algebre et calcul formel

98 Pages·2014·0.9 MB·French

UniversitØ Claude Bernard LYON 1
FST - DØpartement de MathØmatiques
Master MA MathØmatiques GØnØrales - M2
UE AlgŁbre et calcul formel
ALGEBRE ET CALCUL FORMEL
Michel CRETIN
2
Chapitre 1
Polyn(cid:244)mes univariØs.
1.1 GØnØralitØs
On considŁre l’anneau A[X] des polyn(cid:244)mes (cid:224) coe(cid:30)cients dans un anneau A (commutatif et
unitaire). Si l’anneau A est intŁgre, l’anneau A[X] est intŁgre et l’on a1 :
deg(fg) = deg(f)+deg(g) pour tout f,g ∈ A[X]
Toujours dans le cas A intŁgre, on dispose du corps des fractions K = Frac(A) de A et K(X)
est le corps des fractions de A[X].
OndØsigneparA× legroupe(multiplicatif)desØlØmentsinversibles deA;deuxØlØmentsx,y ∈ A
sont associØs2 s’il existe u ∈ A× tel que y = ux; on obtient une relation d’Øquivalence sur A.
Un ØlØment p ∈ A est premier s’il vØri(cid:28)e le lemme d’Euclide3 :
pour tout x,y ∈ A : p|xy =⇒ p|x ou p|y
et un ØlØment p ∈ A est irrØductible si :
pour tout a ∈ A : a|p =⇒ a ∈ A× ou a (cid:39) p
Tout ØlØment p premier est alors irrØductible; la rØciproque est vØri(cid:28)Øe lorsque A est factoriel.
Si l’anneau A est factoriel, l’anneau A[X] est factoriel). Dans ce cas, un polyn(cid:244)me f ∈ A[X]
est primitif si ses coe(cid:30)cients sont premiers entre eux. Tout polyn(cid:244)me non nul f ∈ K[X] s’Øcrit
de maniŁre unique, aux ØlØments associØs prŁs, f = cont(f)pp(f) avec cont(f) ∈ K∗ (contenu
de f) et pp(f) ∈ A[X] polyn(cid:244)me primitif (partie primitive de f). Etant donnØ f ∈ K[X], on a
f ∈ A[X] si et seulement si cont(f) ∈ A.
On a de plus, pour f,g ∈ K[X]\{0} :
1. cont(fg) (cid:39) cont(f)cont(g)
2. pp(fg) (cid:39) pp(f)pp(g)
Soit f ∈ A[X] un polyn(cid:244)me primitif; alors f est irrØductible dans A[X] si et seulement si f
est irrØductible dans K[X] lemme de Gauss). de sorte que les ØlØments irrØductibles de A[X]
sont, d’une part les ØlØments irrØductibles de A, d’autre part les polyn(cid:244)mes primitifs de A[X]
irrØductibles dans K[X].
Un anneau A est principal s’il est intŁgre et si tout idØal de A est engendrØ par un ØlØment; alors
A est factoriel et pour tout ØlØment irrØductible p ∈ A l’idØal (cid:104)p(cid:105) est maximal; en particulier
1. en gØnØral on a seulement deg(fg)≤deg(f)+deg(g) pour tout f,g∈A[X]
2. on notera y(cid:39)x la relation d’association
3. l’idØal (cid:104)p(cid:105) est premier ie. A/(cid:104)p(cid:105) est intŁgre
3
4 CHAPITRE 1. POLYN(cid:212)MES UNIVARI(cid:201)S.
l’anneau A[X] est principal si et seulement si A est un corps.
En(cid:28)n un anneau A est noethØrien si tout idØal de A possŁde un systŁme gØnØrateur (cid:28)ni4. Si
l’anneau A est noethØrien, l’anneau A[X] est noethØrien (thØorŁme de la base (cid:28)nie de Hilbert).
Par ailleurs on dira qu’une structure algØbrique est e(cid:27)ective si l’on dispose :
1. d’une structure de donnØes pour reprØsenter les ØlØments
2. d’algorithmes pour e(cid:27)ectuer les opØrations et pour tester l’ØgalitØ
1.2 Algorithme d’Euclide
Soit K un corps commutatif; on suppose que K est e(cid:27)ectif ; alors l’anneau K[X] est e(cid:27)ectif
et est euclidien (de maniŁre e(cid:27)ective aussi).
Algorithme 1 Division euclidienne
1. entrØe : des polyn(cid:244)mes non nuls f,g ∈ K[X]
2. initialisations : q := 0, r := f
3. tant que r (cid:54)= 0 et deg(r) ≥ deg(g) boucle :
{
lc(r)
(a) M := Xdeg(r)−deg(g)
lc(g)
(b) q := q+M
(c) r := r−Mg
}
4. sortie : les polyn(cid:244)mes q,r ∈ K[X] que f = gq+r avec r = 0 ou deg(r) < deg(g)
(cid:79) Posons m = deg(f) et n = deg(g); l’algorithme de la division euclidienne comporte au plus
m−n+1 itØrations (terminaison).
Notons q et r les quotients et restes partiels calculØs (cid:224) l’Øtape i; on a alors :
i i
lc(r )
M = i Xdeg(ri)−deg(g)
i
lc(g)
q = q +M
i+1 i i
r = r −M g
i+1 i i
Il en rØsulte que l’ØgalitØ f = gq +r est un invariant de boucle (correction).
i i
Pour tout polyn(cid:244)me non nul h ∈ K[X], on pose :
trn(h) = h−lc(h)Xdeg(h)
de sorte que
trn(h) = 0 ou deg(trn(h)) < deg(h)
et l’on a :
r trn(r )−M trn(g)
i+1 i i
Ainsi une itØration reprØsente au plus 2n opØrations dans le corps K et la division euclidienne
comporte au plus 2n(m−n+1) opØrations dans le corps K est est donc d’une complexitØ de
l’ordre de O(n(m−n)). (cid:77)
4. si A principal, A est Øvidemment noethØrien
1.2. ALGORITHME D’EUCLIDE 5
Pour tout entier d ≥ 0, on dØsigne par K[X] le K-espace vectoriel de dimension d formØ
≤d−1
du polyn(cid:244)me nul et des polyn(cid:244)mes de K[X] de degrØ ≤ d − 1. L’espace vectoriel K[X]
≤d−1
possŁde la base canonique (Xd−1,··· ,X,1).
m n
Soient f = (cid:80)a Xi ∈ K[X] et g = (cid:80)b Xj ∈ K[X] des polyn(cid:244)mes (cid:224) coe(cid:30)cients dans un
i j
i=0 j=0
corps commutatif K et (cid:224) une indØterminØe X, de degrØs respectifs m et n; l’application de
Bezout-Sylvester est l’application K-linØaire :
∂m,n : K[X] ⊕K[X] −→ K[X]
f,g ≤n−1 ≤m−1 ≤m+n−1
(u,v) −→ uf +vg
Lemme 1 L’application de Bezout-Sylvester ∂m,n est bijective si et seulement si f et g sont
f,g
premiers entre eux.
(cid:79) Soit (u,v) ∈ Ker(∂m,n); on a uf +vg = 0 de sorte que f|vg donc f|v. Si on avait v (cid:54)= 0 on
f,g
aurait deg(v) ≥ m de sorte que v = 0 = 0. Ainsi ∂m,n est injective, donc un isomorphisme par
f,g
ØgalitØ des dimensions.
RØciproquement si ∂m,n est bijective, on a uf +vg = 1 donc f et g sont premiers entre eux. (cid:77)
f,g
DØ(cid:28)nition 1
Le dØterminant R (f,g) = det(∂m,n) ∈ K de l’application ∂m,n (oø m = deg(f) et n = deg(g))
X f,g f,g
est le rØsultant des polyn(cid:244)mes f,g ∈ K[X].
En particulier on a R (f,g) (cid:54)= 0 si et seulement si f et g son premiers entre eux.
X
Soient f,g ∈ K[X] de degrØs respectifs m et n; on pose ∆ = pgcd(f,g), d = deg(∆);
l’application linØaire :
∂ : K[X] ×K[X] −→ K[X]
f,g ≤n−d−1 ≤m−d−1 ≤m+n−2d−1
f g
(U,V) −→ U +V
δ δ
estbijective.Enparticulierilexistedespolyn(cid:244)mesuniques u ∈ K[X] etv ∈ K[X]
≤n−d−1 ≤m−d−1
tels que uf +vg = ∆ (formule de Bezout). L’algorithme d’Euclide permet de calculer pgcd ∆ :
Pourf,g ∈ K[X],ondØ(cid:28)nitdessuites(cid:28)niesdepolyn(cid:244)mesnon nuls :f ,··· ,f (suite des restes)
0 t
et q ,··· ,q (suite des quotients) en posant f = f et f = g et pour chaque k, 1 ≤ k ≤ t on
1 t 0 1
e(cid:27)ectue la division euclidienne de f par f ;on a donc :
k−1 k
f = f q +r avec r = 0 ou deg(r ) < deg(f ) pour 0 ≤ k ≤ t−1
k−1 k k k+1 k+1 k+1 k
1
Si r = 0 on pose t = k et on s’arrŒte sinon on choisit µ ∈ K(cid:63); et on pose f := r .
k+1 k k+1 k+1
µ
k
Les coe(cid:30)cients non nuls α, β et µ (1 ≤ k ≤ t − 1) permettent d’introduire di(cid:27)Ørentes
k
variantes de l’algorithme :
Exemples :
1. L’algorithme d’Euclide classique s’obtient en prenant α = 1, β = 1, λ = µ = 1 et en
k k
utilisant la division euclidienne.
2. En prenant α = 1/lc(f), β = 1/lc(g), λk = 1, µk = lc(f(cid:101)k+1) et en utilisant la division
euclidienne on obtient le pgcd unitaire.
3. Si f,g ∈ A[X], en utilisant la division euclidienne et en prenant pour α (resp. β) le ppcm
des dØnominateurs des coe(cid:30)cients de f (resp. g), λk = lc(f(cid:103)k+1)deg(fk−1)−deg(fk)+1, µk = 1
(ou,cequirevientaumŒme,enutilisantlapseudo-division etenprenantλ = 1etµ = 1)
k k
on e(cid:27)ectue les calculs dans A[X].
6 CHAPITRE 1. POLYN(cid:212)MES UNIVARI(cid:201)S.
4. Sif,g ∈ A[X],enutilisantladivisioneuclidienneetenprenantenprenantpourα(resp.β)
le ppcm des dØnominateurs des coe(cid:30)cients de f (resp. g), λk = lc(f(cid:103)k+1)deg(fk−1)−deg(fk)+1,
µk = cont(f(cid:101)k+1)(ou,cequirevientaumŒme,enprenantlapartieprimitivedupseudo-reste
avec λ = 1 et µ = 1) on e(cid:27)ectue les calculs dans A[X] tout en modØrant la croissance
k k
des donnØes intermØdiaires.
Algorithme 2 (Algorithme d’Euclide )
1. entrØe : des polyn(cid:244)mes f,g ∈ K[X]
2. initialisations : f0 := αf, f1 := βg
3. boucle :
{
(a) f0 := qf1+r avec r = 0 ou deg(r) < deg(f1)
(b) sortir quand r = 0
1
(c) f0,f1 := f1, r avec µ ∈ K(cid:63)
µ
}
4. sortie : le pgcd ∆ = f1 de f et g
(cid:79) Si l’on avait f (cid:54)= 0 pour tout i ≥ 1, La suite (deg(f )) serait strictement dØcroissante ce
i k k>geq1
qui n’est pas possible puisque N est un ensemble bien-ordonnØ (terminaison).
Si f = qg + µr avec µ ∈ K∗, on a pgcd(f,g) = pgcd(g,r) de sorte que l’on a pgcd(f,g) =
pgcd(f ,f ) pour 1 ≤ k ≤ t−1 et (cid:28)nalement pgcd(f,g) = pgcd(f ,f ) = f . Ainsi f est un
k k+1 t−1 t t t
pgcd de f et de g (correction).
L’Øtape k comporte
2deg(f )(deg(f )−deg(f )+1
k k−1 k
opØrations dans le corps K de sorte que le nombre d’opØration est bornØ par :
t
(cid:88)
(2deg(f )(deg(f )−deg(f )+1) ≤ 2n(deg(f )−deg(f ))+2nt = 2n(m−d+t) ≤ 2n(m+t) ≤ 4mn
k k−1 k 0 t
k=1
de sorte que la complexitØ de l’algorithme d’Euclide est d’ordre O(mn). (cid:77)
L’algorithme d’Euclide Øtendu permet d’obtenir en plus les coe(cid:30)cients de Bezout u et v en
dØ(cid:28)nissant par rØcurrence les suites u ,··· ,u et v ,··· ,v par u = α, u = 0, v = 0, v = β
0 t 1 t 0 1 0 1
1 1
et les relations : u = (u −q u ) et v = (v −q v ).
k+1 k−1 k k k+1 k−1 k k
µ µ
k k
Proposition 1
On a :
1. f = u f +v g (k ≥ 0)
k k k
(−1)k
2. u v −u v = (k ≥ 0) En particulier, u et v sont premiers entre eux.
k k+1 k+1 k k k
µ ···µ
1 k
3. deg(u ) = deg(g)−deg(f ) (k ≥ 2)
k k−1
4. deg(v ) = deg(f)−deg(f ) (k ≥ 2)
k k−1
1.3. LE R(cid:201)SULTANT 7
(cid:79) Les ØgalitØs s’obtiennent par rØcurrence sur k en remarquant, pour les deux derniŁres, que
deg(q ) = deg(f )−deg(f ).
k k−1 k
On a ∆ = f , u = u et v = v . On a par ailleurs :
t t t
deg(f ) < ··· < deg(f ) < deg(f < ··· < deg(f )
t k k−1 1
de sorte que :
deg(u ) = deg(g)−deg(f ) < deg(g)−deg(f )
k k−1 t
deg(v ) = deg(g)−deg(f ) < deg(g)−deg(f )
k k−1 t
(cid:77)
Algorithme 3 (Algorithme d’Euclide Øtendu)
1. entrØe : des polyn(cid:244)mes f,g ∈ K[X]
2. initialisations : f0 := f, f1 := g, u0 := α, u1 := 0, v0 := 0, v1 := β
3. boucle :
{
(a) f0 := qf1+r avec r = 0 ou deg(r) < deg(f1)
(b) sortir quand r = 0
1
(c) f0,f1 := f1, r avec µ ∈ K(cid:63)
µ
1
(d) u0,u1 := u , (u0−qu1)
1
µ
1
(e) v0,v1 := v , (v0−qv1)
1
µ
}
4. sortie : le pgcd ∆ = f1 de f et g et les coe(cid:30)cients de Bezout u = u1 et v = v1 tels que
g f
fu+gv = ∆ avec u = 0 ou deg(u) < deg( ) et v = 0 ou deg(v) < deg( ).
∆ ∆
1.3 Le rØsultant
1.3.1 La matrice de Sylvester
DØ(cid:28)nition 2
Soient f,g ∈ K[X] des polyn(cid:244)mes non nuls de degrØs respectifs m et n; la matrice de Sylvester
Sm,n(f,g) est la matrice5 de l’application linØaire :
X
∂m,n : K[X] ⊕K[X] −→ K[X]
f,g ≤n−1 ≤m−1 ≤m+n−1
(u,v) −→ uf +vg
dans les bases canoniques6 des espaces K[X] ⊕K[X] et K[X] .
≤n−1 ≤m−1 ≤m+n−1
5. ou sa transposØe
6. ((Xn−1,0),··· ,(X,0),(1,0),(0,Xm−1)··· ,(0,X),(0,1))estlabasecanoniquedeK[X]≤n−1⊕K[X]≤m−1
et (Xm+n−1,··· ,X,1) est la base canonique de K[X]≤m+n−1
8 CHAPITRE 1. POLYN(cid:212)MES UNIVARI(cid:201)S.
Pour 1 ≤ j ≤ n (resp. 1 ≤ i ≤ m), la matrice de Sylvester Sm,n(f,g) a pour colonne C
X j
(resp. C ) les coe(cid:30)cients du polyn(cid:244)me Xn−jf(X) (resp. Xm−ig(X)) dans la base canonique
n+i
(Xm+n−k) duK-espacevectorieldedimensionm+ndespolyn(cid:244)mesdedegrØ≤ m+n−1;
1≤k≤m+n
on a donc :
 a 0 0 ··· 0 b 0 ··· 0 
m n
. .
a a .. b b .. 
 m−1 m n−1 n 
 . 
 .. a a b 0 
 m−1 m n−1 
 . . 
 .. a 0 .. b 
 m−1 n 
SXm,n(f,g) =  a0 ... am ... bn−1
 0 a ... a b ... 
 0 m−1 0 
 . . . 
. . .
 . 0 a . 0 b . 
 0 0 
 .. 
 0 . 0 
0 a 0 b
0 0
de sorte qu’en posant Sm,n(f,g) = (S ) on obtient :
X i,j 1≤i,j≤m+n
(cid:63) pour 1 ≤ j ≤ n :
(cid:26)
S = a pour 0 ≤ i ≤ m
j+i,j m−i
S = 0 pour k (cid:54)∈ [j,m+j]
k,j
(cid:63) pour 1 ≤ i ≤ m :
(cid:26)
S = b pour 0 ≤ j ≤ n
i+j,n+i n−j
S = 0 pour k (cid:54)∈ [i,n+i]
k,n+i
Le rØsultant
R (f,g) = det(Sm,n(f,g))
X X
des polyn(cid:244)mes f et g est le dØterminant de la matrice de Sylvester Sm,n(f,g) :
X
Corollaire 1
Soit A un anneau intŁgre de corps de fractions K = Frac(A); si on a f ∈ A et g ∈ A on a
R (f,g) ∈ A.
X
(cid:79) La matrice Sm,n(f,g) est (cid:224) coe(cid:30)cients dans A et la formule de Leibniz montre que R (f,g) =
X X
det(Sm,n(f,g)) ∈ A. (cid:77)
X
Corollaire 2
m n
Etant donnØs des polyn(cid:244)mes f = (cid:80)a Xi et g = (cid:80)b Xj de degrØs m et n on a :
i j
i=0 j=0
1. R (f,g) = an si m = 0 (ie. f constant)
X m
2. R (λf,µg) = λnµmR (f,g) λ,µ ∈ K
X X
3. R (g,f) = (−1)mnR (f,g)
X X
4. R (X −x,g) = g(x)
X
(cid:79) Pour 1. la matrice de Sylvester est de la forme :
a 0 0 ··· 0 
m
.
 0 a .. 
 m 
 . . 
S0,n(f,g) =  .. 0 a .. 
X  m 
 ... 0 ... 0 
 
.
.
0 . a
m
1.3. LE R(cid:201)SULTANT 9
Pour 2. et 3. cela rØsulte de ce que le dØterminant d’une matrice est une forme multilinØaire
alternØe par rapport aux colonnes de cette matrice. Pour 4. R (X −x,g) est le dØterminant de
X
la matrice :
 
1 0 ··· 0 b
n
−x 1 ··· 0 bn−1
 
 ... −x ... ... ... 
 
 0 ... ... 1 b1 
0 ··· ··· −x b
0
n
En dØveloppant par rapport (cid:224) la derniŁre colonne on obtient (cid:80)(−1)2n+2−ib (−x)i = g(x)
i
i=0
(cid:77)
m
Soit f = (cid:80)a Xi ∈ K[X] un polyn(cid:244)me de degrØ m; on lui associe la K-algŁbre
i
i=1
A = K[X]/(cid:104)f(cid:105)
de rang m. Pour tout g ∈ K[X] on considŁre :
m : A −→ A
g
h −→ gh
l’endomorphisme du K-espace vectoriel A induit par la multiplication par g.
Proposition 2 (formule de Poisson)
R (f,g) = andet(m )
X m g
(cid:79) voir l’exercice 2. de la (cid:28)che de TD 1 (cid:77)
Corollaire 3 (multiplicativitØ) Soient f,g,h ∈ K[X] des polyn(cid:244)mes non nuls de degrØs res-
pectifs m,n,p; on a :
R (f,gh) = R f,g)R (f,h)
X ( X
(cid:79) D’aprŁs la formule de Poisson on a :
R (f,g) = andet(m ) R (f,h) = ap det(m ) R (f,hg) = an+pdet(m )
X m g X m h X m gh
or
det(m ) = det(m )det(m )
gh g h
(cid:77)
Corollaire 4
m
On considŁre une K-extension Ω contenant les racines x1,··· ,xm les racines de f = (cid:80)aiXi et les racines
i=0
n
y1,··· ,yn de g= (cid:80)bjXj . On a alors :
j=0
m n
R (f,g)=anbm (cid:89) (x −y )=an(cid:89)g(x )=(−1)mnbm(cid:89)f(y )
X m n i j m i n j
1≤i≤m i=1 j=1
1≤j≤n
10 CHAPITRE 1. POLYN(cid:212)MES UNIVARI(cid:201)S.
(cid:79) Les trois relations se dØduisent l’une de l’autre puisque l’on a :
m n
(cid:89) (cid:89)
f =a (X−x ) g=b (X−y )
m i n j
i=1 j=1
Le lemme de multiplicativitØ montre que :
m m m
R (f,g)=R (a (cid:89)(X−x ),g)=an(cid:89)R ((X−x ,g)=an(cid:89)g(x )
X X m i m X i m i
i=1 i=1 i=1
(cid:77)
Corollaire 5
ConsidØrons des polyn(cid:244)mes non nuls f,g ∈ K[X] de degrØs respectifs m et n avec m ≤ n; soit h
le reste de la division euclidienne de g par f ; on a :
(cid:40)
an−rR (f,h) si h (cid:54)= 0 et r = deg(h)
R (f,g) = m X
X
0 si h = 0
(cid:79) On a g = fq +h avec h ∈ K[X] de sorte que m = m . Si h = 0 on a R (f,g) = 0
≤m−1 g h X
Supposons maintenant h (cid:54)= 0; on a alors :
R (f,g) = andet(m )
X m g
= andet(m )
m h
= an−rar det(m )
m m h
= an−rR (f,h)
m X
(cid:77)
1.3.2 RØsultant et formule de Bezout
Proposition 3
Soit A un anneau factoriel de corps de fractions K = Frac(A); on considŁre f,g ∈ A[X] des
polyn(cid:244)mes premiers entre eux (cid:224) coe(cid:30)cients dans A de degrØ respectifs m et n et u ∈ K[X]
≤n−1
et v ∈ K[X] uniques tels que uf +vg = R (f,g); on a alors u,v ∈ A[X].
≤m−1 X
En particulier on a R (f,g) ∈ (cid:104)f,g(cid:105)∩A.
X
(cid:79) Soit Sm(cid:94),n(f,g) la matrice transposØe des cofacteurs (comatrice) de la matrice de Sylvester
X
Sm,n(f,g) de f et g . On a les formules de Cramer :
X
Sm,n(f,g)Sm(cid:94),n(f,g) = Sm(cid:94),n(f,g)Sm,n(f,g) = R (f,g)I
X X X X X
Puisque Sm,n(f,g) est (cid:224) coe(cid:30)cients dans A la comatrice Sm(cid:94),n(f,g) est (cid:224) coe(cid:30)cients dans A.
X X
Puisque f et g sont premiers entre eux dans A[X] donc dans K[X], l’application K-linØaire
∂m,n : K[X] ⊕K[X] −→ K[X]
f,g ≤n−1 ≤m−1 ≤m+n−1
est bijective de sorte qu’il existe u ∈ K[X] et v ∈ K[X] uniques tels que :
≤n−1 ≤m−1
uf +vg = R (f,g)
X