Algèbre de Lie et cinématique des mécanismes en boucles fermées

238 Pages·2017·9.39 MB·French

by  Kuangrong Hao

Algèbre de Lie et cinématique des mécanismes en
boucles fermées
Kuangrong Hao
To cite this version:
Kuangrong Hao. Algèbre de Lie et cinématique des mécanismes en boucles fermées. Géométrie
algébrique [math.AG]. Ecole Nationale des Ponts et Chaussées, 1995. Français. ￿NNT: ￿. ￿pastel-
00569136￿
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V
THESE DE DOCTORAT
présentée à
L'ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES
spécialité
MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE
ALGEBRE DE LIE ET CINEMATIQUE DES
MECANISMES EN BOUCLES FERMEES
par
KUANGRONG HAO
Soutenue le 15 Septembre 1995, devant le Jury d'Examen composé de
MME. PASCAL MADELEINE PRÉSIDENT
MM. HERVÉ JACQUES-MARIE RAPPORTEUR
VALLÉE CLAUDE RAPPORTEUR
CHEVALLIER DOMINIQUE P. DIRECTEUR DE THÈSE
RIGOLOT ALAIN EXAMINATEUR
LERBET JEAN EXAMINATEUR
E.N.P.C

Ma plus profonde reconnaissance va tout d'abord à Monsieur le professeur
Dominique CHEVALLIER qui a dirigé cette thèse. Il a su m'aider dans les problèmes
mathématiques tout au long de cette thèse. Sa rigueur scientifique et son souci constant
de perfection sont pour moi des exemples, bien que difficiles à suivre.
Je voudrais exprimer toute ma gratitude et mon respect à Madame Madeleine PAS-
CAL, Professeur à l'Université d'Evry Val d'Essonne qui a accepté de présider ce jury.
Je tiens à adresser mes plus vifs remerciements à Monsieur Jacques M. HERVÉ, Pro-
fesseur à l'Ecole Centrale Paris, et a Monsieur Claude VALLEE, Professeur à l'Université
de Poitiers, pour avoir accepté d'être rapporteurs de cette thèse ainsi que pour l'intérêt
qu'ils ont manifesté à l'égard de mes travaux, malgré leur grande charge de travail, et
pour leurs remarques qui ont contribué à améliorer ce travail.
Je remercie vivement à Monsieur Alain RIGOLOT, Professeur des universités, qui
m'a fait l'honneur d'examiner mes travaux et de participer au jury de cette thèse.
Je veux exprimer ici toute ma reconnaissance à Monsieur Jean LERBET pour son
aide précieuse tout au long de cette thèse et sa participation dans le jury.
J'adresse mes sincères remerciements à la direction de l'Ecole Nationale des Ponts
et Chaussées qui m'a accueillie dans son laboratoire de Mathématiques appliquées durant
ma thèse. Je n'oublie pas non plus tous les membres du CERMICS, Mesdames Véronique
SERRE et Imane H AMA DE pour leur gentillesse et leurs compétences multiples, ainsi
que Christian MONNET et tous mes camarades du centre pour leur soutien amical et
qui m'ont permis de passer un séjour agréable.

Resume
L'objectif de cette thèse est l'étude du comportement cinématique des mécanismes bouclés
de corps rigides. Le modèle mathématique d'un tel mécanisme est l'équation de fermeture
/(?i. ' ' ' i Qm) = ? où 9i,'-,9m sont des coordonnées articulaires et / est une fonction analy-
tique à valeur dans un groupe de Lie. L'étude des propriétés cinématiques se ramène à celle de
l'ensemble des configurations admissibles /_1(e) qui est une sous-variété dans le cas régulier où
/ est une subirnmersion. Par contre, l'étude est beaucoup plus difficile lorsque / possède des
singularités.
On utilise comme outil fondamental le formalisme de la géométrie différentielle des groupes
de Lie pour le group des déplacements et la structure de A - module de son algèbre de Lie, ceci
permet une écriture simple et condensée des équations de la cinématique et facilite leur traitement
symbolique.
Nous avons montré que l'analyse au deuxième ordre de l'équation de fermeture est suffisante
pour les mécanismes 6R paradoxaux. Un algorithme d'évaluation du rang d'un ensemble de
champs antisymétriques (équiprojectifs) est développé et est utilisé pour étudier les processus de
génération des sous algebres de Lie. Nous avons proposé également des méthodes de cinématique
inverse pour des mécanismes spatiaux, ces méthodes permettent de résoudre l'équation de fer-
meture indépendamment d'un choix des coordonnées et d'obtenir des conditions nécessaires et
suffisantes de résolution: notamment, la méthode simplifie considérablement la procédure de
résolution pour les mécanismes 6R spatiaux.
Abstract
The aim of this work is the study of the kinematic behavior of the closed mechanisms com-
posed of rigid bodies. The mathematical model of such a mechanism is the closure equation
fill ! ' ' - ! Cm) — t where qi.-.qm are the articulate coordinates and / is an analytic function
valued in the Lie displacement group. The study of the kinematic property lies to the one of the
set of admissible configurations f"''{() which is a submanlfold in the regular case where / is a
subimmersion however, the research is much more difficult when / has some singularities.
We use as a fundamental tool the formalism of the differential geometry of the Lie groups for
the displacement group and the A - modulo structure of its Lie algebra, that permits a simple
and condensed writing of the kinematic equations and makes easier their symbolic treatment.
We have demonstrated that the analyze of the closure equation up to the second order is
sufficient for the 6R paradoxical mechanisms. An algorithm to estimate the rank of a set of
skew-symmetric fields is developed and the generations of Lie sub algebra are studied using this
algorithm. We have proposed also some methods for inverse kinematic for the spatial mechanisms
permitting to solve the closure equation independently of the choice of coordinates and to obtain
the necessary and sufficient conditions for the solutions. Especially, the method for the spatial
6R mechanisms simplify considerably the procedure of resolution.

TABLE DES MATIÈRES 1
Table des matières
Introduction 7
0.1 Etude algébrique de l'équation de fermeture 8
0.2 Calcul des champs antisymétriques avec les nombres duaux 9
0.3 Solutions analytiques des mécanismes fermés 10
1 Concepts et outils mathématiques 15
1.1 Introduction 15
1.2 Espace affine euclidien et déplacements 16
1.2.1 Espace affine euclidien 16
1.2.2 Déplacements dans l'espace affine euclidien 17
1.2.3 Classification des déplacements 18
1.3 L'algèbre des champs antisymétriques 19
1.3.1 Définition des champs antisymétriques 19
1.3.2 La représentation adjointe de B{£) sur X) 22
1.3.3 La forme de Klein et l'axe central 23
1.3.4 Structure de l'algèbre de Lie de 3) 23
1.4 Les nombres duaux et ¡es champs antisymétriques 24
1.4.1 Nombre dual 24
1 4.2 Multiplication des champs antisymétriques par les nombres duaux . . . . 25
1.4.3 La représentation adjointe de D 26
1.4.4 Exponentielles des champs antisymétriques 27
1.4.5 Déplacement dans l'ensemble d'application linéaire 27
1.4.6 Représentation des quaternions duaux et des applications adjointes 30
2 Modélisation des systèmes mécaniques - étude cinématique 33
2.1 Notion de liaison 33
2.3.1 Liaison entre deux corps, degré de liberté 33
2.1.2 Représentation des déplacements avec sous groupe à un paramètre 35
2.1.3 Classification des chaînes cinématiques et sous-groupes de Lie 35
2.1.4 Notion de graphe d'un mécanisme 36
2.2 Traitement des mécanismes bouclés 37
2.2.1 Description du problème, équation de fermeture 38
2.2.2 Différentiabilité de l'équation de fermeture 40
2.2.3 Différentielle de l'équation de fermeture au premier ordre 41
2.2.4 Étude locale de f(q) 44
2 TABLE DES MATIÈRES
2.2.5 Dérivée d'ordre 2 45
2.2.6 Configuration singulière 48
2.2.7 Les mécanismes plans 49
3 Condition de transversalité et mécanismes 55
3.1 Sous variétés et l'espace tangent 55
3.1.1 Définition de sous-variété 55
3.1.2 Espace tangent à une sous-variété 59
3.2 Théorèmes de transversalité 59
3.3 Etude des mécanismes 6R spatiaux 63
3.3.1 6R espace de Wohlhart 63
3.3.2 Application de condition de transversalité 65
3.4 Exemples 67
3.4.1 Les quatre-barres parallèles 67
3.4.2 Un mécanisme de Bricard 70
3.4.3 Un exemple de mécanisme de Bennett 73
3.4.4 La salière de Papegay 76
3.4.5 Mécanisme parallèle 78
3.5 Conclusion 80
4 Etude du rang d'ensemble de champs antisymétriques sur A 83
4.1 Introduction 84
4.1.1 Définition d'une base de T) sur A . . . 84
4.1.2 Changement de base sur A 86
4.2 Problème du rang d'un ensemble de champs antisymétriques 87
4.3 Le cas r = 3 93
A
4.3.1 Condition de rang 93
4.3.2 Sous-algèbre engendrée 95
4.4 Le cas r.A = 2 98
4.4.1 Condition de rang 98
4.4.2 Sous-algèbre engendrée 100
4.5 Le cas r& = 1 . . 103
4.5.1 Condition de rang 103
4.5.2 Sous-algèbre engendrée 105
4.5.3 Le cas r¿ = 0 107
4.6 Equation de fermeture d'ordre supérieur à 2 109
4.7 Conclusion 111
5 Problème de singularité 115
5.1 Classification des singularités 116
5.1.1 Singularités de type I 116
5.1.2 Singularités de type II 117
5.1.3 Singularités de type III 117
5.2 Définition de la famille d'équations de fermeture 117
5.2.1 Matrice jacobienne 119
5.2.2 Analyse des vitesses 122
TABLE DES MATIÈRES 3
5.2.3 Analyse des accélérations . 123
6 Solution analytique des mécanismes bouclés — 1 125
6.1 Introduction 125
6.2 Présentation des problèmes 126
6.2.1 Déplacement d'un mécanisme fermé 128
6.3 Mécanismes plans et hélicoïdaux 130
6.3.1 Exemples des mécanismes plans et hélicoïdaux 130
6.4 Déplacements hélicoïdaux 141
6.5 Produit de deux déplacements hélicoïdaux 144
6.6 Produit de trois déplacements hélicoïdaux spatiaux 148
6.6.1 Condition pour qu'un déplacement hélicoïdale puisse être décomposé en
produit de trois déplacements hélicoïdaux 149
6.6.2 Résolution 152
6.6.3 Analyse le cas singulier 155
6.6.4 Angles de Briant 161
6.6-5 Angles d'Euler duaux 162
7 Solution analytique des mécanismes bouclés — II 165
7.1 Groupe invariant et produits scalaires 165
7.2 Résolution des équations de fermeture 166
7.2.1 Expression explicite de <ji et 93 167
7.2.2 Expression explicite de 92 et 94 169
7.2.3 Equivalence entre les solutions analytiques et les équations de fermeture . . 170
7.3 Utilisation les paramètres de Denavit-Hartenberg 171
7.3.1 Expression explicite des paramètres articulaires dépendants 173
7.4 Analyse des mécanismes quatre barres spatiaux 175
7.4.1 Mécanisme de Bennett. 176
7.4.2 Le mécanisme sphérique 179
7.4.3 Analyse des configurations singulières 182
7.5 Un mécanisme 6R spatial - un mécanisme de Bricard 182
8 Un algorithme de cinématique inverse des mécanismes 6R spatiaux 187
8.1 Introduction 187
8.2 Résolution de l'équation de fermeture 187
8.2.1 Évaluation de l'opérateur intermédiaire R 188
8.2.2 Evaluation de 9], 92, et 96 190
8.2.3 Evaluation de 173, 94 et 95 191
8.2.4 Équivalence de l'équation de fermeture et les solutions analytiques 191
8.3 Utilisation des paramètres de Denavit-Hartenberg 193
8.3.1 Évaluation de l'opérateur R 193
8.3.2 Evaluation de 91, 92, et qe 194
8.3.3 Évaluation de 93, 94 et 95 195
Conclusion 197