Algèbre de Yang-Baxter dynamique et fonctions de corrélation du modèle SOS intégrable

218 Pages·2017·2.45 MB·French

Algèbre de Yang-Baxter dynamique et fonctions de
corrélation du modèle SOS intégrable
Damien Levy-Bencheton
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Damien Levy-Bencheton. Algèbre de Yang-Baxter dynamique et fonctions de corrélation du modèle
SOS intégrable. Autre [cond-mat.other]. Ecole normale supérieure de lyon - ENS LYON, 2013.
Français. ￿NNT: 2013ENSL0844￿. ￿tel-00956582￿
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abroad, or from public or private research centers. publics ou privés.
THÈSE
envuedel’obtentiondugradede
DocteurdeL’UniversitédeLyon,délivréparl’ÉcoleNormaleSupérieuredeLyon
Discipline:Physique
LaboratoiredePhysiquedeL’ENSdeLyon
ÉcoleDoctoraledePhysiqueetd’AstrophysiquedeLyon
présentéeetsoutenuepubliquementle22Octobre2013
parMonsieurDamienLEVY-BENCHETON
Algèbre de Yang-Baxter dynamique et fonctions de corrélation
du modèle SOS intégrable
Directeurdethèse:MmeVéroniqueTERRAS
Aprèsl’avisde:
M.NikolaïKITANINE
M.EricRAGOUCY
Devantlacommissiond’examenforméede:
M.NikolaïKITANINE, IMB, Rapporteur
M.Jean-MichelMAILLET, ENSdeLyon, Président
M.VincentPASQUIER, IPhT, Membredujury
M.EricRAGOUCY, LAPTh, Rapporteur
M.VladimirROUBTSOV, LAREMA, Membredujury
MmeVéroniqueTERRAS, ENSdeLyon, Directeur
AlgèbredeYang-BaxterdynamiqueetfonctionsdecorrélationdumodèleSOSintégrable
Résumé : Un défi toujours actuel dans le domaine des systèmes intégrables quantiques
est le calcul exact et explicite des fonctions de corrélation. Dans le cas de modèles simples
tels que la chaîne de Heisenberg XXZ de spins 1/2, des progrès significatifs ont été réalisés
ces dernières années. Les méthodes développées utilisent les symétries des modèles en volume
infini (algèbre quantique affine) ou fini (algèbre de Yang-Baxter). L’objet de cette thèse est
d’étendrelechampd’applicationdecederniertyped’approchedanslecasoùl’algèbredeYang-
Baxter sous-jacente est de type dynamique. C’est typiquement le cas du modèle de physique
statistique solid-on-solid (SOS) qui décrit les interactions d’un paramètre de hauteur autour
des faces d’un réseau bidimensionnel, avec des poids statistiques donnés par une matrice R
elliptiquesolutiondel’équationdeYang-Baxterdynamique.
L’étude des fonctions de corrélation du modèle SOS est abordée dans le cadre de l’ansatz
deBethealgébriqueetdelaméthodedeséparationdesvariables.Desreprésentationsentermes
de déterminants de fonctions usuelles sont obtenues par les deux méthodes pour les produits
scalaires entre états et pour les facteurs de forme des opérateurs locaux en volume fini. Les
formules obtenues dans le cadre de l’ansatz de Bethe algébrique sont ensuite utilisées pour
représenter la fonction de corrélation à deux points sous la forme d’intégrales multiples, ainsi
que pour le calcul de diverses quantités physiques à la limite thermodynamique, telles que les
polarisationsspontanéesoulesprobabilitésdehauteurslocales.Cesdernièress’exprimentsous
formed’intégralesmultiplestrèssimilairesàcellesdumodèleXXZ.
Motsclés: systèmesintégrablesquantiques,algèbredeYang-Baxterdynamique,ansatzde
Bethealgébrique,séparationdesvariables,fonctionsdecorrélation,modèlesolid-on-solid
Abstract : A current challenge in the field of quantum integrable systems is the exact and
explicit computation of correlation functions. In simple models such as the XXZ spin 1/2 Hei-
senbergchain,somesignificantresultshavebeenobtainedduringthelastyears.Thedeveloped
methods essentially use the symmetries of the models in infinite volume (quantum affine alge-
bra) or finite volume (Yang-Baxter algebra). The aim of this thesis is to generalize the scope
of the latter approaches to the case where the underlying Yang-Baxter algebra is of dynamical
type. This is typically the case of the statistical mechanics solid-on-solid (SOS) model which
describes the interactions of a height parameter around faces of a bidimensional lattice, and
whose statistical weights are given by an elliptic R-matrix which is solution of the dynamical
Yang-Baxterequation.
The study of correlation functions of the SOS model is discussed in the framework of the
algebraicBetheansatzandtheseparationofvariables.Representationsintermsofdeterminants
of usual functions are obtained by these two methods for the scalar products of states and for
form factors of local operators in finite volume. The obtained formula in the framework of the
algebraic Bethe ansatz are then used to represent the two-point function as multiple integrals,
and also to compute various physical quantities at the thermodynamic limit, such as the spon-
taneous polarizations or the local height probabilities. The latter can be expressed in terms of
multipleintegralsofcontour,whicharereallysimilartotheonesobtainedintheXXZmodel.
Keywords : quantum integrable systems, dynamical Yang-Baxter algebra, algebraic Bethe
ansatz,separationofvariables,correlationfunctions,solid-on-solidmodel

Remerciements
Jetiensbienévidemmentàexprimertoutemareconnaissanceenversmondirecteurdethèse,
Véronique Terras, pour la disponibilité dont elle a su faire preuve durant ces trois ans de thèse,
ses conseils toujours clairs et pertinents tant sur la forme que sur le fond, mais aussi pour sa
gentillesse et ses multiples allers-retours Paris-Lyon qui ne lui ont certainement pas été de tout
repos.
Je remercie également Giuliano Niccoli, avec qui j’ai eu l’opportunité de collaborer, pour
sonenthousiasmecommunicatif.
JeremercieJean-MichelMailletpouravoiracceptédeprésiderlejurydecettethèse,etpour
m’avoir fait découvrir le domaine des systèmes intégrables lors d’un cours de deuxième année
demasterayantsuscitétoutmonintéret.
J’aimerais également remercier Messieurs Nikolaï Kitanine et Eric Ragoucy pour avoir ac-
cepté la lourde tâche de rapporteur et pour leur lecture minutieuse de ce manuscrit, mais aussi
Messieurs Vincent Pasquier et Vladimir Roubtsov pour avoir accepté de faire partie du jury de
cettethèse.
Je remercie bien sûr l’Ecole Normale Supérieure de Lyon dans son ensemble et plus par-
ticulièrement le Laboratoire de Physique, pour m’avoir donné l’opportunité de préparer cette
thèsedanslesmeilleuresconditionspossibles,pourl’ambiancecordialequiyrègne,etpourles
différentesdiscussionsparfoislégèrementaniméeslorsdudéjeuner.
Je suis également reconnaissant du financement dont j’ai pu bénéficier dans le cadre du
programmeDIADEMS10BLAN012004del’AgenceNationaledelaRecherche.
Je n’oublie évidemment pas de remercier ma famille et ceux qui se reconnaîtront pour leur
soutienconstant.

Table des matières
Introduction 13
1 FonctionsdecorrélationdelachaîneXXZ 15
1.1 Cadrealgébriquedesmodèlesintégrablesquantiques . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.1 MatricedeLaxetAlgèbredeYang-Baxter . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.2 Structurealgébriquedelachaînedespins1/2XXZ . . . . . . . . . . . 19
1.2 Constructiondesétatspropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.1 AnsatzdeBethealgébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.2 Séparationdesvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3 Calculdesfacteursdeforme:pointsessentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.1 Problèmedediffusioninversequantiqueetactiondesopérateurslocaux
surunétatpropre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.2 Produitsscalairesetreprésentationsimplepourlesfacteursdeforme . 31
1.4 Quelquesapplicationsàl’étudedesfonctionsdecorrélation . . . . . . . . . . . 36
1.4.1 Problématiqueducalculdesfonctionsàdeuxpoints . . . . . . . . . . 36
1.4.2 Étudedelalimitethermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.4.3 Comportement asymptotique à longue distance des fonctions à deux
pointsenvolumeinfini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 Modèleàhuit-vertexetmodèleSOS 43
2.1 Présentationdesmodèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.1.1 ChaînedespinsXYZetmodèleàhuit-vertex . . . . . . . . . . . . . . 44
2.1.2 TransformationVertex-IRF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.1.3 Modèlesolid-on-solid(SOS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 AlgèbredeYang-BaxterdynamiquedumodèleSOS . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3 Diagonalisationdesmatricesdetransfertpériodiques . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.1 AnsatzdeBethealgébriquepourlemodèleSOSpériodique . . . . . . 55
2.3.2 ComplétudedesétatspropresdeBethe . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4 Diagonalisationdesmatricesdetransfertanti-périodiques . . . . . . . . . . . . 60
3 FacteursdeformedumodèleSOSenvolumefini 67
3.1 Résolutionduproblèmeinversequantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2 Produitscalairedumodèlepériodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.1 BaseF del’algèbredeYang-BaxterdumodèleSOS . . . . . . . . . . 72
3.2.2 CalculdesproduitsscalairespartielsenbaseF . . . . . . . . . . . . . 73
v
vi TABLEDESMATIÈRES
3.2.3 ProduitscalairedumodèleSOSpériodiquecyclique . . . . . . . . . . 76
3.3 Applicationaucalculdesfacteursdeforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.1 FacteursdeformedumodèleSOSpériodiquecyclique . . . . . . . . . 79
3.3.2 Fonctionnellegénératricedelafonctionàdeuxpoints . . . . . . . . . 82
3.3.3 Verslecalculdesprobabilitésdehauteurslocales . . . . . . . . . . . . 83
3.4 Produitscalairedumodèleanti-périodiqueetapplication . . . . . . . . . . . . 85
3.4.1 ProduitscalairedumodèleSOSanti-périodique . . . . . . . . . . . . . 85
3.4.2 FacteursdeformedumodèleSOSanti-périodique . . . . . . . . . . . 88
4 FonctionsdecorrélationdumodèleSOScyclique 93
4.1 Limitethermodynamiqueetétatsfondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2 Polarisationsspontanéesetprobabilitédehauteurlocale . . . . . . . . . . . . . 98
4.2.1 Polarisationsspontanées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2.2 Calculdesprobabilitésdehauteurslocales . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3 Calculdesprobabilitésdehauteurslocalesmulti-points . . . . . . . . . . . . . 109
4.3.1 Calculdesélémentsdematricemulti-pointsenvolumefini . . . . . . . 109
4.3.2 Verslalimitethermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.3.3 Probabilitésdehauteurslocalesmulti-points . . . . . . . . . . . . . . 115
Conclusion 119
Appendices 125
A Définitionetpropriétésdesfonctionselliptiques 125
A.1 Définitiondesfonctionsθ etpropriétésfondamentales . . . . . . . . . . . . . . 125
A.2 Quelquespropriétésutilesdelafonctionu → [u] . . . . . . . . . . . . . . . . 126
A.3 TransformationdeJacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Introduction
DepuisGalilée,laphysiqueal’ambitiond’expliquerlemondequinousentoureenélaborant
des cadres théoriques reposant sur des principes simples, réductionnistes, et certainement non
absent de motivations philosophiques. D’un ensemble de principes cohérents émerge ce qu’on
appelle généralement une théorie, c’est-à-dire un cadre d’interprétation implicite donnant du
sensauxphénomènesnaturels,dontleprincipalobjectifestnonpasdeprédirelecomportement
decesderniersmaisavanttoutdelesexpliquer.Citonsenexemplelestroisgrandesthéoriesde
la physique moderne que sont la mécanique statistique, la relativité générale, et la mécanique
quantique pour laquelle l’interprétation, et donc la compréhension, est encore aujourd’hui su-
jetteàdenombreuxdébats.
On ne saurait toutefois se convaincre de la pertinence de ces théories sans leur nécessaire
confrontation avec les objets qu’elles prétendent décrire. Cette confrontation passe avant tout
par l’élaboration de modèles décrivant des phénomènes explicites et mesurables expérimenta-
lement, et pour lesquels découlent des prédictions quantifiables, rendant ainsi vérifiable (pour
ne pas dire falsifiable) le cadre théorique dans lequel ils s’insèrent. Insistons toutefois sur le
fait que ce n’est pas tant la présence de modèles “faux”, au sens de ne décrivant effectivement
aucun phénomène physique, qui récusent les théories ainsi construites, mais bien l’absence de
modèlesnaturellement“vrais”etpertinents1.
C’estparcedialogueentrethéories,élaborationdemodèles,etvérificationsexpérimentales
que toute la physique moderne s’est construite au cours de ces quatre derniers siècles. L’étude
desmodèlesainsidéfinis,quimènentàdesprédictionssusceptiblesd’êtrevérifiéesexpérimen-
talement, est par conséquent une étape cruciale et décisive dans ce processus de construction.
Or,ilapparaîtqu’ilexistetouteuneclassedemodèlespourlesquelsuncertainnombredequan-
tités physiques importantes est calculable explicitement et exactement. Ces modèles sont dit
intégrables ou exactement solubles. On sait pourtant depuis Poincaré, que de tels modèles sont
enréalitéuneexception:leproblèmedeKepleràtroiscorps,aussisimplesoit-il,n’estdéjàpas
génériquementintégrable.Cetteparticularitéd’êtreintégrableestd’ailleursunedesmotivations
quipousseàlesétudierplusenprofondeur.Cesonteneffetdesmodèlescertessimplesetidéa-
lisés,biensouventdebassedimension,maisdontlacompréhensionmathématiqueesttelleque
laphysiquedontilsrendentcompteenestconsidérablementéclaircie.Deplus,laconnaissance
d’une solution exacte et explicite, en plus de constituer un moyen d’accès privilégié à certains
phénomènesnon-perturbatifs,peuttoujoursservirdepointdedépartàladescriptiondemodèles
plusréalistesdirectementconstruitsàpartirdecesmodèlesintégrables.
1. C’est là toute la différence entre théorie et modèle : l’existence d’une propriété universelle, dès lors vraie
danstoutmodèles’insèrantdanslecadrethéoriquequilaproduit,etquiseraitamenéeàêtrevioléeparuneunique
expériencesuffitàfalsifiertoutelathéorie,tandisqu’unevérificationparticulièred’unemêmepropriétéuniverselle
nesauraitnousconvaincredesavéracité.
1
2 INTRODUCTION
Comme nous venons de le mentionner, un même cadre théorique contient naturellement
différents types de modèles non équivalents. Il est remarquable que la réciproque à la phrase
précédente soit justement donnée par l’existence de modèles intégrables : différentes théories
contiennent des modèles intégrables équivalents comme nous le verrons dans la suite de cette
introduction.Biensûr,ilnousfaudraitdéfinirunpeuplusendétailcequ’onentendparmodèle
intégrablepourdonnerdusensàcetteréciproque.
Danslecadredelamécaniqueclassique,suiteauxtravauxdeLagrange,JacobietHamilton
[94, 103, 137], une telle définition a été proposée par Liouville [146, 147]. Un modèle est dit
intégrable au sens de Liouville lorsqu’il existe autant de quantités conservées, indépendantes
et commutant deux à deux sous le crochet de Poisson, que le nombre de degrés de liberté du
système(lamoitiédeladimensiondel’espacedesphases).Cettedéfinition,encoreéquivalente
à l’existence de couples de variables action-angle pour lesquelles les équations du mouvement
sont triviales, relie invariablement l’intégrabilité aux symétries sous-jacentes du modèle [10].
Cen’estpourtantqu’àpartirdesannées60dusiècledernier,àlasuitedestravauxdeGel’fand,
Levitan et Marchenko dans l’élaboration de la méthode de diffusion inverse classique pour des
modèles continus [85, 156], puis à son application par Gardner, Greene, Kruskal et Miura pour
des systèmes décrits par des équations d’évolution non-linéaires (comme l’équation de Korter-
weg - De Vries) et l’obtention de leurs solutions solitoniques [81], que le lien systématique
entresymétrieetintégrabilitéacommencéàs’éclaircir.Eneffet,lareformulationalgébriquede
laméthodeprécédenteparLax[140],quienintroduisantleconceptclédepairedeLax(L,M)
satisfaisantuneéquationmatriciellelinéaireencoreéquivalenteauxéquationsdumouvement,et
finalementadaptéeaucascontinuparZakharovetShabat[221,222],rendexplicitel’existence
dequantitésconservéescontenues,parconstruction,danslestracesdespuissancedelamatrice
deLaxL.C’estcequiapermisàFaddeevetZakharov[219],eninterprétantlaméthodededif-
fusion inverse classique comme une transformation canonique vers les variables action-angle,
deconfirmerlelienétroitentrelessymétriesd’unmodèleetsafacultéd’êtreintégrableausens
deLiouville.Notonsparailleursquelaméthodedediffusioninverseaétéappliquéeàtouteune
classe d’équations non-linéaires comme l’équation de Schrödinger non-linéaire, l’équation de
Sine-Gordon[1,71,183,220],ouencorelachaînedeHeisenbergclassique[205].
Dans la continuité des méthodes algébriques introduites par Lax, signalons l’équivalence
entrel’existenced’unepairedeLaxdécrivantunmodèleintégrable,avecl’existenced’unema-
triceradmettantla“propriétéd’involution”(cequiassurel’involutiondesquantitésconservées
décrites par la matrice L) et satisfaisant à l’équation de Yang-Baxter classique, ramenant ainsi
laclassificationdesmodèlesintégrablesausensdeLiouvilleàlarecherchedessolutionsàcette
équation [14, 184]. Ces dernières sont, comme l’ont montré Belavin et Drinfel’d [27, 28, 29],
reliéesàlathéoriedesreprésentationsdecertainesalgèbresdeLie,dontl’interprétationgéomé-
triquesefaitentermesdesgroupesdeLie-Poisson[62,185,186],faisantlelienaveclathéorie
des variétés de Poisson [37, 102, 129, 211]. Cette reformulation, très frustrueuse, conduisit à
de nombreux travaux dont en particulier ceux de Adler [2, 3], Kostant [130], Symes [201],
ReymannetSemenov-Tian-Shansky[175,176,177,178].
Parallèlement à cette lignée de travaux, l’étude de modèles exactement solubles de méca-
niquestatistiquesurréseausedéveloppeàpartirdesannées20,dansunevolontédecomprendre
l’apparition d’une aimantation spontanée à basse température pour les matériaux ferromagné-
tiques. Lenz propose pour ce faire un modèle sur réseau relativement simple [141], le modèle
d’Ising, pour lequel l’interaction entre atomes met en jeu leur moment magnétique discret et