Alg`ebre I Cours pour 2 année de Bachelier en sciences mathématiques

99 Pages·2012·0.64 MB·French

Alg`ebre I
Cours pour 2`eme ann´ee de Bachelier en sciences
math´ematiques
Thomas Connor et Joost Vercruysse
Ann´ee acad´emique 2012–2013
Version du 12 septembre 2012
2
Table des mati`eres
Table des Mati`eres i
1 Groupes 1
1.1 Structures alg´ebriques primaires et exemples . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Constructions de groupes et propri´et´es g´en´erales . . . . . . . . . . . 6
1.3 Th´eor`emes d’isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Groupes commutatifs de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.1 Les groupes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.2 Le th´eor`eme fondamental des groupes ab´eliens finis . . . . . 22
1.4.3 Groupes ab´eliens de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.1 Actions libres et transitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.2 Formule des classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2 Anneaux et Modules 43
2.1 Anneaux : d´efinitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3 Sous-anneaux et Id´eaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4 Quotients et th´eor`emes d’isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5 Extension d’un anneau avec une racine . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.6 Id´eaux premiers et id´eaux maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.7 Quelques types d’anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.7.1 Anneaux euclidiens et anneaux principaux . . . . . . . . . . 72
2.7.2 Anneaux noeth´eriens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.7.3 Anneaux factoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.7.4 Le th´eor`eme de B´ezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.8 Th´eor`eme des restes chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.9 Les corps finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.9.1 Caract´eristique d’un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.9.2 Le petit th´eor`eme de Wedderburn . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.9.3 Caract´erisation des corps finis . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
i
`
ii TABLE DES MATIERES
´
2.10 Etude d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
A 93
A.1 L’aphabet Grec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Pr´eface
Ceci est le syllabus du cours “Alg`ebre I” pour la deuxi`eme ann´ee de Bachelier
en sciences math´ematiques a` l’Universit´e Libre de Bruxelles. Comme toujours, ces
notes donnent une base pour comprendre la th´eorie : il est n´ecessaire de travailler
activement avec ces notes, plutoˆt que de simplement les ´etudier. D’autant plus
qu’il est ´evident qu’il peut encore rester des fautes dans ces notes. Je suis tr`es
reconnaissant `a Thomas Connor qui a r´evis´e les versions ant´erieures et corrig´e
beaucoup de fautes (linguistiques). Le lecteur de ces notes peut toujours signaler
des fautes a` [email protected].
Ces notes sont partiellement et librement bas´ees sur des notes de cours de
Simone Gutt et Anne-Marie Simon, Eric Jespers, Jan Van Geel et Hendrik Van
Maldeghem. Des r´ef´erences de base classiques sont aussi les livres suivants :
[1] M. Artin, Algebra, Prentice Hall, London, 1991. (ISBN : 0-13-004763-5)
[2] P.M. Cohn, Algebra, Vol. 1, John Wiley & Sons, London, 1974. (ISBN : 0-471-
16431-3)
[3] N. Jacobson, Basic algebra I. Second edition, W. H. Freeman and Company,
New York, 1985. (ISBN : 0-7167-1480-9)
[4] S. Lang, Algebra. Revised third edition, Graduate Texts in Mathematics, 211.
Springer-Verlag, New York, 2002. (ISBN : 0-387-95385-X)
Joost Vercruysse
iii
`
iv TABLE DES MATIERES
Chapitre 1
Groupes
Introduction
1.1 Structures alg´ebriques primaires, morphismes
et exemples
D´efinition 1.1. Soit G un ensemble. On dit qu’il existe une loi de composition
sur G, encore appel´ee loi interne ou simplement loi ou composition, s’il existe une
application
∗ : G×G → G.
L’image du couple (x,y) ∈ G×G par cette application est d´esign´ee par x∗y et
est appel´ee la compos´ee de x et y. Un ensemble muni d’une loi de composition est
appel´e un magma.
´
Etant donn´e un magma G, on consid`ere les axiomes suivants.
(i) La loi ∗ est associative si tous les ´el´ements x,y,z ∈ G satisfont la condition
suivante :
x∗(y ∗z) = (x∗y)∗z.
(ii) On dit que G poss`ede un ´el´ement neutre e ∈ G si pour tous les ´el´ements
x ∈ G on a : x∗e = e∗x = x.
(iii) Pour tous les´el´ements x,y ∈ G, il existe un´el´ement unique a tel que x∗a = y
et un ´el´ement unique b tel que b∗x = y.
(iv) La loi ∗ est commutative si tous les ´el´ements x,y ∈ G satisfont la condition
suivante :
x∗y = y ∗x.
D´efinitions 1.2. (1) Si G est un magma satisfaisant l’axiome (i), on dit G est un
semi-groupe.
1
2 CHAPITRE 1. GROUPES
(2) Si G est un magma satisfaisant les axiomes (i) et (ii), on dit G est un mono¨ıde.
(3) Si G est un magma satisfaisant l’axiome (iii), on dit G est un quasigroupe.
(4) Si G est un magma satisfaisant les axiomes (ii) et (iii), on dit G est une boucle
(loop en anglais).
(5) Si G satisfait de plus l’axiome (v), on dit que G est un magma, semi-groupe,
monoide,... commutatif (ou ab´elien) respectivement.
Remarque 1.3 (Notation). En fonction de la situation, on d´enote la structure
alg´ebrique seulement par l’ensemble, ou accompagn´ee de sa loi de composition
et de son ´el´ement neutre, i.e. par G, (G,∗) ou (G,∗,e). S’il n’y a pas de risque
de confusion, on omet d’´ecrire la composition ∗. Dans ce cas, on d´enote x ∗ y
simplement par xy (notation multiplicative). Parfois on peut aussi utiliser une
notation “additive”, surtout si la structure est commutative. On peut alors ´ecrire
x∗y = x+y = y +x.
La th´eorie des semi-groupes et la th´eorie des mono¨ıdes sont peu diff´erentes,
comme l’explique le r´esultat suivant.
Lemme 1.4. Soit (S,∗) un semi-groupe. Alors, il existe un mono¨ıde (M,•,e) tel
que S = M \{e} et pour tous les ´el´ements x,y ∈ M, x•y = x∗y.
D´emonstration. On introduit un nouveau symbole e ∈/ M et on d´efinit M = S ∪
{e}. Alors, on introduit une loi • sur M donn´ee par

x•y = x∗y

x•e = x
 e•x = x
pour tous les ´el´ements x,y ∈ S.
Remarque 1.5. Soit (M,∗,e) un mono¨ıde. Si x ∈ M est un ´el´ement tel qu’il
existe un ´el´ement x−1 satisfaisant x∗x−1 = e = x−1∗x, on dit que x est inversible
et x−1 est l’inverse de x. L’inverse d’un ´el´ement est toujours unique. Un involution
est un ´el´ement u ∈ G tel que u−1 = u.
Un quasi-groupe (G,∗) satisfait les lois de simplifications, c’est `a dire, pour
tous a,b,c,d ∈ G
si a∗c = a∗d, alors c = d,
si c∗b = d∗b, alors c = d.
En effet, en utilisant la premi`ere partie de l’axiome (iii) pour le couple (a,ac), on
sait qu’il existe une solution unique dans G pour l’´equation a∗x = a∗c. Puisque
x = c et x = d sont tous deux solution, on obtient que c = d. Et de la mˆeme fac¸on
on arrive `a la loi de simplification `a droite.
Un mono¨ıde M ne satisfait pas les lois de simplification en g´en´eral. Cependant,
si un´el´ement a poss`ede un inverse a−1, on peut simplifier les´equations a∗c = a∗d
et c∗a = d∗b.
´
1.1. STRUCTURES ALGEBRIQUES PRIMAIRES ET EXEMPLES 3
Th´eor`eme 1.6. Soit (G,∗) un magma. Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes.
(i) G est un quasi-groupe associatif;
(ii) G est une boucle associative;
(iii) G est un mono¨ıde tel que chaque ´el´ement est inversible.
Si l’une des propri´et´es est satisfaite, on dit que G est un groupe.
D´emonstration. (i) ⇒ (ii). Soient x,y ∈ G arbitraires. Alors, l’axiome (iii) ap-
pliqu´e aux couples (x,x) et (y,y) implique qu’il existe des ´el´ements (uniques) eR
x
et eL tels que x∗eR = x et eL∗y = y. Alors, x∗eR∗y = x∗y = x∗eL∗y. A cause
y x y x y
des lois de simplifications on d´eduit que eR = eL. Comme x et y ´etaient arbitraires,
x y
on peut conclure qu’il existe un ´el´ement unique e ∈ G tel que x ∗ e = x = e ∗ x
pour tout x ∈ G, c’est-`a-dire que e est un ´el´ement neutre.
(ii) ⇒ (iii). D´enotons e l’´el´ement neutre de G. Pour chaque x ∈ G, l’axiome
(iii) appliqu´e au couple (x,e) implique que x est inversible.
(iii) ⇒ (i). Si x est inversible et y ∈ G, alors a = x−1∗y et b = y∗x−1 sont les
solutions demand´ees dans l’axiome (iii).
Remarque 1.7 (D´efinition classique d’un groupe). Du th´eor`eme pr´ec´edent, on
d´eduitqu’ungroupeGestunensemble,munid’uneloidecomposition∗ : G×G →
G, satisfaisant
– (x∗y)∗z = x∗(y ∗z), ∀x,y,z ∈ G;
– il existe un ´el´ement e ∈ G tel que x∗e = e∗x = x,∀x ∈ G;
– ∀ x ∈ G, ∃ x−1 ∈ G : x∗x−1 = e = x−1 ∗x.
Remarquons aussi que chaque groupe satisfait les lois de simplifications.
´
Chaque mono¨ıde est aussi un semi-groupe et un magma. Etant donn´e un
mono¨ıde G, si on veut consid´erer seulement sa structure de semi-groupe, on parle
alors du semi-groupe sous-jacent de G. Bien suˆr, il y a beaucoup de relations entre
les diff´erentes structures.
D´efinitions 1.8. Consid´erons deux magmas (E,∗) et (E(cid:48),•). Un (homo-) mor-
phisme de magmas de E dans E(cid:48) est une application
f : E → M,
telle que pour tous les ´el´ements x,y ∈ E, l’´equation suivante est satisfaite dans
E(cid:48) :
f(x∗y) = f(x)•f(y).
Soient (S,∗) et (S(cid:48),•) deux semi-groupes. Un (homo-) morphisme de semi-groupes
de S dans S(cid:48) est un morphisme de magmas entre leurs magmas sous-jacents.
E´tant donn´es deux mono¨ıdes (M,∗,e) et (M(cid:48),•,e(cid:48)), un (homo-) morphisme de
4 CHAPITRE 1. GROUPES
mono¨ıdes de M dans M(cid:48) est un morphisme de magmas f entre leurs magmas sous-
jacents tel que f(e) = e(cid:48).
Un monomorphisme est un homomorphisme injectif. Un ´epimorphisme est un
homomorphisme surjectif. Un isomorphisme est un homomorphisme bijectif. Un
homomorphisme de X dans X est appel´e un endomorphisme. Un isomorphisme de
X dans X est appel´e un automorphisme.
L’ensemble de tous les homomorphismes entre deux magmas, semi-groupes,
etc. est d´enot´e par Hom(E,E(cid:48)). On´ecrit Hom (E,E(cid:48)) si on veut sp´ecifier qu’il
magma
s’agit de morphismes de magmas. L’ensemble de tous les endomorphismes (respec-
tivementlesautomorphismes)deX dansX estd´enot´eparEnd(X)(respectivement
Aut(X)).
Proposition 1.9. Soit (M,∗,e) un mono¨ıde et (G,•,e(cid:48)) un groupe. Un morphisme
de magmas f : M → G est aussi un morphisme de mono¨ıdes, c’est-`a-dire f(e) = e(cid:48).
D´emonstration. Pour chaque x ∈ M, on peut calculer
f(x)•f(e) = f(x∗e) = f(x) = f(x)•e(cid:48).
Puisque G satisfait les lois de simplifications, on d´eduit que f(e) = e(cid:48).
D´efinition 1.10. Pour deux groupes (G,∗,e) et (G(cid:48),•,e(cid:48)), un (homo-) morphisme
de groupes de G dans G(cid:48) est un morphisme de magmas entre les magmas sous-
jacents.
Graˆce a` la proposition pr´ec´edente, un morphisme de groupes est aussi un mor-
phismedemono¨ıdes(sous-jacents).Deplus,f(x−1) = f(x)−1 pourtousles´el´ements
x ∈ G.
Exemples 1.11. (1) D´enotons l’ensemble de toutes les applications de R dans R
parApp(R,R).Alors,App(R,R)estunmagmanon-commutatif,non-associatif
et sans ´el´ement neutre si on consid`ere le composition suivante. Pour tous les
´el´ements f,g ∈ App(R,R) on obtient un nouvel ´el´ement f ∗ g ∈ App(R,R)
donn´e par la formule
(f ∗g)(x) = f(g(x))+f(x)g(x),
pour tout x ∈ R.
(2) Soient X un ensemble et (E,∗) un magma. Alors App(X,E) est un magma
muni de la loi de convolution suivante
(f ∗g)(x) = f(x)∗g(x), ∀f,g ∈ App(X,E), ∀x ∈ X.
Si E est un semi-groupe, alors App(X,E) est aussi un semi-groupe. Si E est
en outre un mono¨ıde avec ´el´ement neutre e, App(X,E) est de nouveau un
mono¨ıde avec ´el´ement neutre f : X → E, d´efini comme f (x) = e pour tout
e e
x ∈ X.