algèbre et arithmétique 1

83 Pages·2014·0.86 MB·French

ALGÈBRE ET ARITHMÉTIQUE 1
Cours de l’Université de Rennes 1 (2014–2015).
Url : http://perso.univ-rennes1.fr/christophe.mourougane/enseignements/
Ce texte est une version légèrement modifiée du poly 2009–2010 du module AR1, par David
Bourqui, sur la base de textes antérieurs de Christophe Mourougane et Antoine Chambert-Loir.
Que ces auteurs soient ici remerciés.
Septembre 2014
ALGÈBRE ET ARITHMÉTIQUE 1

TABLE DES MATIÈRES
Partie I. Logique, théorie des ensembles, nombres entiers naturels.............. 1
1. Logique et théorie des ensembles................................................... 3
1.1. Un peu de logique................................................................... 4
1.2. Un peu de théorie des ensembles.................................................... 7
2. Les entiers naturels.................................................................. 13
2.1. Les opérations élémentaires sur N................................................... 14
2.2. Le principe de récurrence........................................................... 14
2.3. Quelques démonstrations par récurrence............................................ 15
2.4. La relation d’ordre sur N........................................................... 15
2.5. Un peu d’histoire.................................................................... 18
2.6. Ensembles finis, cardinal............................................................ 19
Partie II. Arithmétique................................................................ 27
3. La division euclidienne............................................................... 29
3.1. Construction des entiers relatifs..................................................... 30
3.2. Le théorème de la division euclidienne.............................................. 33
3.3. Numération......................................................................... 33
3.4. Divisibilité, congruence.............................................................. 35
3.5. Plus grand diviseur commun, algorithme d’Euclide.................................. 37
3.6. Plus petit multiple commun......................................................... 40
4. Les nombres premiers................................................................ 43
4.1. Nombres premiers, crible d’Ératosthène............................................. 44
4.2. Factorisation........................................................................ 44
4.3. Petit théorème de Fermat........................................................... 46
4.4. Combien y a-t-il de nombres premiers?............................................. 47
5. Congruences.......................................................................... 49
5.1. Équations (du premier degré) aux congruences...................................... 50
5.2. Théorème chinois, système de congruences.......................................... 51
5.3. Équations polynomiales modulo 𝑝................................................... 55
5.4. Théorème d’Euler, ordre multiplicatif, cryptographie RSA.......................... 58
Partie III. Pour aller plus loin........................................................ 65
Probabilités.............................................................................. 66
vi TABLE DES MATIÈRES
Un exemple d’utilisation des suites arithmético-géométriques............................ 69
Équations polynomiales modulo 𝑛....................................................... 70
L’anneau Z/𝑛Z.......................................................................... 71
Construction des nombres entiers naturels............................................... 72
PARTIE I
LOGIQUE, THÉORIE DES ENSEMBLES,
NOMBRES ENTIERS NATURELS

CHAPITRE 1
LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES
4 CHAPITRE 1.LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES
1.1. Un peu de logique
1.1.1. Formules logiques. — Les mathématiques sont construites à l’aide de concepts (les
définitions qui seront données au fil de ce cours) et des propriétés qui découlent de ces concepts,
énoncées sous formes de théorèmes, lemmes ou propositions. L’outil qui permet de bâtir cet
enchaînement est le raisonnement logique. Sans entrer dans une présentation approfondie de la
logique, le but de ce chapitre est de donner au lecteur les notions élémentaires nécessaires pour
construire des raisonnements.
Considérons des assertions mathématiques comme «l’entier 4 est pair» (une assertion vraie)
ou «1 = 8» (une assertion fausse). Il est possible de les combiner entre elles à l’aide d’opérateurs
logiques, comme «et», «ou», ou encore «est équivalent à», pour construire des phrases logiques
plusélaborées.Quandcelles-cideviennentunpeucompliquées,ilestsouventpratiqued’introduire
des formules logiques, analogues aux formules numériques que l’on utilise pour décrire des calculs
sur les nombres.
Pour cela, considérons des variables 𝒫, 𝒬, ... pouvant ensuite être remplacées (évaluées) par
des assertions vraies ou fausses.
On sera également amené à considérer des variables décrivant des assertions dépendant d’un
paramètre, comme «l’entier 𝑛 est pair» (ce que l’on pourrait noter 𝒫(𝑛)).
Ces variables forment des formules logiques élémentaires. À partir de là, on peut construire de
nouvelles formules à l’aide d’opérateurs logiques qui combinent entre elles plusieurs sous-formules
(de la même manière que l’on peut utiliser l’addition ou la multiplication pour combiner entre
elles plusieurs formules numériques).
Pour décrire le comportement de ces opérateurs vis-à-vis de l’évaluation, on utilise des tables
de vérité, qui donnent la valeur (vrai ou faux) de la formule en fonction des valeurs possibles des
sous-formules après leur évaluation.
1.1.1.1. — La négation de 𝒫 est la formule «non𝒫 » définie par
𝒫 non𝒫
Vraie Fausse
Fausse Vraie
Ainsi, si l’on évalue la formule non𝒫 en remplaçant 𝒫 par une assertion vraie, on obtient une
assertion fausse, et si l’on remplace 𝒫 par une assertion fausse, on trouve une assertion vraie.
Par exemple, l’assertion «non(2 est un multiple de 3)» est vraie.
1.1.1.2. — La disjonction de deux formules 𝒫 et 𝒬 est la formule «𝒫 ou𝒬» définie par
𝒫 𝒬 𝒫 ou𝒬
Vraie Vraie Vraie
Vraie Fausse Vraie
Fausse Vraie Vraie
Fausse Fausse Fausse
Il est à noter que le «ou» n’est pas exclusif: en mathématiques, lorsque l’on vous propose
«fromage ou dessert», vous avez le droit de prendre les deux...
1.1.1.3. — La conjonction de deux formules 𝒫 et 𝒬 est la formule «𝒫 et𝒬» définie par