algèbre et géométrie

320 Pages·2015·4.82 MB·French

ALGÈBRE
ET
GÉOMÉTRIE
François COMBES
Ancienélèvedel’ÉcoleNormaleSupérieuredeSaint-Cloud
ProfesseurdeMathématiquesàl’Universitéd’Orléans

AVANT PROPOS
Cetouvrageaétéconçuàpartirducoursenseignéparl’auteurcesdernièresannées
enLicencedeMathématiques.Lecontenudecetenseignementdécoulaitlui-mêmedes
exigences des programmes des Concours du CAPES et de l’Agrégation de Mathéma-
tiqueauxquelslagrandemajoritédesétudiantsdececursussedestinaient.
C’estdoncunlivrequiseveutpratique,trèsprochedesprogrammesdesconcours
que nous avons mentionnés, incluant de nombreux exemples et exercices d’applica-
tion.Ilintroduitlesnotionsalgébriquesdegroupe(partieI)etd’anneau(partieIII).Il
lesutilised’unepartdanslecadredelagéométrieaffineetdelagéométrieeuclidienne
(partieII),etd’autrepartenthéoriedesnombres(partieIV),chapitresimportantsdans
laformationdesfutursenseignants.
Les fondements de la géométrie affine ne sont plus enseignés dans les Premiers
Cycles Universitaires où il a fallu faire place à de nouvelles disciplines. C’est dans le
coursd’algèbredeLicencequecechapitretrouveuneplacenaturelle.Eneffet,lanotion
degroupeestpartoutsous-jacenteengéométrie.Elleytrouved’innombrablesillustra-
tions et applications. Depuis F. Klein et H. Poincaré, les géométries, euclidiennes ou
non,sontperçuesdanslecontexted’unensembledepointssurlequelungroupeopère.
En géométrie plane euclidienne, apparaissent divers groupes classiques: groupe des
homothéties et translations, groupe des isométries, groupe des déplacements, groupe
dessimilitudes,...dontlastructuredoitêtreconnue.
Par ailleurs, la nécessité de découper les cursus en Unités d’enseignement sépa-
rées, crée artificiellement une division des mathématiques en disciplines que l’on a
tendanceàconsidérercommedesdomainesdisjoints.Or,danslaréalité,ethistorique-
ment,lapenséeestuntoutoùlesgrandschapitresserencontrent,s’interpénètrent.Par
exemple,c’estledéveloppementdel’analysequiaprovoquélanaissancedelagéomé-
trieanalytiqueau 17e siècleetdelagéométrieriemannienneaumilieudu 19e siècle,
de la théorie analytique des nombres dans la deuxième moitié du 19e siècle. C’est la
puissance de l’algèbre moderne qui explique le développement de la géométrie algé-
brique au 20e siècle. Dans cet ouvrage, nous avons voulu mettre en valeur cette pré-
sence de l’algèbre au sein de la géométrie, de la géométrie en théorie des nombres,
chaque discipline apportant ses outils à l’autre: preuve géométrique de l’existence
de solutions pour des équations diophantiennes en arithmétique, démonstration al-
gébrique de l’impossibilité d’effectuer certaines constructions géométriques à la règle
etaucompas(quadratureducercle,contructiondespolygonesréguliers,...),etc.
Commenousl’indiquions,afindeprivilégierlecaractèrepratiqueetutiledecetou-
vrage,nousavonsvolontairementlimitélecontenuauxnotionsfigurantexplicitement
danslesprogrammesdesConcoursderecrutementdesenseignantsduSecondDegré:
groupescycliquesetabéliens,groupesymétrique,groupesdetransformationsgéomé-
triques classiques, anneau des polynômes, applications classiques à l’arithmétique, à
lathéoriedesnombres...
Les parties de ce livre qui ne sont pas explicitement au programme du CAPES de
Mathématique, et qui concernent plutôt la préparation à l’Agrégation, apparaissent à
la fin des parties I et IV. Il s’agit des théorèmes de Sylow et de l’étude des anneaux
factoriels.
Je tiens à remercier, très chaleureusement, mes collègues J. M. CHEVALLIER ,
C. POP , J. F. HAVET , J. P. SCHREIBER qui m’ont accordé beaucoup de temps
pour m’aider à surmonter les difficultés pratiques liées à l’utilisation des logiciels, et
qui m’ont fait le cadeau le plus précieux pour un mathématicien: des exemples inté-
ressants,desremarquesoriginales,quiontenrichicetouvrage.
Je remercie également les Editions BREAL, qui ont accepté de publier ce livre, et
quim’ontdonnédesconseilstrèsutilespoursaconception.
VERSION NUMÉRIQUE REVUE ET CORRIGÉE J. F. HAVET MAI 2015
Table des matières
I GROUPES 9
1 Lacatégoriedesgroupes 11
1.1 Factorisationd’uneapplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Loidecompositioninternesurunensemble. . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Notiondegroupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Homomorphismesdegroupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Noyauetimaged’unhomomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Indiced’unsous-groupe,théorèmedeLagrange . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8 Groupequotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.9 Factorisationdeshomomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.10 Produitdirectdegroupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.11 Caractérisationduproduitdirect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.12 Procédédesymétrisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.13 Sous-groupesdeZetdeR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.14 Sous-groupeengendréparunélément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.15 Exercicesduchapitre1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Actionsdegroupes 39
2.1 Groupeagissantsurunensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Orbite,stabilisateurd’unpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Actiond’ungroupefinisurunensemblefini . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 ThéorèmedeCauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5 Théorèmed’isomorphismedeNoether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6 Produitssemi-directs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7 Caractérisationdesproduitssemi-directs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.8 Exercicesduchapitre2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3 Groupesabéliensfinis 59
3.1 Groupescycliques,générateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Homomorphismesentregroupescycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Sous-groupesd’ungroupecyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4 Produitdedeuxgroupescycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5 Groupesd’ordrepremier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.6 Décompositioncycliqued’ungroupeabélienfini . . . . . . . . . . . . . . 65
3.7 Groupesrésolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.8 Exercicesduchapitre3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5
4 Legroupesymétrique 79
4.1 Décompositiond’unepermutationencycles . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2 Cyclesconjugués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3 Générateursdugroupesymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.4 Signatured’unepermutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.5 Nonrésolubilitédugroupedespermutations . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.6 Exercicesduchapitre4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5 Sous-groupesdeSylow 91
5.1 ThéorèmesdeSylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 Structuredequelquesgroupesfinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.3 Groupesd’ordre8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.4 Exercicesduchapitre5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
II GEOMETRIE 103
6 Géométrieaffine 105
6.1 Espaceaffineassociéàunespacevectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2 Repèrescartésiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.3 Applicationsaffines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.4 Existenced’applicationsaffines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.5 Isomorphismesaffines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.6 Sous-espacesaffines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.7 Sous-espacesaffinesendimensionfinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.8 Sous-espacesaffinesetapplicationsaffines . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.9 Groupeaffine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.10 Groupedeshomothétiesettranslations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.11 Orientationd’unespaceaffineréel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.12 Exercicesduchapitre6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7 Barycentresengéométrieaffine 133
7.1 Barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.2 Applicationsaffinesetbarycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.3 Sous-espacesaffinesetbarycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.4 Repèresaffines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.5 Espaceaffinehyperpland’unespacevectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.6 Partiesconvexesd’unespaceaffineréel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.7 Enveloppeconvexed’unepartie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.8 Pointsextrémauxd’unepartieconvexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.9 Sommetsdespolygonesetpolyèdresconvexes . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.10 Lespolyèdresconvexesréguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.11 Exercicesduchapitre7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8 Géométrieaffineeuclidienne 153
8.1 Espacesaffineseuclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.2 Rappelssurlegroupeorthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.3 Isométriesaffines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.4 Symétriesorthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.5 Symétriesglissées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
8.6 Isométriesproduitsdesymétrieshyperplanes . . . . . . . . . . . . . . . 160
6
8.7 Groupedesisométriesde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
n
E
8.8 Décompositioncanoniqued’uneisométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.9 Classificationdesisométriesduplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.10 Classificationdesisométriesdel’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.11 Groupedessimilitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.12 Sous-groupesfinisdugroupedesdéplacements . . . . . . . . . . . . . . 171
8.13 Exercicesduchapitre8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
III ANNEAUX 187
9 Généralitéssurlesanneaux 189
9.1 Lesobjetsdecettecatégoriemathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9.2 Lesmorphismesdanscettecatégoriemathématique . . . . . . . . . . . . 192
9.3 Lessous-anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
9.4 Sous-anneauengendréparunepartienonvide . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.5 Idéauxd’unanneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.6 Intersectionetsommed’idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
9.7 Quotientd’unanneauparunidéalbilatère . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
9.8 Idéauxmaximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
9.9 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
9.10 Corpsdesfractionsd’unanneauintègre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
9.11 Quotientparunidéalmaximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
9.12 Sous-corpspremierd’uncorps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9.13 Exercicesduchapitre9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
10 Anneauxdepolynômes 213
10.1 Polynômesàcoefficientsdansunanneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
10.2 Divisioneuclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
10.3 Fonctionpolynomialeetracinesd’unpolynôme . . . . . . . . . . . . . . 216
10.4 Dérivéeformelled’unpolynôme,formuledeTaylor . . . . . . . . . . . . 217
10.5 Multiplicitéd’uneracine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
10.6 Unexemple:lespolynômescyclotomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
10.7 GroupeK lorsqueK estuncorpscommutatif . . . . . . . . . . . . . . . 221
⇤
10.8 Lepolynômed’interpolationdeLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
10.9 Résolutiondeséquationsdutroisièmedegré . . . . . . . . . . . . . . . . 224
10.10 Exercicesduchapitre10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
11 Anneauxprincipaux 237
11.1 Idéauxprincipaux,anneauxprincipaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
11.2 Exemplesclassiques:lesanneauxeuclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
11.3 Entiersd’uncorpsquadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
11.4 Divisibilitédansunanneauprincipal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
11.5 Décompositionenfacteursirréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
11.6 AnneaudesentiersdeGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
11.7 Théorèmechinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
11.8 Quotientsdanslesanneauxprincipaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
11.9 Exercicesduchapitre11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
7
IV Théoriedesnombres 261
12 Arithmétique 263
12.1 Congruences,anneauZ/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
12.2 ThéorèmesdeFermat-EuleretdeWilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
12.3 Résidusquadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
12.4 Nombrespremiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
12.5 NombresdeMersenne,nombresdeFermat . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
12.6 UnpasverslethéorèmedeDirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
12.7 Equationsdiophantiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
12.8 Exercicesduchapitre12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
13 Nombresalgébriques 289
13.1 Elémentsalgébriquesd’unealgèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
13.2 Uneapplicationàl’algèbrelinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
13.3 Nombrestranscendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
13.4 Lecorpsdesnombresalgébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
13.5 Constructionsàlarègleetaucompas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
13.6 Quelquesconstructionsàlarègleetaucompas . . . . . . . . . . . . . . . 298
13.7 Exercicesduchapitre13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
14 Anneauxfactoriels 307
14.1 Unegénéralisationdesanneauxprincipaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
14.2 Polynômesprimitifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
14.3 Irréductibilitédespolynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
14.4 Anneaudespolynômessurunanneaufactoriel . . . . . . . . . . . . . . . 312
14.5 Critèred’irréductibilitéd’Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
14.6 Irréductibilitédespolynômescyclotomiques . . . . . . . . . . . . . . . . 317
INDEX 319
8
Première partie
GROUPES
9