Algèbre de mélange et algèbre de Hopf [expository notes]

62 Pages·2012·0.68 MB·French

by  Wenran Liu

AlgŁbre de mØlange et algŁbre de Hopf
Wenran LIU
Table des matiŁres
1 PrØsentation du problŁme 4
2 Produit tensoriel 5
2.1 Produit tensoriel de deux espace vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 PropriØtØs des produits tensoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Produit tensoriel de deux application linØaire et de deux algŁbres . . 11
3 Les polyn(cid:244)mes non-commutatifs 13
3.1 Les mots, les polyn(cid:244)mes non-commutatifs et les sØries formelles non-
commutatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 La multiplication de K<A> et ses propriØtØs . . . . . . . . . . . . . . 14
4 CogŁbre,bigŁbre et l’algŁbre de Hopf 17
4.1 AlgŁbre et CogŁbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2 La dualitØ d’algŁbre et de cogŁbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3 BigŁbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.4 L’algŁbre de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5 Les shu(cid:31)es 26
5.1 La dØ(cid:28)nition du shu(cid:31)e et ses propriØtØs . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.2 Les opØrateurs duaux du produit de mØlange et de la concatØnation . 27
6 La construction d’algŁbre de Hopf sur K<A> 32
6.1 Quelques opØrateurs sur K<A> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.2 La construction d’algŁbre de Hopf sur K<A> . . . . . . . . . . . . . . 34
7 L’algŁbre duale d’algŁbre de Hopf K<A> 38
7.1 La notion de limite inductive et projective . . . . . . . . . . . . . . . 38
7.1.1 Limite inductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7.1.2 Limite projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.2 Le dual de K<A> et de K<A>⊗K<A>. . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.3 L’algŁbre duale d’algŁbre de Hopf K<A> . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8 L’algŁbre de Lie et l’algŁbre de Lie libre 50
8.1 AlgŁbre de Lie et algŁbre enveloppante . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.2 Objets libres sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.2.1 Magmas libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.2.2 AlgŁbre libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1
TABLE DES MATI¨RES 2
8.3 L’algŁbre de Lie libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
(cid:0) (cid:1)
9 Le dual graduØ de U L(A) et l’algŁbre de mØlange 57
(cid:0) (cid:1)
9.1 La structure de Hopf sur U L(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
(cid:0) (cid:1)
9.2 Le dual graduØ de U L(A) et sa structure d’algŁbre de mØlange . . . 58
9.3 AlgŁbre de mØlange sur A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
RØsumØ
Fixons-nousunalphabetX ,onvadØ(cid:28)nirl’algŁbredespolyn(cid:244)mesnon-commutatifs
surXetdØmontrerqu’elleestmunied’unestructured’algŁbredeHopf.Ensuite,d’une
autre maniŁre, on considØrera le dual graduØ de l’algŁbre universelle enveloppante de
l’algŁbre de Lie libre sur X. Le but de ce mØmoire est de montrer l’Øquivalence de ces
deux constructions de l’algŁbre de mØlange.
Mots clØs : algŁbre de mØlange, algŁbre de Hopf, algŁbre de Lie libre, polyn(cid:244)mes
non-commutatifs, algŁbre universelle enveloppante, produit tensoriel.
3
Chapitre 1
PrØsentation du problŁme
Etant donnØ un ensemble d’indØterminØes X et un anneau commutatif K , on
peut construire une algŁbre de polyn(cid:244)mes (commutatifs) comme on le fait classi-
quement. Si l’on supprime la commutativitØ, on obtiendra la notion de polyn(cid:244)mes
non-commutatifs, dont on parlera dans la suite. MŒme si l’on perd une jolie pro-
priØtØ, la commutativitØ, en modi(cid:28)ant un peu l’Øcriture, on gØnØralisera la notion
de polyn(cid:244)mes (commutatifs). Les polyn(cid:244)mes non-commutatif permettent de dØ(cid:28)nir
simplement l’algŁbre de mØlange. On va introduire plusieurs nouveaux opØrateurs
a(cid:28)n de la construire et de la munir d’une structure d’algŁbre de Hopf. Alors, on aura
une algŁbre de mØlange sur X , munie d’une structure de Hopf.
D’autre part, la thØorie des algŁbres de Lie libres donne un autre moyen de construc-
tion. En e(cid:27)et, l’algŁbre de mØlange sur X peut Œtre dØ(cid:28)nie comme le dual graduØ de
l’algŁbre universelle enveloppante de l’algŁbre de Lie libre sur X . On se demande na-
turellement si ces deux constructions sont Øquivalentes. Que signi(cid:28)e ici l’Øquivalence?
Ces questions seront le c(cid:247)ur du problŁme.
4
Chapitre 2
Produit tensoriel
Pour dØ(cid:28)nir la notion d’algŁbre de Hopf et d’algŁbre de mØlange, le produit tenso-
riel est indispensable. C’est pourquoi ce chapitre est entiŁrement consacrØ au produit
tensoriel. Cet opØration est entre deux espaces vectoriels ou bien entre deux algŁbres
K
ou encore entre deux applications linØaires. Dans tout ce chapitre, sera un corps.
2.1 Produit tensoriel de deux espace vectoriels
2.1.1 Construction
Rappelons tout d’abord quelques propriØtØs des applications bilinØaires.
On se donne quelques propriØtØs.
Proposition 2.1.1.1 (PropriØtØs ØlØmentaires des applications bilinØaires).
Soient E , E et F trois espaces vectoriels sur K .
1 2
i) Si l’on note F(E ×E ,F) l’espace vectoriel de toutes les applications de
1 2
E × E dans F , les applications bilinØaires de E × E dans F forment un sous-
1 2 1 2
espace vectoriel de F(E ×E ,F) , notØ B(E ×E ,F) .
1 2 1 2
ii) Soient F et G deux espaces vectoriels sur K . On note L(F ,G) l’ensemble des
applications linØaires de F dans G . Soient U ∈ L(F ,G) , S ∈ B(E ×E ,F) . Alors
1 2
U ◦S ∈ B(E ×E ,G) .
1 2
iii) Soient E(cid:48) et E(cid:48) deux espaces vectoriels sur K . Soient U ∈ L(E(cid:48) ,E ) ,
1 2 1 1 1
U ∈ L(E(cid:48) ,E ) , S ∈ B(E ×E ,F) . Alors, l’application suivante est bilinØaire.
2 2 2 1 2
S(cid:48) : E(cid:48) ×E(cid:48) −→ F
1 2
(cid:0) (cid:1)
(x(cid:48) ,x(cid:48)) (cid:55)→ S U (x(cid:48)),U (x(cid:48)) .
1 2 1 1 2 2
DØmonstration. i) Soient S ,S ∈ B(E ×E ,F) et λ ∈ K , il su(cid:30)t de montrer que
1 2 1 2
S +λS ∈ B(E ×E ,F) .
1 2 1 2
En e(cid:27)et, pour tout (x ,x ) ,(y ,y ) ∈ E ×E ,
1 2 1 2 1 2
(S +λS )(x +y ,x +y )
1 2 1 1 2 2
= S (x +y ,x +y )+λS (x +y ,x +y )
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2
= S (x ,x )+S (y ,x )+S (x ,y )+S (y ,y )+λS (x ,x )+λS (y ,x )+λS (x ,y )+λS (y ,y )
1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
= (S +λS )(x ,x )+(S +λS )(x ,y )+(S +λS )(x ,y )+(S +λS )(y ,x ) .
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1
5
CHAPITRE 2. PRODUIT TENSORIEL 6
Donc B(E ×E ,F) est un sous-espace vectoriel de F(E ×E ,F) .
1 2 1 2
ii) Cette propriØtØ rØsulte du diagramme suivant :
S U
E ×E −→ F −→ G
1 2
(cid:0) (cid:1)
(x ,x ) (cid:55)−→ S(x ,x ) (cid:55)−→ U S(x ,x ) .
1 2 1 2 1 2
En (cid:28)xant x , il est Øvident que
1
S U
E −→ F −→ G
2
(cid:0) (cid:1)
x (cid:55)−→ S(x ,x ) (cid:55)−→ U S(x ,x )
2 1 2 1 2
est une application linØaire. De mŒme, en (cid:28)xant x , on obtient une application
2
bilinØaire. Donc la propriØtØ bilinØaire est prØservØe.
iii) On regarde le diagramme suivant.
E × E S (cid:47)(cid:47)F
(cid:79)(cid:79)1 (cid:79)(cid:79)2
U1 U2
E(cid:48) E(cid:48)
1 2
En (cid:28)xant x(cid:48) , il est Øvident que
1
E(cid:48) −U→2 E −S→ F
2 2
(cid:0) (cid:1)
x(cid:48) (cid:55)−→ U (x(cid:48)) (cid:55)−→ S U (x(cid:48)),U (x(cid:48))
2 2 2 1 1 2 2
est une application linØaire. De mŒme, en (cid:28)xant x(cid:48) , on obtient une application
2
bilinØaire.
Donc iii) est vrai.
En introduisant la notion de produit tensoriel de deux espaces vectoriels, l’objec-
tif est de simpli(cid:28)er l’Øtude des applications bilinØaires. D’un certain point de vue,
celle-ci se confond (cid:224) l’Øtude simultanØe de deux applications linØaires.
On introduit la notion de produit tensoriel pour (cid:17)transformer(cid:17) la bilinØaritØ en linØa-
ritØ. (cid:201)tudier un produit tensoriel revient (cid:224) Øtudier le produit cartØsien.
Tout d’abord, on rappelle ce qu’est, en tout gØnØralitØ, une propriØtØ universelle :
Soient E et F deux ensembles quelconques et φ une application de E dans F , on dit
que (F ,φ) possŁde la propriØtØ universelle si pour tout ensemble G et toute applica-
˜ ˜
tion ψ : E −→ G , il existe une unique application ψ : F −→ G telle que ψ = ψ◦φ .
On va prØciser la propriØtØ universelle dans deux cas particuliers.
Lemme 2.1.1.1 (PropriØtØ universelle des espaces vectoriels quotients). Soient E
un espace vectoriel sur K , E(cid:48) un sous-espace vectoriel de E , E/E(cid:48) l’espace vectoriel
quotient, et ϕ l’application linØaire canonique de E sur E/E(cid:48) . Alors, (E/E(cid:48),ϕ)
possŁde la propriØtØ universelle : pour tout couple (F ,ψ) vØri(cid:28)ant
i) ψ est une application linØaire de E dans F ;
ii) Ker(ψ) ⊃ E(cid:48) .
CHAPITRE 2. PRODUIT TENSORIEL 7
il existe une unique application linØaire ψ˜ : E/E(cid:48) −→ F telle que le diagramme
suivant commute.
E ϕ (cid:47)(cid:47)E/E(cid:48)
ψ˜
ψ (cid:34)(cid:34) (cid:15)(cid:15)
F
DØmonstration. On rappelle que si U,V,W sont trois espaces vectoriels quelconques
et φ ∈ L(U ,V),φ ∈ L(U ,W) , alors il existe φ ∈ L(V ,W) telle que φ = φ ◦φ
1 2 3 2 3 1
si et seulement si Ker(φ ) ⊂ Ker(φ ) .
1 2
On prend φ = ϕ , φ = ψ . φ = ψ˜ existe universellement car Ker(ψ) ⊃ E(cid:48) =
1 2 3
Ker(ϕ).
Lemme 2.1.1.2 (PropriØtØ universelle de l’espace vectoriel K(I)). Soient K un corps
commutatif, I un ensemble non vide, K(I) l’espace vectoriel engendrØ par {e } sur
i i∈I
K , oø {e } est dØ(cid:28)ni par les relations :
i i∈I
(cid:26)
0 si j (cid:54)= i
e (j) = .
i 1 si j = i
Soit ϕ l’injection canonique de I dans K(I) qui (cid:224) tout i ∈ I associe ϕ(i) = e .
i
Alors, (cid:0)K(I),ϕ(cid:1) possŁde la propriØtØ universelle suivante : pour tout u ∈ F(I,E) ,
il existe une unique u˜ ∈ L(cid:0)K(I),E(cid:1) telle que le diagramme suivant commute.
I ϕ (cid:47)(cid:47)K(I)
u˜
u (cid:33)(cid:33) (cid:15)(cid:15)
E
DØmonstration. UnicitØ : Soient u ∈ F(I,E) et u˜ ∈ L(cid:0)K(I),E(cid:1) telle que le dia-
gramme prØcØdent commute, alors
u = u˜◦ϕ −→ u(i) = u˜◦ϕ(i) .
(cid:88) (cid:88) (cid:88)
Pour f = α e , U(f) = α u˜(e ) = u˜◦ϕ(i) .
i i i i
i∈I i∈I i∈I
Cette formule entra(cid:238)ne que U est uniquement dØterminØe.
(cid:88)
Existence : Pour tout ØlØment f = α e , on dØ(cid:28)nit donc
i i
i∈I
(cid:88)
U(f) = α u(i) .
i
i∈I
Alors, u˜◦ϕ(i) = u˜(e ) = u(i) , d’oø u˜◦ϕ = u .
i
Dans la suite, on va construire l’espace tensoriel de deux espaces vectoriels E et
1
E Øtape par Øtape.
2
Etape 1 On considŁre E ×E comme un espace vectoriel E . Soit (cid:0)K(E),j(cid:1) l’espace
1 2
vectoriel et l’application canonique dØ(cid:28)nis dans le lemme [2.1.1.2]. On sait d’aprŁs
˜
sa propriØtØ universelle que pour tout S ∈ F(E,F) , il existe une unique S ∈
L(cid:0)K(E),F(cid:1) telle que le diagramme suivant commute.
E j (cid:47)(cid:47)K(E)
S˜
S (cid:33)(cid:33) (cid:15)(cid:15)
F
CHAPITRE 2. PRODUIT TENSORIEL 8
Etape 2 Choisissons S bilinØaires. Si λ,µ sont deux scalaires dans K , x ,y ∈ E et
1 1 1
x ,y ∈ E , S est bilinØaire, alors, on a :
2 2 2
S(λx +µy ,x ) = λS(x ,x )+µS(y ,x )
1 1 2 1 2 1 2
S(x ,λx +µy ) = λS(x ,x )+µS(x ,y ) .
1 2 2 1 2 1 2
Donc :
˜ ˜ ˜
S[j(λx +µy ,x )] = λS[j(x ,x )]+µS[j(y ,x )]
1 1 2 1 2 1 2
˜ ˜ ˜
S[j(x ,λx +µy )] = λS[j(x ,x )]+µS[j(x ,y )].
1 2 2 1 2 1 2
˜
S est linØaire. On en dØduit :
˜
S[j(λx +µy ,x )−λj(x ,x )−µj(y ,x )] = 0
1 1 2 1 2 1 2
˜
S[j(x ,λx +µy )−λj(x ,x )−µj(x ,y )] = 0.
1 2 2 1 2 1 2
Soient H le sous-espace vectoriel de K(E) engendrØ par tous les ØlØments de forme
1
j(λx +µy ,x )−λj(x ,x )−µj(y ,x ) en parcourant tous x ,y ∈ E , x ,y ∈ E
1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2
et λ,µ ∈ K.
De mŒme, notons H l’espace engendrØ par j(x ,λx +µy )−λj(x ,x )−µj(x ,y )
2 1 2 2 1 2 1 2
.
Soient H = H +H et ϕ est l’application canonique ϕ : K(E) −→ G = K(E)/H . H
1 2
est aussi un sous-espace vectoriel de K(E) . ϕ est bien dØ(cid:28)nie.
˜
Etape 3 Soit T = ϕ◦j . Comme Ker(ϕ) = H ⊂ Ker(S) , d’aprŁs [2.1.1.1], il existe
˜˜ ˜ ˜˜
une unique S : G −→ F telle que S = S ◦ ϕ qui signi(cid:28)e que le diagramme suivant
commute.
(cid:52)(cid:52)K(E)
j
ϕ
(cid:125)(cid:125)
E T (cid:47)(cid:47)G S˜
S˜˜
S (cid:34)(cid:34) (cid:15)(cid:15)
(cid:42)(cid:42)
F
(G,T) est justement ce que l’on recherche, c’est-(cid:224)-dire, ce que l’on appelle produit
tensoriel de deux espaces vectoriels.
Remarque 2.1.1.1. i) T est bilinØaire. En e(cid:27)et, la construction de H nous permet
˜˜ ˜ ˜˜ ˜˜
la bilinØaritØ de T . ii) S = S ◦T , en e(cid:27)et, S = S ◦j = S ◦ϕ◦j = S ◦T.
DØ(cid:28)nition 2.1.1.1. L’espace vectoriel G = K(E)/H s’appelle le produit tensoriel sur
K de deux espaces vectoriels E1,E2 . Il est notØ E1⊗KE2 , ou bien plus simplement
E ⊗E , lorsque aucune confusion n’est (cid:224) craindre, T(x ,x ) est notØ x ⊗x .
1 2 1 2 1 2
˜ ˜˜
Remarque 2.1.1.2. DØsormais, notons S : E ⊗ E −→ F au lieu de S dans la
1 2
construction prØcØdente.
ThØorŁme 2.1.1.1. Soient E ,E deux espaces vectoriels sur K . Il existe un espace
1 2
vectoriel notØ E ⊗ E et une application bilinØaire T : E × E −→ E ⊗ E tel
1 2 1 2 1 2
que (E ⊗ E ,T) possŁde la propriØtØ universelle suivante : pour toute application
1 2
˜
bilinØaire S : E ×E → F , il existe une unique application linØaire S : E ⊗E → F
1 2 1 2
˜
telle que S = S ◦T . De plus, (E ⊗E ,T) est unique (cid:224) isomorphisme prŁs.
1 2
CHAPITRE 2. PRODUIT TENSORIEL 9
DØmonstration. Par la construction prØcØdente, on a dØj(cid:224) montrØ l’existence de E ⊗
1
E . Pour l’unicitØ, considØrons un autre couple (G(cid:48),T(cid:48)) vØri(cid:28)ant la propriØtØ univer-
2
selle prØcØdente. On a alors le diagramme commutatif suivant :
E T (cid:47)(cid:47)G(cid:79)(cid:79)
T˜ T˜(cid:48)
T(cid:48) (cid:38)(cid:38) (cid:15)(cid:15)
G(cid:48)
On a :
T(cid:48) = T˜(cid:48) ◦T, T = T˜◦T(cid:48) .
Par la construction, G est engendrØ par les images de ϕ de la base de K(E) . La base
de K(E) est construite par les images de j . Donc, T est surjective.
D’oø :
T˜◦T˜(cid:48) = Id ,T˜(cid:48) ◦T˜ = Id
G G˜
Cette formule signi(cid:28)e que T˜,T˜(cid:48) sont bijectives. Donc G (cid:39) G(cid:48) .
Remarque 2.1.1.3. ⊗ est un opØrateur bilinØaire, c’est-(cid:224)-dire :
Pour tout λ,µ ∈ K , x ,y ∈ E ,x ,y ∈ E ,
1 1 1 2 2 2
(λx +µy )⊗x = λx ⊗x +µy ⊗x ,
1 1 2 1 2 1 2
x ⊗(λx +µy ) = λx ⊗x +µx ⊗y .
1 2 2 1 2 1 2
En e(cid:27)et, par construction, T est bilinØaire, donc ⊗ est bilinØaire aussi.
2.1.2 PropriØtØs des produits tensoriels
Lemme 2.1.2.1. Pour tout triplet (cid:0)U ,V ,W(cid:1) d’espaces vectoriels sur K , il existe
un isomorphisme naturel
(cid:0) (cid:1) ∼ (cid:0) (cid:0) (cid:1)(cid:1)
Hom U ⊗V ,W = Hom U ,Hom V ,W .
DØmonstration. Il su(cid:30)t d’identi(cid:28)er ϕ ∈ Hom(U⊗V ,W) (cid:224) l’application u (cid:55)→ ϕ(u,·)
. Si ϕ,ψ vØri(cid:28)ent que u (cid:55)→ ϕ(u,·) et u (cid:55)→ ψ(u,·) sont mŒmes, pour tout u ∈ U
, ϕ(u,·) = ψ(u,·) . Pour tout v ∈ V , ϕ(u,v) = ψ(u,v) . Donc ϕ = ψ . Cette
(cid:0) (cid:0) (cid:1)(cid:1)
identi(cid:28)cation est injective. (cid:201)tant donnØ δ ∈ Hom U ,Hom V ,W , on l’associe
(cid:0) (cid:1)
(u,v) (cid:55)→ δ(u)(v) dans Hom U ⊗ V ,W . L’identi(cid:28)cation est surjective. Donc elle
est bijective.
De plus, on a les isomorphismes suivants :
Lemme 2.1.2.2. Soient U ,V ,W trois espaces vectoriels sur K , alors
∼
(U ⊗V)⊗W = U ⊗(V ⊗W) ,
K⊗V ∼= V ∼= V ⊗K ,
∼
V ⊗W = W ⊗V .