacesont
un moyen efficace d’étude de cet espace), l’étudiant trouvera dans ses cours de L3, M1 et M2 de
nombreuses autres applications (par exemple l’anneau C({z}) des séries entières, dans le cours
d’analysecomplexedusecondsemestredeL3).
Onaajoutéàl’étudedesanneauxquelquesconnaissancesd’algèbregénérale,voiredethéorie
desensembles,quisemblentdevoirfairepartied’un“socledelicence”maisnesontpasenseignées
(ousuffisammentdétaillées)ailleurs:propriétédeclôturealgébriquedeC,nombresalgébriques,
résultant,dénombrabilitéetpuissanceducontinu,famillesindexéesparunensemblearbitraire...
Enfin,pourpréparerceuxdesétudiantsquiirontenM1MFAl’anprochain(etdoncpourquile“socle
delicence”n’estpassuffisant),certainspointsplusdélicats(commelesanneauxdefractions)sontabordés,
maisleurconnaissanceneserapasexigéeauxexamens.Enrèglegénérale,lespassagescorrespondantssont
imprimésenpetitscaractères(commeceux-ci).
Exercices et TD
Lerôleessentieldesexercicesdansl’enseignementdesmathématiquesdevraitàcestadeêtre
évident pour tous. Rappelons qu’un exercice dont on écoute ou dont on lit la solution avant de
l’avoir cherché est perdu pour toujours. Les séances TD ne sont qu’un cadre mis en place pour
faciliter le travail, mais l’essentiel de ce travail a lieu en dehors du temps de présence en cours
ou en TD : c’est la lecture du cours avec un papier et un crayon, pour vérifier tous les calculs et
les raisonnements; et la recherche personnelle des solutions des exercices (seul ou à plusieurs).
D’ailleurstouslesexercicesneserontpastraitésenséancedeTD.
Certainsexercices(ilssontalorssignalésparlamentionCours)visentàdémontrerdesrésul-
tatsquifontpartieducours:laconnaissancedecesrésultatspourradoncêtreexigéeauxexamens,
ainsiquelacompréhensiondeleursdémonstrations.
1
Bibliographie
Lesprincipauxouvragesgénérauxrecommandéssontlessuivants:
1. Lelivre“Algebra”deSergeLang,championtoutescatégories.
2. Le“Tout-en-unpourlalicence”niveauL1,deRamis-Warusfel,quel’onciteraRW1:cha-
pitresII.1,II.2etII.6.
3. Le“Tout-en-unpourlalicence”niveauL2,deRamis-Warusfel,quel’onciteraRW2:cha-
pitresII.1etII.7.
Signalons aussi parmi les références recommandables : “Algebra” de Michael Artin et “Cours
d’algèbre”deRogerGodement.
Pourlelecteurquisouhaitealleraudelà(parexemplel’étudiantquiviseunM1,voirel’agré-
gation ou un M2R), la suite naturelle de ce cours est l’algèbre commutative. On peut suggérer, à
unniveauencoreélémentaire:
1. Lelivre“BasicAlgebra”deNathanJacobson.
2. Leschapitres4et7dulivre“Algèbre”deBourbaki.
3. Le“Coursdemathématiquespuresetappliquées”deRamis-Warusfel,quel’onciteraRW3:
niveauL3-M,chapitres4,5,6.
2
Conventions générales et notations
Conventions générales
LanotationA:=BsignifieraqueletermeAestdéfiniparlaformuleB.Lesexpressionsnou-
vellessontécritesenitaliquesaumomentdeladéfinition.Noterqu’unedéfinitionpeutapparaitre
aucoursd’unthéorème,d’unexemple,d’unexercice,etc.
Exemple0.0.1 L’espacevectorielE∗:=Hom (E,K)estappelédualdeE.
K
Lafind’undémonstrationousonabsenceestindiquéeparlesigne(cid:3)
Notations
(x),Ax,<x>,(x ,...,x ),Ax +···+Ax ,<x ,...,x >
1 n 1 n 1 n
Div(x)
x∧y
F ,F
p q
sgn
(cid:98)−(cid:99)
K[X]
d
3
Chapitre 1
Rappels sur l’arithmétique de Z et de
K[X]
Dans tout ce chapitre, K désigne un corps commutatif quelconque; mais le lecteur peut sup-
poser qu’il s’agit de Q, de R, ou de C. Outre une “remise en route” des capacités techniques et
théoriques,cechapitreestl’occasiondemettreenplacedeuxexemplesfondamentauxetd’illustrer
leursimilitude(quivad’ailleursbienplusloinquecequel’onenverraici).
Remarque1.0.2 Onachoisidefaireressortirl’aspectalgorithmiquedecesnotionsaveclesvéri-
tablesnotationsdel’algorithmique(variables,affectations,structuresdecontrôle...)etpasseule-
ment avec les constructions de suites par récurrence qui en tiennent souvent lieu dans les textes
mathématiques.Pourapprofondircetaspect,onpeutconsulterRW1,chapitreII.8.
1.1 Division euclidienne
Nousadmettronslethéorèmesuivant:
Théorème1.1.1 Soienta,b∈Zavecb>0.Ilexistealorsununiquecouple(q,r)∈Z×Ztelque
(cid:40)
a=qb+r,
0≤r<b.
(cid:3)
Poursimplifierl’écrituredesalgorithmes,nousnoteronsdiveucl(a,b):=(q,r)cecouple;qet
rsontlequotientetlerestedeladivisioneuclidiennedeaparb.
Exercice1.1.2 Etsib≤0?
Théorème1.1.3 SoientA,B∈K[X]avecB(cid:54)=0.Ilexistealorsununiquecouple(Q,R)∈K[X]×
(cid:40)
A=QB+R,
K[X]telque
degR<degB.
Nousnoteronsdiveucl(A,B):=(Q,R)cecouple;QetRsontlequotientetlerestedeladivision
euclidiennedeAparB.
4
Preuve.-Rappelonsque,parconventiondeg0=−∞:laconclusionpermetdonclecasR=0.En
général,siB=b +···+b Xn avecn≥0etb (cid:54)=0,onadegB=netl’onnoteratd(B):=b Xn
0 n n n
(termedominant)etcd(B)=b (coefficientdominant).Onsupposeiciconnueslesrèglesdecalcul
n
usuelles(voirRW1,chap.II.6).
Unicité. SiA=Q B+R =Q B+R avecdegR ,degR <degB,alorsR −R =B(Q −Q ).
1 1 2 2 1 2 2 1 1 2
Comme deg(R −R ) ≤ max(degR ,degR ) < degB, cela n’est possible que si R −R = 0;
2 1 2 1 2 1
commeB(cid:54)=0,celaimpliqueQ −Q =0.
1 2
cd(A)
Existence. La remarque de base est que, si degA≥degB, alors A :=A− XdegA−degBB
1
cd(B)
est tel que degA < degA (les termes dominants se sont éliminés). On définit donc une suite
1
A ,A ,...,A etunesuiteQ ,Q ,...,Q enprenantA :=A,puis,tantquedegA ≥degB:
0 1 r+1 0 1 r 0 i
 cd(A) td(A)
Qi:= i XdegAi−degB= i ,
cd(B) td(B)
A :=A −QB.
i+1 i i
PuisquelesdegA décroissentstrictement,ilexistertelquedegA ≥degB>degA .Onvérifie
i r r+1
(c’estuneconsigne!)parrécurrencequeA=(Q +···+Q)B+A pourtouti=0,...,r.Ainsi,
0 i i+1
enprenantQ:=Q +···+Q etR:=A ,onobtientlerésultatsouhaité.
0 r r+1
Pourtraduirecet“algorithme”envéritablelangagealgorithmique,onvaintroduiredeuxvariables:
Q qui prendra successivement les valeurs Q +···+Q et R qui prendra successivement les
0 i−1
valeursA,toutcelapouri=0,...,r+1.Voicil’algorithme:
i
Q := 0:
R := A;
tant que deg R >= deg B
q := td(R)/td(B);
R := R - q B;
Q := Q + q;
rendre(Q,R);;
La “preuve de correction” de cet algorithme est la suivante. D’abord degR diminue à chaque
étape, donc l’algorithme finit par s’arrêter avec degR<degB (condition de sortie de la boucle
“tantque”).
D’autrepart,onaàchaqueétapeA=QB+R.Eneffet,c’estvraiaudébut(vueslesinitialisations
desvariablesQ,R).Pourvérifierquechaqueétapeconservecettepropriété,onintroduitlesnota-
tions suivantes : on note temporairement Q,R les valeurs avant l’exécution des trois instructions
td(R)
etQ(cid:48),R(cid:48) lesvaleursaprès.OnadoncR(cid:48)=R−qBetQ(cid:48)=Q+q,oùq:= ;ils’ensuitimmé-
td(B)
diatementqueQ(cid:48)B+R(cid:48)=QB+R,etdoncquesiA=QB+RalorsA=Q(cid:48)B+R(cid:48).
Enfin, la propriété A=QB+R étant vérifiée à tout moment, elle l’est à la fin, et l’on a de plus
degB<degR(sortiedeboucle“tantque”).(cid:3)
Exercice1.1.4(Cours) Le reste de la division de P par (X−a) est P(a). Pour que a soit racine
deP,ilfaut,etilsuffit,que(X−a)diviseP.
5
Exemple1.1.5 OnprendA:=X7+X+1etB:=X3+X+1,donctd(B)=X3.Voicilesvaleurs
successivesdeQ,R,q:
Q 0 X4 X4−X2 X4−X2−X X4−X2−X+1
R X7+X+1 −X5−X4+X+1 −X4+X3+X2+X+1 X3+2X2+2X+1 2X2+X
q X4 −X2 −X 1 -
Onretiendralastructured’unepreuvedecorrectiond’algorithme:
1. Ilyauncompteur(icidegR)quidécroîtàchaqueétapeetgarantitlaterminaison.
2. Ilyauninvariantdeboucle(ici,l’égalitéA=QB+R),propriétévérifiéeparlesvariables
audébutparinitialisation;conservéeàchaqueétape;etdoncencorevérifiéeàlafin.
3. La condition de sortie (négation de la condition posée dans la clause “tant que”) (ici, l’in-
égalité stricte degR < degB), jointe à l’invariant de boucle, doit permettre de prouver la
propriété que l’on souhaite garantir pour le résultat de l’algorithme (ici, la définition du
quotientetdurested’unedivisioneuclidienne).
1.2 Algorithme d’Euclide et théorème de Bézout
Pourtouta∈Z,notonsDiv(a)⊂Zl’ensembledesdiviseursdea:
Div(a):={b∈Z|∃c∈Z : bc=a}.
Demême,pourtoutA∈K[X],notonsDiv(A)⊂K[X]l’ensembledesdiviseursdeA:
Div(A):={B∈K[X]|∃C∈K[X] : BC=A}.
Théorème1.2.1(ThéorèmedeBézout) Soient a,b ∈ Z. Il existe alors un unique x = ua+vb,
u,v∈Z,telqueDiv(x)=Div(a)∩Div(b)etx≥0.Onditquexest lepgcd(plusgrandcommun
diviseur)deaetdeb,etonlenotepgcd(a,b)ouencorea∧b.Onditégalementquexet−xsont
lespgcddeaetdeb.
Preuve.-Onvatrouveru,v∈Ztelsquex:=ua+vbdiviseàlafoisaetb.Toutleresteestfacile
estlaisséenexerciceaulecteur.
Puisqueua=(−u)(−a)etvb=(−v)(−b),onpeutsupposera,b∈N.Leprincipedel’algorithme
d’Euclidereposesurlesfaitssuivants:
– Sib=0(eta≥0),alorspgcd(a,b)=a.
– Sia=qb+r,alorsDiv(a)∩Div(b)=Div(b)∩Div(r)(eneffet,sid diviseaetb,ildivise
égalementr=a−qb;etsiréciproquementd divisebetr,ildiviseégalementa=qb+r).
Parconséquent,pgcd(a,b)=pgcd(b,r).
– Pour calculer pgcd(a,b), il suffit donc de calculer pgcd(b,r), où (q,r):=diveucl(a,b); et
c’estpeut-êtreplusfacile(voirci-dessous).
La version mathématique1 de l’algorithme est la suivante : on pose x :=a et y :=b. Tant que
0 0
y >0, on calcule (q,r):=diveucl(x,y), puis on pose x :=y, y :=r. On a donc à tout
i i i i i i+1 i i+1 i
momentpgcd(x,y)=pgcd(a,b).D’autrepart,0≤y =r <y,lasuitenepeutdoncêtreinfinie.
i i i+1 i i
1. Uneversionunpeudifférentenefaisantintervenirqu’unesuiteestproposéeenTD.
6
Ilexistedoncrtelquey =0etl’onaalorsx =pgcd(x ,y )=pgcd(a,b).
r r r r
Cette version de l’algorithme ne fournit que le pgcd x et non les coefficients de Bézout u,v tels
que x = ua+vb. Pour obtenir ces derniers, on introduit des suites u,v,s,t d’entiers tels que
i i i i
x =ua+vb et y =sa+tb. Il suffit de prendre (u ,v ):=(1,0) et (s ,t ):=(0,1); puis de
i i i i i i 0 0 0 0
poserlesrelationsderécurrence:
(cid:40)
(u ,v ):=(s,t),
i+1 i+1 i i
(s ,t ):=(u −qs,v −qt).
i+1 i+1 i i i i i i
Nouslaissonsaulecteurlesoind’effectuerlesvérificationsnécessaires.
Pourécrirel’algorithme,onintroduitlesvariablesx,y,u,v,s,tquiprendrontlesvaleurssuccessives
x,y,u,v,s,t.Voicile“code”:
i i i i i i
x := a; y := b; u := 1; v := 0; s := 0; t := 1;
tant que y > 0
(q,r) := diveucl(x,y);
x := y; q := r;
(u,v,s,t) := (s,t,u-qs,v-qt);
rendre(x,u,v);;
Lecompteurquigarantitlaterminaisonesticiévidemmentr.L’invariantdeboucleestl’assertion
suivante:
pgcd(x,y)=pgcd(a,b)etx=ua+vbety=sa+tbety≥0.
La condition de sortie de boucle est y ≤ 0, qui jointe à l’invariant de boucle entraîne y = 0,
x =pgcd(a,b) et bien entendu x =ua+vb. Le lecteur prendra soin de vérifier toutes ces affir-
mations.(cid:3)
LethéorèmedeBézoutetl’algorithmed’Euclides’adaptentpourlespolynômesavecquelques
petitesprécautionsdûesàladifférencesuivanteentreZetK[X]:
– pour tout x∈Z, on a Div(y)=Div(x)⇔y=±x et un choix “canonique” dans la classe
d’équivalence{+x,−x}esttoujourspossible,celuide|x|;
– pourtout∆∈K[X],onaDiv(∆(cid:48))=Div(∆)⇔∆(cid:48)=c∆,c∈K∗etunchoix“canonique”dans
laclassed’équivalenceK∗∆estencorepossible:si∆=0,c’estévidemment0,sinonc’est
1
l’uniquepolynômeunitairedecetteclasse,quiest ∆.
cd(∆)
Théorème1.2.2(ThéorèmedeBézoutpourlespolynômes) Soient A,B∈K[X] non tous deux
nuls. Il existe alors ∆=FA+GB, F,G∈K[X], tel que Div(∆)=Div(A)∩Div(B). On dit que ∆
est unpgcddeAetdeB.Onpeutchoisir∆unitaire,ilestalorsuniqueetonlenotepgcd(A,B)ou
encoreA∧B.Onditalorsque∆est lepgcddeAetdeB.
Preuve.-OnvatrouverF,G∈K[X]telsque
∆:=FA+GB
diviseàlafoisAetB.Toutleresteestfacileestlaisséenexerciceaulecteur.L’algorithmed’Eu-
clidepourlespolynômesestsimilaireàceluiquenousavonsvu;nousendonnonsdirectementla
versionvraimentalgorithmique:
7
Delta := A; Delta1 := B; F := 1; G := 0; F1 := 0; G1 := 1;
tant que D1 <> 0
(Q,R) := diveucl(Delta,Delta1);
Delta := Delta1; Delta1 := R;
(F,G,F1,G1) := (F1,G1,F-QF1,G-QG1);
rendre(Delta,F,G);;
LecompteurquigarantitlaterminaisonesticidegR.L’invariantdeboucleestl’assertionsuivante:
pgcd(∆,∆ )=pgcd(A,B)et∆=FA+GBet∆ =F A+G B.
1 1 1 1
La condition de sortie de boucle est ∆ = 0. Le lecteur prendra soin de tout vérifier. (ATTEN-
1
TION!Lerésultatn’estpasicilepgcdmaisunpgcd.)(cid:3)
Exemple1.2.3 OnprendA:=X2−1etB:=X3−1.Voicilesvaleurssuccessivesde∆,∆ ,F,G,F ,G :
1 1 1
∆ X2−1 X3−1 X2−1 X−1
∆ X3−1 X2−1 X−1 0
1
(F,G) (1,0) (0,1) (1,0) (−X,1)
(F ,G ) (0,1) (1,0) (−X,1) (X2+X+1,−X−1)
1 1
Lavaleurfinalede∆,c’est-à-direX−1,estdoncunpgcd;etlesvaleursfinalesdeF etG,c’est-
à-dire −X et 1, des coefficients de Bézout. On voit bien que X−1 divise A et B et que l’on a la
relationdeBézout:
−X.A+1.B=−X(X2−1)+(X3−1)=X−1.
Onamêmeicitrouvé∆unitaire,c’estdonclepgcd:maisc’estunhasard.
1.3 Divisibilité dans Z et dans K[X]
Rappelons que les éléments inversibles de Z sont +1 et −1 et que ceux de K[X] sont les
polynômesconstantsnonnulsλ∈K∗.Parailleursonnotera|larelation“divise”:
∀a,b∈Z, b|a⇐⇒∃c∈Z : a=bc,
∀A,B∈K[X], B|A⇐⇒∃C∈K[X] : A=BC.
Exercice1.3.1(Cours) Quels éléments de Z, resp. de K[X], divisent tous les autres? Quels élé-
mentssontdivisiblespartouslesautres?Àquelleconditiondeuxélémentssedivisent-ilsmutuel-
lement?Traduirecespropriétésàl’aidedelanotationDiv(a),resp.Div(A).
Définition1.3.2 Lesentiersa,b∈Zsontditspremiersentreeuxs’ilsn’ontaucundiviseurcom-
munnontrivial(c’est-à-direicinoninversible).
Corollaire1.3.3(duthéorèmedeBézout) Les entiers a,b ∈ Z sont premiers entre eux si, et
seulements’ilexisteu,v∈Ztelsqueua+vb=1.
(cid:3)
8
Définition1.3.4 LespolynômesA,B∈K[X]sontditspremiersentreeuxs’ilsn’ontaucundiviseur
communnontrivial(c’est-à-direicinoninversible).
Corollaire1.3.5(duthéorèmedeBézoutpourlespolynômes) LespolynômesA,B∈K[X]sont
premiersentreeuxsi,etseulements’ilexisteF,G∈K[X]telsqueFA+GB=1.
(cid:3)
Définition1.3.6 (i)L’entiera∈Zestditirréductibles’iln’estpasinversibleetsia=bc,b,c∈Z,
entraînequeboucestinversible.
(ii) L’entier a∈Z est dit premier s’il n’est pas inversible et si a|bc, b,c∈Z, entraîne que a|b ou
a|c.
Théorème1.3.7(Euclide) Pourqu’unélémentdeZsoitirréductible,ilfaut,etilsuffit,qu’ilsoit
premier.
Preuve. - Il est facile de voir (c’est une consigne!) que tout élément premier est irréductible. La
réciproquedécouleimmédiatementduthéorèmesuivant(endépitdelachronologie!).(cid:3)
Théorème1.3.8(Gauß) Soienta,b∈Zpremiersentreeuxetsoitc∈Ztelquea|bc.Alorsa|c.
Preuve. - On invoque le théorème de Bézout sous la forme de son corollaire ci-dessus : il existe
u,v∈Ztelsqueua+vb=1.Alorsc=uac+vbc,lepremiertermeesttrivialementmultipledea,
lesecondl’estparcequebcl’estparhypothèse,donccestmultipledea.(cid:3)
Exercice1.3.9(Cours) Déduirelethéorèmed’EuclideduthéorèmedeGauß.
Définition1.3.10 (i)LepolynômeA∈K[X]estditirréductibles’iln’estpasinversibleetsiA=
BC,B,C∈K[X],entraînequeBouCestinversible.
(ii)LepolynômeA∈K[X]estditpremiers’iln’estpasinversibleetsiA|BC,B,C∈K[X],entraîne
queA|BouA|C.
Lesdeuxthéorèmesquisuiventsedémontrentexactementcommelesdeuxprécédents.
Théorème1.3.11(Euclidepourlespolynômes) Pourqu’unélémentdeK[X]soitirréductible,il
faut,etilsuffit,qu’ilsoitpremier.
(cid:3)
Théorème1.3.12(Gaußpourlespolynômes) Soient A,B∈Z premiers entre eux et soitC∈Z
telqueA|BC.AlorsA|C.
(cid:3)
9