Algèbre I

112 Pages·2014·1.2 MB·French

Cours d’Algèbre
ère
1 année
Statue de Al-Khwarizmi à Khiva (Ouzbékistan)
Lycées-Collèges du Valais Romand
cbea
Le mot algèbre vient du titre d’un livre écrit au IXe siècle par le mathématicien perse
al-Khwarizmi : "ilm al-jabr w’al muqabala", ce qui a été traduit par "la science de la
restitution et de la réduction", c’est-à-dire la transposition et la combinaison de termes
semblables (d’une équation).
L’expression al-jabr tirée du titre ci-dessus a donné son nom à une branche des mathé-
matiques, l’algèbre, dans laquelle nous utilisons des symboles ou lettres -x, y, a, b, c, k
...- pour désigner ou remplacer des nombres. Cette caractéristique générale de l’algèbre
est illustrée par de nombreuses formules employées dans des disciplines scientifiques et
techniques.1
Muhammad ibn Moussa Al-Khwarizmi (788 – 850) est originaire de Khiva dans l’ancienne
province du Khwarezm, également transcrit Khwarizm (Ouzbékistan actuel). Son traité,
écrit à la demande du Calife Al Mamoun de Bagdad (813-833), place Al-Khwarizmi comme
un des premiers algébristes.2
CetteœuvreestmiseàdispositionselonlecontratAttribution3.0Unporteddisponibleenligne
http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ouparcourrierpostalàCreativeCommons,171SecondStreet,Suite300,
SanFrancisco,California94105,USA.
1. Voir Swokowski E.W. et Cole J.A., Algèbre, Lausanne, LEP Loisirs et Pédagogie
2. Voir le site Chronomath (http://www.chronomath.com/), une chronologie de l’histoire des mathé-
matiques.
Auteurs
La commission de rédaction du présent cours était composée de :
M. Michel COMBE Lycée-Collège des Creusets, Sion
M. Daniel ERSPAMER Lycée-Collège de l’Abbaye, St-Maurice
M. Jean-Yves FUMEAUX Lycée-Collège des Creusets, Sion
M. Damien GOLLUT Lycée-Collège des Creusets, Sion
M. Frédéric MIVELAZ Lycée-Collège de la Planta, Sion
M. Thomas PROGIN Lycée-Collège de l’Abbaye, St-Maurice
M. Samuel VANNAY Lycée-Collège des Creusets, Sion
M. Stéphane VAUCHER Lycée-Collège de la Planta, Sion
St-Maurice et Sion, août 2014

TABLE DES MATIÈRES
Table des matières
1. Les ensembles 3
1.1. Ensembles et éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Détermination d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Sous-ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. Diagrammes de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5. Ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2. Opérations sur les nombres 17
2.1. Addition et multiplication N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Notions particulières dans N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3. Addition, multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4. Addition et multiplication dans Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5. Opérations dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3. Raisonnement mathématique 39
3.1. Logique des propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2. Opérations logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3. Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4. Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5. Théorèmes et démonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.6. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4. Opérations sur les ensembles 55
4.1. Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2. Inclusion et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3. Ensemble des parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5. Les polynômes 67
5.1. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2. Opérations sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3. Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.4. Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6. Équations à une inconnue 93
6.1. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.2. Équations équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.3. Résolution d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
1

Chapitre 1
Les ensembles
1.1 Ensembles et éléments
Notion intuitive
Un ensemble est une collection d’objets, appelés éléments, dont nous pouvons dire avec
certitude si un objet donné appartient ou n’appartient pas à la collection.
Notation
P
Un ensemble est généralement noté à l’aide d’une lettre majuscule.
Exemples
1. L’ensemble A des nombres entiers compris entre 4 et 7;
2. L’ensemble L des lettres de l’alphabet latin. L comporte 26 éléments. Par exemple, k
et m sont des éléments de L; par contre π n’est pas un élément de L;
3. L’ensemble C des cantons suisses;
4. L’ensemble P des nombres pairs;
5. L’ensemble E des élèves d’une classe;
6. L’ensemble K des classes du collège;
7. L’ensemble D des diviseurs de 30;
30
8. L’ensemble M des multiples de 6;
6
9. L’ensemble T des nombres impairs à 3 chiffres.
Notation
P
Un élément est en général noté à l’aide d’une lettre minuscule.
Pour exprimer le fait qu’un élément a appartient à un ensemble A1, nous écrivons
a ∈ A
Nous disons alors que l’ensemble A contient l’élément a.
Si a n’appartient pas à l’ensemble A, nous écrivons a ∈/ A.
Exemple
Soit P l’ensemble des nombres pairs. Nous avons 0 ∈ P, 124 ∈ P, 3475 ∈/ P.
1. C’estlemathématicienitalienGiuseppePeano,1858–1932,quiaintroduitlesymboled’appartenance
∈ en 1888.
3
1. Les ensembles 1.2 Détermination d’un ensemble
1.2 Détermination d’un ensemble
Nous pouvons définir un ensemble de deux manières différentes :
1. En extension
En écrivant, entre deux accolades et séparés par des points-virgules, tous les éléments
qui constituent l’ensemble.
Exemples
1. A = {4;5;6;7}
2. D = {1;2;3;5;6;10;15;30}
30
3. V = {a;e;i;o;u;y}
4. G = {Genève;Glaris;Grisons}
Lorsque la liste est trop longue ou infinie, on énumère suffisamment d’éléments pour
reconnaître de quel ensemble il s’agit puis on utilise des points de suspension.
Exemples
1. M = {0;6;12;18;24;30;36;42...}
6
2. T = {101;103;105;107;109;111...993;995;997;999}
2. En compréhension
En indiquant, entre deux accolades, une propriété caractéristique commune à tous
les éléments de l’ensemble et qui n’appartient qu’à eux.
Exemples
1. V = {x | x est une voyelle de l’alphabet latin}
2. G = {x | x est un canton suisse dont l’initiale est G}
Conventions
1. Un élément ne peut figurer qu’une fois dans un ensemble.
2. L’ordre des éléments n’est pas significatif, il est cependant fréquemment pratique
d’ordonner les éléments dans un ensemble pour en faciliter la lecture.
3. | est une abréviation de "tel que".
(cid:17) Remarque
En résumé, lorsqu’on écrit un ensemble, la structure utilisée est
nom de l’ensemble = {...}
Définition 1.1
Deux ensembles égaux sont deux ensembles qui contiennent exactement les mêmes
éléments. Dans ce cas, l’égalité des ensembles A et B est notée A = B.
4
1.3 Sous-ensembles 1. Les ensembles
Exemples
1. Soient A = { 4;5;6;7 } et B = { 5;7;4;6 }. Nous avons A = B.
2. M 6= M car au moins un élément de M n’appartient pas à M .
6 12 6 12
Définition 1.2
1. Un ensemble fini est un ensemble contenant un nombre fini d’éléments.
2. Un ensemble infini est un ensemble contenant un nombre infini d’éléments.
Exemples
Relativement aux exemples des pages ?? et ?? :
• A,L,C,E,K,D ,T sont des ensembles finis.
30
• P et M sont des ensembles infinis.
6
Définition 1.3
1. L’ensemble vide est l’ensemble ne contenant aucun élément. On note : { } = ∅
2. Un singleton est un ensemble contenant un seul élément.
3. Une paire est un ensemble contenant deux éléments.
Exemples
1. P = {x | x est un canton suisse dont l’initiale est P} = ∅
√
2. D = {14} et R = ¶ 2© sont des singletons.
3. W = {Valais;Vaud} et S = {0.5;1.618} sont des paires.
1.3 Sous-ensembles
Définition 1.4
Soit un ensemble E. Un sous-ensemble ou partie A de E est un ensemble tel que
tout élément de A appartient à E.
Dans ce cas, le sous-ensemble A est inclus dans l’ensemble E. On note : A ⊂ E.
(cid:17) Remarque
La notation A 6⊂ E (A n’est pas inclus dans E) signifie qu’au moins un élément de A
n’appartient pas à E.
5
1. Les ensembles 1.4 Diagrammes de Venn
Cas particuliers
1. L’ensemble vide est inclus dans n’importe quel ensemble.
Pour n’importe quel ensemble E, on a : ∅ ⊂ E.
2. Un ensemble est toujours inclus dans lui même.
Pour n’importe quel ensemble E, E ⊂ E.
Exemples
1. Soient A = {4;5;6;7;8}, B = {5;7;4;3;6}, C = {4;8;9} et D = {4;6}.
Alors D ⊂ A et D ⊂ B, mais D 6⊂ C.
2. D 6⊂ M
32 2
(cid:17) Remarque
Souvent, nous travaillons uniquement sur les éléments et les sous-ensembles d’un ensemble
particulier E. Celui-ci est alors appelé référentiel.
Dans l’écriture en compréhension d’un ensemble A, nous précisons le référentiel E sous la
forme :
A = {x ∈ E | x possède la propriété P }
1.4 Diagrammes de Venn
Le diagramme de Venn2 est une manière schématique de faire une représentation graphique
des différents ensembles concernés pour faciliter la compréhension.
Convention
Le référentiel est représenté par un rectangle. Chaque ensemble est représenté par une
ligne fermée auprès de laquelle nous écrirons le nom de l’ensemble.
Exemple
ConsidéronsleréférentielE = {1;2;3;4;5;6;7;8;9}ainsiquelesensemblesA = {x ∈ E | x est pair},
B = {x ∈ E | 3 < x (cid:54) 7}, C = {x ∈ E | x ∈ M }. Le diagramme de Venn lié à cette
3
situation est :
2. John Venn, 1834 – 1923, est un mathématicien anglais spécialisé en logique.
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