Algèbre et analyse: cours de mathématiques de première année avec exercices corrigés PDF
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Algebre et analyse Cours de mathématiques de premiére année avec exercices corrigés 7” Stéphane Balac Frédéric Sturm 1" Cycle PRESSES POLYTECHNIQUES ET UNIVERSITAIRES ROMANDES Copyrighted material Copyrighted material Algébre et analyse ‘Cours de mathématiques de premiére année avec exercices corrigés This ‘SKZR-NAY-DXBH Copyrighted material Collection des sciences appliquées de ’INSA de Lyon Algébre et analyse Cours de mathématiques de premiére année avec exercices corrigés PRESSES POLYTECHNIQUES ET UNIVERSITAIRES ROMANDES: La collection des Sciences appliquées de 'INSA de Lyon est dirigée par le professeur Bernard Balland. Récentes parutions Eléments de mathématiques discrétes Louis Frécon ‘Modélisation cognitive et résolution de problémes Guy Caplat Matériaux non cristallins et science du désordre Jo Perez Anitificialisme Jean-Pierre Micaélli, Joélle Forest AGILE 2003 (Proceedings) Michael Gould, Robert Laurini, Stéphane Coulondre, Eds Les Presses polytechniques et universitares romandes sont une fondation scientifique dont le but est principalement la diffusion des travaux de Ecole polytechnique fédérale de Lausanne et de I'Tnstitut National des Sciences Appliquées de Lyon, ainsi que d'autres universités et écoles <ingénieurs francophones, Le catalogue de leurs publications peut éue obtenu par courtier ‘aux Presses polytechniques et universitaires romandes, EPFL — Centre Midi, CH-1015 Lausanne, par E-Mail & [email protected], ‘par téléphone au (0)21 693 41 40, ou par fax au (0}21 693 40 27. httpu/www.ppurorg ISBN 2-88074.558-6 (© 2003, Presses poytechniques et universities romandes, (CH 1015 Lausanne, “Tous dots réservés Reproduction, méme partle, sous quelque forme (ou sur quelque support que ce soit, Smerdite sans Vaccoed ert de Méditeur. Imprimé en Ialie Préface L’aceueil d’étudiants étrangers & !INSA de Lyon dés la premiére année du cycle de formation d'ingénieur est nn enrichissement pour tous. De maniére originale, ce cours en est une parfaite illustration. Ce livre est le fruit d'une longue réflexion et d’innombrables échanges d'idées entre enseignants. Il refléte également une large expérience de pratique pédagogique avec les étudiants, Dans le cadre de la filiére ASINSA qui accueille pour moitié des étudiants asiatiques (Chine, Vietnam, Inde, Malaisie, Thailande, Corée) et pour moitié des étudiants frangais, les équipes pédagogiques doivent sans cesse adapter leurs méthodes en restant dans le cadre des programmes institutionnels. Ces adap- tations sont réalisées en concertation avec les différentes disciplines et ont pour objectif d'intégrer une pédagogie différenciée pour mieux répondre & V’étudiant francais ou étranger. Ce cours est une parfaite illustration de cette démarche et s'adapte donc également & tout étudiant de Premier Cycle Universitaire. Confrontés & d’autres cultures, y compris d’autres cultures scientifiques, Stéphane Balac et Frédéric Sturm ont réalisé un ouvrage adapté au plus grand nombre d’étudiants sans rien eéder sur la rigueur du rai tous & y gagner. Denis FRIBOULE: Directeur de la filiére ASINSA Didier Vray Directeur Adjoint du Premier Cycle chargé des filiéres internationales Copyrighted material Avant-propos Ce Cours de Mathématiques correspond & l'enseignement que nous dis- pensons en premiére année du cycle préparatoire de 'INSA de Lyon dans la filidre ASINSA. La filitre ASINSA est lune des trois filidres de premier cycle internatio- nal de VINSA de Lyon. Elle regroupe étudiants frangais et étudiants originaires de différents pays d’Asie (Chine, Corée, Inde, Malaisie, Thailande, Vietnam). Compte temu de la grande diversité du niveau de maitrise de la langue frangaise et de la variété des acquis mathématiques des étudiants arrivant en premiére année, In nécessité de disposer d’un support de cours écrit pour Venseignement des mathématiques nous est apparue plus quailleurs indispensable. Ce docu- ment a vu le jour dans un premier temps sous forme de polycopiés. Encouragés par le Professeur Bernard Balland, nous avons souhaité le rendre accessible au plus grand nombre, Le livre est divisé en 20 chapitres correspondant au programme d’algebre ot d’analyse de premigre année de la filiére ASINSA. Ces chapitres sont regrou- pés en 5 grandes parties : ensembles numériques fondamentaux, polynémes et fractions rationnelles, algebre linéaire, caleul différentiel et calcul intégral. Ils couvrent Jes notions généralement abordées en premiére année de tout premier cycle et ce livre pourra done étre utilisé avec profit par les étudiants des dif- férents cycles préparatoires intégrés, les étudiants des DEUG scientifiques, les étudiants en formation continue, ete. Le livre débute par un chapitre traitant de la logique mathématique dont l'objet est de fournir les notions de base utilisées lors des raisonnements mathématiques ultérieurs. L’assimilation du contenu de ce chapitre nest pas aisée et nous suggérons au lecteur de s’y référer tout att Jong de année afin d’acquérir une bonne maitrise du raisonnement mathéma- tique. Nons nous sommes attachés A donner des définitions précises et A présen- ter des raisonnem é. All certains résultats énoncés sont admis sans démonstration. D'une manitre gé: rale, les démonstrations « techniques » sont omises an profit des démonstrations pouvant améliorer la compréhension du résultat énoneé, illustrant l'utilisation de notions déja introduites on mettant en avant des idées ou méthodes sus- coptibles d’étre réutilisées par la suite. Celles-ci sont soigneusement détaillées nts rigoureux’” sans toutefois chercher Pexhaustivi " «Le danger dans le traitement mathématique d'un problame technique, c'est moins la aute de calcu, dont on finira toujours par s'aperoevoir, que la Iégere fale dans le raison rnement qui conduira & des conchisions etronées. » A, Hocquenghem, P, Jaffa, R. Che- non, Mathématiques, collection dy CNAM, Masson. ct commentées et une attention toute particuliére a été upportée & leur rédac- tion. Par ailleurs, nous avons, dans la mesure du possible, cherché & motiver les notions introduites et & les illustrer par des exemples, des remarques et des rises en garde afin de rendre Papprentissage plus dynamique. Chaque chapitre contient de courts exercices visant & tester la bonne comprehension des notions introduites. II se termine par des exercices de synthése qui font appel & la fois aux résultats présentés dans le chapitre concerné et aux notions acquises dans Jes chapitres antérieurs. Ces exercices sont souvent issus de devoirs et d'interro- gations écrites et doivent permettre d'assimiler des méthodes de raisonnement ot des techniques de calcul. Les exercices sont intégralement corrigés en fin de chaque chapitre. Nous avons tenu & apporter le plus grand soin & la rédaction de ces corrigés en y incluant tous les détails utiles & une bonne assimilation Enfin, nous avons essayé de fournir quelques éléments biographiques sur les mathématiciens cités dans cet ouvrage & travers formules et théorémes afin de mieux situer les résultats présentés dans leur contexte historique. ”” Ce livre a fait objet d’une relecture attentive et a bénéficié des com- mentaires de Pascale Stéphan et d’Aimé Lachal, Professeurs Agrégés & PINSA de Lyon, d’Eric Rannou, Maitre de Conférences au Département de Mathéma- tiques de l'Université de Bretagne Occidentale et de Jean-Marie Barbaroux, Maitre de Conférences au Département de Mathématiques de !'Université de ‘Toulon et du Var. Nous tenons a leur exprimer toute notre gratitude pour cet, important travail. I! nous est également particuligrement agréable de remercier Didier Vray, Directeur Adjoint du Premier Cycle chargé des filiéres internatio- nales, et Denis Friboulet, Directeur de la filiére ASINSA, pour leur soutien et leurs encouragements & la rédaction de cet ouvrage. Pour 'accueil compréhensif et la confiance qui nous a été accordée, nous soubaitons enfin remercier Ber- nard Balland, Directeur de la Collection des Sciences Appliquées de PINSA de Lyon, et Olivier Babel, Directeur des Presses Polytechniques et Universitaires Romandes. Les auteurs recueilleront avec intérét toute remarque ou suggestion concer- nant cet ouvrage. Villeurbanne, juillet 2003 A Anna-Lise, Caroline et Pierre Stéphane BALAc, Frédéric STURM Centre de Mathématiques 21 av. Capelle, INSA de Lyon F-69621 Villeurbanne Cedex Nous signalons aux lectours curieux d’histoire des mathématiques le site The MacTutor History of Mathematics archive réalisé par John J. O'Connor et Edmund F. Robertson ide (Universite de St-Andrew (Eeosce) (www-history.act.at-endreve.ac.uk) ainsi que le site francais ChronoMath (wwv.sesene jghe -con/aono/chronoaath) réalisé par Serge Met
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