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Chapitre 1 Généralités Touslesanneauxsontsupposéscommutatifs,unitairesetnontriviaux. Compléments au cours de L3 sur les anneaux de fractions Soient A un anneau commutatif non trivial et S une partie multiplicative de A, c’est-à-dire contenant1etstablepourlamultiplication.DanslecoursdeL3,l’anneaudefractionsS−1Aaété définidanslecasoùAestintègre,commesous-anneauducorpsdesfractionsdeA.Cependant,en adaptantlaconstructionducorpsdesfractions,ilestpossiblededéfinirdesanneauxdefractions en toute généralité. Nous le ferons en laissant les démonstrations en exercice; voir là-dessus les ouvragescitésenbibliographiedecechapitre. Surl’ensembleproduitA×S,ondéfinitunerelation∼etdeuxloisdecompositioninterne+ et.commesuit: (a,s)∼(a′,s′)⇐⇒∃t ∈S : t(as′−a′s)=0, (a,s)+(b,t):=(at+bs,st), (a,s).(b,t):=(ab,st). Larelation∼estalorsunerelationd’équivalencecompatibleavecleslois+et.etlesloisinduites sur l’ensemble quotient (A×S)/∼ font de ce dernier un anneau commutatif. On note S−1A cet anneaueta/slaclassede(a,s)∈A×SdansS−1A.L’applicationφ:a7→a/1deAdansS−1Aest unmorphismed’anneaux. Remarque1.0.2 Sil’onavaitsimplementdéfini(a,s)∼(a′,s′)para′s=as′,onnepourraitpas prouverlatransitivitépourunanneauAarbitraire(nonsupposéintègre)? Exercice1.0.3 Àquelleconditionl’anneauS−1Aest-iltrivial?Quelestlenoyaudumorphisme φ?Endéduireuneconditionpourqueφsoitinjectif. Lemorphismeφpossèdelapropriétéuniversellesuivante:pourtoutanneaucommutatifBet toutmorphismed’anneaux f :A→Btelque f(S)⊂B∗,ilexisteununiquemorphismed’anneaux g:S−1A→Btelque f =g◦φ. 3 SoientmaintenantS ,S deuxpartiesmultiplicativesdeAtellesqueS ⊂S etsoientφ :A→ 1 2 1 2 i S−1A(i=1,2)lesmorphismesassociés.Ildécouledelapropriétéuniverselleci-dessusqu’ilexiste i ununiquemorphismed’anneauxψ:S−1A→S−1Atelqueφ =ψ◦φ .(LorsqueAestintègreet 1 2 2 1 S =A\{0},onreconnaîtlaréalisationdeS−1Acommesous-anneauducorpsdesfractions,voir 2 1 lecoursdeL3). Exercice1.0.4 OnnoteS(saturé deS)l’ensembledesdiviseursdesélémentsdeS.Montrerque c’estunepartiemultiplicativecontenantSetquelemorphismeS−1A→S−1Adéduitdelapropriété ci-dessusestunisomorphisme. Soit I un idéal de A. On vérifie que S−1I s’identifie naturellement à un idéal de S−1A, et que cedernierestengendréparφ(I).SoitJ unidéaldeS−1AetsoitI:=φ−1(J)(quiestdoncunidéal deA).AlorsJ=S−1I.Enparticulier,siAestunanneau“noetherien”(i.e.telquetoutidéalestde typefini),resp.principal,S−1Al’estégalement. Exercice1.0.5 Montrer que les applications P7→S−1P et Q7→φ−1(Q) sont des bijections ré- ciproques l’une de l’autre entre l’ensemble des idéaux premiers de A ne rencontrant pas S et l’ensembledesidéauxpremiersdeS−1A. 1.1 Modules, sous-modules Définition1.1.1 Soit A un anneau. Un module (à gauche) sur A, ou A-module (à gauche) est un groupeabélien(M,+)munienoutred’uneloidecompositionexterneA×M→M,(a,x)7→ax, telleque,quelsquesoienta,b∈Aetx,y∈M : (a+b)x=ax+bx, a(x+y)=ax+ay, 1x=x, a(bx)=(ab)x. Remarque1.1.2 Endéveloppant(1+1)(x+y)dedeuxfaçons,onvoitquex+y=y+x;autrement dit,lacommutativitédugroupe(M,+)estconséquencedesautresaxiomes. Exercice1.1.3 Vérifierquelesquatreaxiomesci-dessuséquivalentàlaconditionsuivante:l’ap- plicationa7→(x7→ax)estunmorphismed’anneauxdeAdansl’anneaudesendomorphismesdu groupe(M,+). Ondéduittrèsfacilementdespropriétéssimilairesàcellesdesespacesvectoriels.Cependant, l’unedecespropriétésesticiendéfaut: ax=0 6=⇒(a=0 oux=0 ). M A M Cherchezparmilesexemplesci-dessouslesquelsnelavérifientpas. Exemples1.1.4 1. LorsqueAestuncorps,lesA-modulessontlesA-espacesvectoriels. 2. Tout groupe abélien est un Z-module d’une unique manière : si m∈N,on pose mx:=x+ ···+x(sommedemtermes),sim∈−N,onposemx:=−|m|x. 4 3. ToutidéaldeAestdefaçonnaturelleunA-module. 4. Pour tout ensemble I, les groupes AI (ensemble des familles d’éléments de A indexées par I) et A(I) (sous-ensemble de AI formé des familles à support fini, i.e. des (a) ∈AI tels i i∈I que presque tous les a sont nuls) sont des A-modules avec la définition évidente de la loi i externe:a(a) :=(aa) . i i∈I i i∈I 5. De manière générale, si l’on a une famille de A-modules Mi, le groupe produit ∏Mi est un A-module avec la définition évidente de la loi externe : a(x) := (ax) . Il en est i i∈I i i∈I de même du sous-groupe somme-directe LMi de ∏Mi (formé des (xi)i∈I ∈∏Mi tels que presquetouslesx sontnuls). i 6. SoitMunA-moduleetsoit f :A′→Aunmorphismed’anneaux.Enposanta′x:= f(a′)x,on faitdeMunA′-module.Enparticulier,siA′estunsous-anneaudeA,larestrictionàA′×M delaloiexterneA×M→M faitdeM unA′-module(restrictiondesscalaires). Unexempleparticulièrementimportant. Cetexempleconstitue(avecl’exempleci-dessusdes Z-modules)uneapplicationessentielledecechapitre.Pourbienlecomprendre,ilestsouhaitable de réviser le cours d’algèbre linéaire de L2 sur la réduction des endomorphismes, en particulier tout ce qui concerne les polynômes d’endomorphismes. Soient K un corps commutatif arbitraire etA:=K[X]. – Soit M un A-module. Par restriction des scalaires K ⊂A, on en fait un K-espace vectoriel que nous noteronsV (pour bien clarifier ce qui va suivre). L’application φ:x7→Xx deV danslui-mêmeestunendomorphismeduK-espacevectorielV. – Réciproquement,soientV unespacevectorielsurKetφunendomorphismedeV.Ondéfinit une loi externe A×V →V en posant Px:=(P(φ))(x). On obtient ainsi un A-module que nousnoteronsM (pourledistinguerdel’espacevectorielV).Lemoinstrivialàvérifierdes quatreaxiomesestledernier;ildécouledelarèglebienconnue(P(φ))◦(Q(φ))=PQ(φ). Remarque1.1.5 En un certain sens, un Z-module “est la même chose” qu’un groupe abélien et un K[X]-module “est la même chose” qu’un K-espace vectoriel muni d’un endomorphisme. On peutdoncprévoirquelathéoriedesmodulessurlesanneauxprincipaux(iciZetK[X])aurades applicationsàl’étudedesgroupesabéliensetdesendomorphismes. Définition1.1.6 Un sous-module d’un A-module M est un sous-groupe M′ de (M,+) qui est de plusstablepourlaloiexterne:∀a∈A, ∀x∈M′, ax∈M′. La loi externe de M induit donc une loi externe sur M′ qui en fait un A-module. Noter qu’il suffit de vérifier que M′ est non vide et stable pour l’addition et pour la loi externe. Noter aussi qu’un sous-module M′ est stable par combinaisons linéaires, autrement dit, pour toute famille (xi)i∈Id’élémentsdeM′,touteslescombinaisonslinéaires ∑aixisontdesélémentsdeM′;comme i∈I toujoursenalgèbre,onsupposequepresquetouslescoefficientsa (i.e.toussaufunnombrefini) i sontnuls:(a) ∈A(I). i i∈I Exemples1.1.7 1. SiAestuncorps,unsous-moduleestunsous-espacevectoriel(etrécipro- quement). 2. SiA=Z,unsous-moduleestunsous-groupe(etréciproquement). 3. Lessous-modulesduA-moduleAsontsesidéaux. 5 4. Six∈M,lesous-ensembleAx:={ax|a∈A}estunsous-moduledeM.Plusgénéralement, si (xi)i∈I est une famille d’éléments de M, l’ensemble des combinaisons linéaires ∑aixi i∈I formeunsous-moduledeM,noté ∑Axi. i∈I 5. A(I) estunsous-moduledeAI. 6. LMi estunsous-modulede∏Mi. 7. SileK[X]-moduleMcorrespondaucouple(V,φ)parlacorrespondancedécriteplushaut,les sous-modules de M correspondent aux couples (V′,φ′), oùV′ est un sous-espace vectoriel deV stableparφetoùφ′=φ . |V SoientM unA-moduleetx∈M.Onpose: Ann (x):={a∈A|ax=0}. A C’est un idéal de A, appelé annulateur de x. On définit de même, pour tout sous-ensemble E de M : AnnA(E):={a∈A|∀x∈E , ax=0}= \AnnA(x). x∈E C’estencoreunidéaldeA,appeléannulateurdeE. Un élément x∈M est dit de torsion si l’idéal Ann (x) n’est pas trivial, i.e. s’il existe a6=0 A tel que ax=0. L’ensemble des éléments de torsion de M est noté Tor (M). Il est évidemment A stablepourlaloiexterne,etilcontient0;maisiln’estpasnécessairementstablepourl’addition. Parexemple,lorsqueM=A,lesélémentsdetorsionsontlesdiviseursde0,etilsneformentpas nécéssairementunidéal. Exemple1.1.8 OnprendA=M=Z/6Z.Alors2et3sontdesdiviseursde0etdesélémentsde torsion,maispasleursomme. Proposition1.1.9 Si A est intègre, Tor (M) est un sous-module de M, appelé sous-module de A torsiondeM. Preuve.-Siax=0etby=0aveca,b6=0,ona(ab)(x+y)=0avecab6=0.(cid:3) Danslecasd’unespacevectoriel,lemoduledetorsionestévidemmenttrivial. Modulequotient. Pourtoutsous-moduleM′duA-moduleM,larelationdecongruencemodulo M′ estunerelationd’équivalencecompatibleavecl’addition,cequipermetdemunirl’ensemble quotientd’uneloidecompositioninternetellequel’additiondesclassesvérifie: ∀x,y∈M, x+y=x+y. Onobtientainsiungroupe,appelégroupequotientetnotéM/M′.Enfait,desimplications: ∀a∈A,∀x,y∈M,x≡y (mod M′)⇐⇒x−y∈M′=⇒ax−ay=a(x−y)∈M′⇐⇒ax≡ay (mod M′), 6 ondéduitquelarelationdecongruencemoduloM′estunerelationd’équivalencecompatibleavec laloiexterne,cequipermetdemunirlegroupequotientM/M′ d’uneloidecompositioninterne telleque: ∀a∈A, ∀x∈M, ax=ax. Onvérifieimmédiatementquel’onobtientainsiunmodule,encorenotéM/M′ etappelémodule quotientdeMparM′.DanslecasoùAestuncorps,resp.oùA=Z,onretrouvelanotiond’espace vectoriel quotient, resp. de groupe quotient. Dans le cas où M =A et où M′ est un idéal I de A, onobtientunestructuredeA-modulesurA/I (etnonsastructured’anneauquotient).Danslecas où A=K[X] et où M,M′ correspondent respectivement à (V,φ) et à (V′,φ′), on obtient le K[X]- modulecorrespondantà(V′′,φ′′),oùV′′=V/V′ (espacevectorielquotient)etoùφ′′ estinduitpar φparpassageauquotient. 1.2 Morphismes Définition1.2.1 SoientM etN deuxA-modules.Onditqu’unmorphismedegroupes f :M→N estA-linéaire,ouquec’estunmorphismedeA-modulessi: ∀a∈A, ∀x∈M, f(ax)=af(x). On dit que f est un isomorphisme s’il est bijectif, que c’est un endomorphisme si M =N et que c’estunautomorphismesic’estunendomorphismebijectif.Demême, f estunmonomorphisme, resp.unépimorphismes’ilestinjectif,resp.surjectif. Le composé de deux morphismes est un morphisme et Id est un endomorphisme de M, ce M qui justifie1 la terminologie “morphisme”. De même, l’application réciproque d’un morphisme bijectifestelle-mêmeunmorphisme,cequijustifielaterminologie“isomorphisme”. Exemples1.2.2 1. Si A est un corps, les morphismes sont les applications linéaires au sens desespacesvectoriels. 2. Si A=Z, tous les morphismes de groupes sont des Z-linéaires, donc des morphismes de modules. 3. L’inclusioncanoniqued’unsous-moduleM′→Mestunmorphisme,ainsiquelaprojection canoniqueM→M/M′. 4. Lesprojectionscanoniques∏Mi →Mi0 etlesinjectionscanoniquesMi0 →LMi sontdes morphismes.(Cesontdescasparticuliersdel’exempleprécédent:levérifier!) Exercice1.2.3 Si les K[X]-modules M et N correspondent respectivement aux couples (V,φ) et (W,ψ),alorslesmorphismesdemodules f :M→N sontlesapplicationsK-linéaires f :V →W tellesque f◦φ=ψ◦f.(Indication:cettedernièreégalitésignifieexactementque f(Xx)=Xf(x).) 1. Dans la présentation “catégorique” d’une théorie mathématique, il y a des objets et des morphismes et ces derniersdoiventsatisfairedespropriétésformellesanaloguesàcellesquenousénonçons;danscecadre,unisomor- phismesedéfinitcommeunmorphisme f :M→N inversible,i.e.telqu’ilexisteg:N→M telqueg◦f =IdM et f◦g=IdN. 7 Proposition1.2.4 Soit f :M→N unmorphismedeA-modules. (i) Pour tout sous-module M′ ⊂M, l’image f(M′) est un sous-module de N. En particulier, Imf estunsous-moduledeN. (ii) Pour tout sous-module N′ ⊂N, l’image réciproque f−1(M′) est un sous-module de M. En particulier,Kerf estunsous-moduledeM. Preuve.-C’estexactementlamêmequedanslecasdesespacesvectoriels.(cid:3) Théorème1.2.5(Premierthéorèmed’isomorphisme) Soit f :M→NunmorphismedeA-modules. L’applicationinduite f :M/Kerf →Imf estunisomorphisme. Preuve.-Rappelonssimplementlaconstructionde f.Six,y∈M ontmêmeclassedansM/Kerf, alorsx−y∈Kerf ⇒ f(x)= f(y).Ainsi, f(x)nedépendquedex:=x (mod Kerf)∈M/Kerf, etl’onpeutposer: f(x):= f(x). Pourlereste,lapreuveestexactementlamêmequedanslecasdesespacesvectoriels.(cid:3) Exemple1.2.6(Modulesmonogènes) On dit que le module M est monogène s’il existe x∈M tel que M =Ax. Dans ce cas, l’application a7→ax est un épimorphisme de A sur M de noyau Ann (x),etdoncA/Ann (x)≃M. A A Réciproquement, tout module A/I est monogène engendré par 1 . Les modules monogènes sont A donc,àisomorphismeprès,lesmodulesA/I. Théorème1.2.7(Deuxièmethéorèmed’isomorphisme) Soient M′′ ⊂M′ des sous-modules du A-module M. Alors M′/M′′ est un sous-module de M/M′′ et le quotient est canoniquement iso- morpheàM/M′. Preuve. - C’est la même que dans le cas des espaces vectoriels : l’application x (mod M′′)7→x (mod M′) de M/M′′ dans M/M′ est bien définie, elle est linéaire surjective et son noyau est M′/M′′;onpeutdoncappliquerlepremierthéorèmed’isomorphisme.(cid:3) Remarque1.2.8 Ilestfaciledevérifierquetouslessous-modulesdeM/M′′s’obtiennentdecette manière,etquel’onadoncunebijectionM′7→M′/M′′ del’ensembledessous-modulesdeMqui contiennentM′′ surl’ensembledessous-modulesdeM/M′′. Exercice1.2.9 Décriretouslessous-modulesd’unmodulemonogène. Avant de formuler le troisième théorème d’isomorphisme, quelques constructions élémen- taires. Il est clair que l’intersection M d’une famille de sous-modules M ⊂ M est un sous- T i i module de M. Par exemple l’intersection de tous les sous-modules de M contenant un sous- ensemble arbitraire E ⊂M est le plus petit sous-module contenant E, on dit que c’est le sous- moduleengendréparE. 8 PrenonsE:=M ∪M ,oùM etM sontdessous-modulesdeM.Toutsous-modulecontenant 1 2 1 2 Econtientégalementtouteslessommesx +x ,x ∈M ,x ∈M .Maisl’ensembledecessommes 1 2 1 1 2 2 estunsous-moduledeM (prouvez-le!).Onnotedonc: M +M :={x +x |x ∈M ,x ∈M }. 1 2 1 2 1 1 2 2 C’estlesous-moduleengendréparM ∪M etonl’appellesommedeM etM . 1 2 1 2 Exercice1.2.10 Décriredemanièreanaloguelesous-module∑Mi engendréparlaréunionSMi d’unefamilledesous-modulesdeM. Théorème1.2.11(Troisièmethéorèmed’isomorphisme) SoientM etM dessous-modulesde 1 2 M.OnaunisomorphismenatureldeM /(M ∩M )sur(M +M )/M . 1 1 2 1 2 2 Preuve.-Commedanslecasdesespacesvectoriels,onvérifiequelemorphismecomposéM → 1 M +M →(M +M )/M est surjectif et a pour noyau M ∩M , ce qui permet d’appliquer le 1 2 1 2 2 1 2 premierthéorèmed’isomorphisme.(cid:3) 1.3 Familles Pour toute famille (x) d’éléments de M, l’intersection de tous les sous-modules de M qui i i∈I contiennenttouslesx estunsous-moduledeM :c’estlepluspetit-sous-moduledeM contenant i touslesxi,onditqu’ilestengendréparlesxi.Concrètementc’estlesous-module ∑Axidetoutes i∈I lescombinaisonslinéairesdesx.Demanièreéquivalente,c’estl’imagedumorphisme: i (ai)i∈I 7→ ∑aixi, i∈I A(I)→M. Définition1.3.1 Onditquelafamille(xi)i∈I d’élémentsdeM estunefamillegénératrice(ouen- corequelesxiengendrentM)siM= ∑Axi,autrementdit,silemorphismeci-dessusestsurjectif. i∈I Les relations entre les xi sont les familles de coefficients (ai)i∈I ∈A(I) telles que ∑aixi =0, i∈I autrementdit,lesélémentsdunoyaudumorphismeci-dessus. Définition1.3.2 Onditquelafamille(x) d’élémentsdeMestunefamillelibre(ouencoreque i i∈I lesx sontlinéairementindépendants)sitouterelationentrelesx esttriviale: i i ∀(a) ∈A(I), ∑ax =0 =⇒(∀i∈I, a =0). i i∈I i i i i∈I ! autrementdit,silemorphismeci-dessusestinjectif. Définition1.3.3 On dit que la famille (x) d’éléments de M est une base si elle est libre et i i∈I génératrice: ∀x∈M, ∃!(a) ∈A(I) : x=∑ax, i i∈I i i i∈I autrementdit,silemorphismeci-dessusestbijectif. 9 Si B :=(xi)i∈I est une base de M et si x∈M s’écrit x= ∑aixi, on dira que les ai sont les i∈I coordonnéesdexdanslabaseB. Exercice1.3.4 MontrerquelesbasesduA-moduleAsontlesfamillesàunélément(x)tellesque x∈A∗. Naturellement, dans le cas où A est un corps, le vocabulaire ci-dessus est cohérent avec le vocabulaireusueldesespacesvectoriels.Cependant,ilfautprendregardeque,lorsqueAn’estpas uncorps,denombreusespropriétésusuellestombentendéfaut2.Voicilesprincipales“anomalies”. 1. Un A-module n’admet pas nécessairement une base. Soit par exemple I un idéal de A qui n’estégalnià{0}niàA(parhypothèseilenexistepuisqueAn’estpasuncorps).Alorsdeux élémentsquelconquesdeI sontliés,iln’yadoncpasdefamillelibreayantstrictementplus d’unélément,desortequeI nepeutêtreunA-modulelibrequesic’estunidéalprincipal; etmêmecelanesuffitpassiAn’estpasintègre(vérifiez-le).D’autrepart,toutélémentde A/I estdetorsion,iln’yadoncaucunefamillelibrenonvidedansA/I,doncaucunebase. 2. Si le module M admet une base, un sous-module de M n’admet pas nécessairement une base:voirl’exempleci-dessus. 3. Une famille libre maximale n’est pas nécessairement une base. Par exemple, dans le Z- moduleZ,lafamilleàunélément(2)estlibremaximale,maiscen’estpasunebase;etelle n’eststrictementcontenuedansaucunefamillelibre. 4. Unefamillegénératriceminimalen’estpasnécessairementunebase.Parexemple,dansle Z-module Z, la famille à deux éléments (2,3) est génératrice, mais ce n’est pas une base; etellenecontientstrictementaucunefamillegénératrice. Définition1.3.5 Onditqu’unmoduleestlibres’iladmetunebase. Ilexisteunethéoriegénéraledesmoduleslibres,mais,commepourlesespacesvectoriels,on s’intéresserasurtout(enalgèbre)aucasdesmodulesadmettantunebasefinie. Calculmatricielaveclesfamilles Onnemanipuleraiciquedesfamillesfinies(bienquelecasgénéralpuisseêtretraitédefaçon semblable) et on les écrira systématiquement sous forme de suites finies X :=(x ,...,x )∈Mn, 1 n Y :=(y ,...,y )∈Mp,etc. 1 p a 1 . Soitx:=a1x1+···+anxnunecombinaisonlinéairedesxi.NotantC:= .. ∈Anlevecteur a n colonnedescoefficientsai,onadopteral’écriturematricielle: x=XC. 2. Cependantcertainesd’entreellesserontrétabliesdanslecasd’unanneauAprincipal:celavaudradonclapeine dereveniriciaprèslecturecomplètedecechapitre. 10 Noterqu’ellecomporteuncertainabus,puisque,encalculmatricielusuel,ondevraitavoirXC= x a +···+x a ,cequin’apasdesens(scalairesàdroitedes“vecteurs”).Ilestpossibledejusti- 1 1 n n fiercetabusmaisonsecontenterad’observerquelescalculsquienrésultentsontcohérents. Supposonsquelesy soienttouscombinaisonslinéairesdesx : j i n y =∑a x, j=1,...,p. j i,j i i=1 Alorsonauneécriturematricielle: a ... a 1,1 1,p Y =XP, oùP:= ... ... ... ∈Matn,p(A). a ... a n,1 n,p SoitmaintenantZ:=(z ,...,z )∈Mqunefamilled’élémentsquisontcombinaisonslinéaires 1 q desy : j p z = ∑b y , k=1,...,q. k j,k j j=1 On a donc Z = YQ, où Q ∈ Mat (A) a pour coefficients les b . L’associativité du produit p,q j,k matricielpermetdeprévoirleségalités: Z=YQ=(XP)Q=X(PQ)=XR, oùR:=PQ∈Mat (A). n,q n Etl’onvérifieeneffetsanspeinelesrelationszk= ∑ ci,kyj, k=1,...,q,lescoefficientsci,k deR i=1 p étantdonnésparlaformulehabituelleci,k:= ∑ ai,jbj,k, i=1,...,n, k=1,...,q. j=1 Exercice1.3.6 Expliqueretprouverlesrelations: X(P+P′)=XP+XP′, (X +X′)P=XP+X′P, XI =X, XP=Y ⇔X =YP−1. n Ontraduitsimplementlesnotionsdefamilleslibresetgénératricesdanscelangage: – LafamilleX estlibresi,chaquefoisquel’onaXP=0(familletriviale),onpeutendéduire P=0(matricenulle).Plusgénéralement,siXP=XP′,alorsP=P′. – LafamilleX estgénératricesitoutefamilleY peuts’écrireY =XP(lamatricePayantle bonformat). Àtitred’exemple(parmibeaucoup:inventez-en!)d’utilisationdeceformalisme,voiciunrésultat important. Théorème1.3.7 Si M admet une base de n éléments X :=(x ,...,x ), alors toutes les bases de 1 n M ontnéléments. Preuve.-SoitY =(y ,...,y )uneautrebasedeM.Puisquecesdeuxfamillessontgénératrices, 1 p on peut écrire Y =XP et X =YQ pour certaines matrices P,Q. On en déduit X =X(PQ) et Y =Y(QP).MaispuisqueX =XI etY =YI etquecesfamillessontlibres,onentirePQ=I n p n etQP=I .Onappliquealorslelemmeci-dessous.(cid:3) p 11 Lemme1.3.8 Soit A un anneau non trivial et soient P∈Mat (A) et Q∈Mat (A) telles que n,p p,n PQ=I ,QP=I .Alorsn= p. n p Preuve.-OnchoisitunidéalmaximalquelconqueMdeA(théorèmedeKrull)etl’onnoteK := A/Ml’anneauquotient,quiestuncorps(le“corpsrésiduel”).EnréduisantmoduloMlesrelations précédentes,onobtientdeségalitésentrematricesàcoefficientsdansK : PQ=I etQP=I ; n p maisl’algèbrelinéaireusuelle(suruncorps)nousditalorsquen= p.(cid:3) Remarque1.3.9 Ladémonstrationci-dessusneprouvepasqu’iln’existepasdebaseinfinie.Ce pointestlaisséaulecteurcourageux. Définition1.3.10 Unmoduleadmettantunebasedenélémentsestditlibrederangn.Sonrang (quiestbiendéfinid’aprèslethéorèmeprécédent)estn. Corollaire1.3.11 SoitM unmodulelibrederangnetsoitX unebasedeM.Alorsl’application P7→XP est une bijection du groupe GL (A) des matrices inversibles à coefficients dans A sur n l’ensembledesbasesdeM. (cid:3) Rappelons que les éléments de GL (A) sont les matrices P∈Mat (A) telles que detP∈A∗. n n Eneffet: – SiPQ=I ,alors(detP)(detQ)=1,d’oùdetP∈A∗. n – Si detP∈A∗, notant A˜ la transposée de la matrice des cofacteurs de A, on a, d’après les formulesdeCramer,AA˜=A˜A=(detA)I et(detA)−1A˜ estinversedeA. n Exercice1.3.12 SoientMunA-modulelibrederangnetX unebasedeM.Donnerunecondition surP∈Mat (A)pourquelafamilleXPsoitlibre,resp.génératrice,resp.unebase. n,p Écriturematricielledesmorphismes. SoientB :=(e ,...,e )unebasedumoduleM (quiest 1 n donclibrederangn)etC :=(f ,...,f )unebasedumoduleN (quiestdonclibrederang p).On 1 p endéduitdesisomorphismesAn→MetAp→N,respectivementdéfinis(dansl’écritureclassique envecteurscolonnes)parX7→BX etY 7→CY.Six=BX∈M,resp.y=CY ∈N,lescomposantes (x ,...,x ) de X, resp. les composantes (y ,...,y ) deY, sont les coordonnées de x dans la base 1 n 1 p B,resp.lescoordonnéesdeydanslabaseC. Soit f :M→N unmorphisme.IlexisteuneuniquematriceP∈Mat (A)telleque f(B)=CP. p,n c’estlamatricedel’applicationlinéaire f relativeauxbasesB etC.Ona: f(x)=y⇐⇒ f(BX)=CY ⇐⇒ f(B)X =CY ⇐⇒CPX =CY ⇐⇒Y =PX. LamatriceP=(a ) reliedonclescoordonnéesdexetdey= f(x)parlesformules: j,i 1≤j≤p 1≤i≤n n y =∑a x, j=1,...,p. j j,i i i=1 Exercice1.3.13 À quelle condition sur P le morphisme f est-il injectif, resp. surjectif, resp. bi- jectif? 12
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