algebre de boole

12 Pages·2007·0.3 MB·French

U n i v e r s it é V i r t u e l le d e T u n i s CIRCUITS LOGIQUES COMBINATOIRES
Chap-II: Algèbre de Boole

CIRCUITS LOGIQUES
COMBINATOIRES
Algèbre de Boole

TRABELSI Hichem

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Chap-II : Algèbre de Boole
ALGEBRE DE BOOLE

Objectif du chapitre

Pour étudier d’une manière systématique les circuits numériques, on utilise une algèbre
différente de l’algèbre classique, dite algèbre de Boole, du nom du mathématicien anglais,
inventeur de ce concept (George Boole 1815-1864).
Nous proposons dans ce chapitre les lois, règles et théorèmes de l’algèbre de Boole, nécessaires
et suffisants pour la compréhension du fonctionnement de ces circuits numériques.
Nous étudierons également la simplification des expressions booléennes en utilisant les règles
de l’algèbre de Boole et les diagrammes de Karnaugh.

Opérateurs de l’algèbre de Boole

L’algèbre de Boole est un ensemble de variables à deux états (0 et 1) dites aussi booléennes,
muni de trois opérateurs élémentaires :
- La multiplication logique, dite aussi ET. Le symbole de cette opération est (.)
- L’addition logique, dite aussi OU. Le symbole de cette opération est (+).
- L’inverse logique, dite aussi NON. Le symbole de cette opération est ().

- Opérateur ET

Si deux variables logiques A et B sont combinées par la multiplication logique (ET), le résultat
s’exprime ainsi :

X = A.B

Cela se traduit par l’expression suivante :
Si A est vraie ET B est vraie alors X est vraie.

Exemple

Si la porte d’un ascenseur est fermée ET quelqu’un appuie sur le bouton 4, alors l’ascenseur
monte au quatrième étage.
Les propositions caractérisées par les variables logiques A, B et X sont :
(A) : porte fermée.
(B) : quelqu’un appuie sur le bouton 4.
(X) : l’ascenseur monte au 4ème étage.

On a alors : (X) = (A) ET (B) ⇔ X = A.B

La liste complète des valeurs que peut prendre la fonction booléenne X en fonction de toutes
les combinaisons possibles des valeurs A et B, peuvent être résumées dans un tableau appelé
table de vérité. La table de vérité de l’opérateur ET est donnée par le tableau suivant.

A B X=A.B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Table de vérité de l'opérateur ET
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- Opérateur OU

L’addition logique de deux variables A et B donne :

X = A+B

Cela se traduit par l’expression suivante : X est vrai si au moins A ou B est vrai.
Exemple:

On veut recruter un interprète connaissant l’allemand OU l’anglais.
Cette expression peut se décomposer ainsi :

(A) : connaissance de l’allemand.
(B) : connaissance de l’anglais.
(X) : recrutement de l’interprète.

On a alors : (X) = (A) OU (B) ⇔ X = A + B

Le recrutement de l’interprète se fait s’il connaît : soit l’allemand soit l’anglais soit les deux
à la fois.

La table de vérité de l’opérateur OU est donnée par le tableau suivant.

A B X=A+B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

Table de vérité de l'opérateur OU

- Opérateur inverseur

L’opérateur inverseur, contrairement aux opérateurs précédents, est un opérateur à une seule
variable. Le résultat X de l’opérateur inverseur sur une variable booléenne A donne son
complément. On note :

X = A

La table de vérité de l’opérateur inverseur est donnée par le tableau suivant.

A X=A
0 1
1 0

Table de vérité de l'opérateur inverseur

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Chap-II : Algèbre de Boole
Théorèmes de l’algèbre de Boole

Pour effectuer tout calcul booléen, on utilise un ensemble de théorèmes.

Théorème de commutativité A + B = B + A
A.B = B.A

Théorème d'associativité A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C
A.(B.C) = (A.B).C = A.B.C

Théorème de distributivité A.(B + C) = A.B + A.C
A + (B.C) = (A + B).(A + C)

Théorème d'idempotence A + A = A
A.A = A

Théorème de complémentation A + A = 1
A.A = 0

Théorème des constantes A.1 = A
A + 0 = A
A + 1 = 1
A.0 = 0

Théorème d'absorption A + A.B = A
A.(A + B) = A

Théorème d'allègement A+A.B = A+B

A.(A + B) = A.B

Théorème de Morgan A.B = A + B
A+B = A . B

Ce théorème peut être généralisé à plusieurs
variables :

A.B…..Z = A + B +……+ Z
A+B+….+Z = A. B……..Z

Les théorèmes ci-dessus peuvent être démontrés facilement par une table de vérité

Démonstration

On peut démontrer le théorème de Morgan par la table de vérité suivante :

A B A+B A.B A.B A+B
0 0 1 1 1 1
0 1 0 0 1 1
1 0 0 0 1 1
1 1 0 0 0 0

égalité égalité

Principe de dualité

Chaque théorème vu précédemment se présente sous deux formes duales. L'énoncé du théorème
dual se déduit immédiatement en remplaçant (+) par (.) et (0) par (1) et réciproquement.
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Représentation d’une fonction logique

Une fonction logique est une combinaison de variables booléennes reliées par les opérations ET,
OU, NON. Elle peut être représentée par une écriture algébrique ou une table de vérité.

- Représentation algébrique

Une fonction logique écrite sous forme algébrique, peut être représentée sous différentes
formes : somme, produit, somme canonique ou produit canonique.

Formes Exemples
Somme
X1=A+B
Une fonction est écrite sous la forme de somme, si elle
est constituée de plusieurs termes reliés entre eux par X2=A+B.C
( ) ( )
l’opérateur OU (appelée aussi forme disjonctive).
X3=A. B+C + B.D. A+C

Produit
X1=A.B,
Une fonction est écrite sous la forme de produit, si elle
est constituée de plusieurs facteurs reliés entre eux par X2=A.(B+C) . (D+E)
l’opérateur ET (appelée aussi forme conjonctive). X3=(A+B) . (D+C)

Somme canonique (Σ.Π)
Soient les fonctions à 3 variables :
Une fonction logique est écrite sous forme de somme
canonique si toutes les variables figurent dans chaque X = A.B.C + A.B.C
terme et si, dans chacun de ces termes, toutes les 1

variables sont reliées entre elles par l’opérateur ET. X = A.B.C + A.B.C + A.B.C
Ces termes se désignent sous le nom de mintermes. 2

Produit canonique (Π.Σ)
Soient les fonctions à 3 et à 4 variables
Une fonction logique est écrite sous forme de produit
suivants :
canonique si toutes les variables figurent dans chaque
( ) ( )
produit et si, dans chacun de ces termes, elles sont X1= A+B+C+D . A+B+C+D,
toutes reliées entre elles par l’opérateur OU. Ces
produits se désignent sous le nom de maxtermes. ( ) ( ) ( )
X = A+B+C . A+B+C . A+B+C
2

Remarque: Si une expression X est écrite sous forme de somme canonique, d’après le théorème
de Morgan, son inverse sera sous forme de produit canonique (et vice-versa), comme le montre
l'exemple suivant :

X = A.B.C+ A.B.C+ A.B.C
X = A.B.C+ A.B.C+ A.B.C= A.B.C.A.B.C.A.B.C
( )( )( )
= A+B+C.A+B+C.A+B+C

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- Représentation par une table de vérité

Une expression logique X(A, B, C...), fonction des variables A, B, C..., peut être représentée par
une table de vérité. Cette table donne les valeurs que peut prendre X, suivant les différentes
combinaisons des variables A, B, C...

Exemple: Soit X(A,B,C) une fonction logique à trois variables, représentée par la table de vérité
suivante:

C B A X
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1

L’expression algébrique de la fonction X peut déduite de la table de vérité sous l’une des deux
formes canoniques.

1ère forme canonique : Somme canonique (Σ.Π)

X est vrai si C=0 et B=0 et A=0 (ligne-0)
ou bien
C=0 et B=1 et A=0 (ligne-2)
ou bien
C=1 et B=0 et A=1 (ligne-5)
ou bien
C=1 et B=1 et A=1 (ligne-7)

Par conséquent X est vrai (X=1) si :

c
’est un développement en somme de produits
X= C. B. A + C.B.A + C.B.A + C.B.A
chaque terme "produit" s’appelle minterme.

2ème forme canonique : Produit canonique (Π. Σ)

En s’intéressant aux 0 de X, on peut écrire de la même manière :

X= C. B.A + C.B.A + C.B. A + C.B.A

X= C. B.A + C.B.A + C.B. A+C.B.A

En appliquant le théorème de Morgan on obtient :

c
’est un développement en produit de sommes
X=(C+B+A).(C+B+A).(C+.B+A).(C+B+A)
chaque terme "somme" s’appelle maxterme.

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Simplification des expressions logiques

La simplification d’une expression logique, consiste à réduire cette expression à sa forme la plus
simple mais équivalente, c’est à dire à un nombre minimal de termes et à un nombre minimal de
variables dans chaque terme.
Nous exposons dans ce qui suit deux méthodes de simplification :
- Simplification algébrique.
- Simplification graphique par le diagramme de Karnaugh.

- Simplification algébrique

Les théorèmes de l’algèbre de Boole étudiés précédemment peuvent nous être utiles pour
simplifier une expression logique. Pour cela prenons quelques exemples.

Exemple-1:
X = A.B.C+ A.B.C+ A.B.C
= A.B(C+C)+ A.B.C
= A.B+ A.B.C
= A.(B+B.C)
or X + X.Y = X +Y
X = A.(B+C)
Exemple-2:
Z =(A+B).(A+B+D).D
= A.A.D+ A.B.D+ A.D.D+B.A.D+B.B.D+B.D.D
↑ ↑ ↑
0 0 0
= A.B.D+B.A.D+B.D
=B.D.(A+ A)+B.D

=B.D.(A+ A+1)
=B.D

Exemple-3
Z = A.B+ A.B+ A.B
= B.(A+ A)+ A.B
= B+ A.B = A+B

- Simplification par diagramme de Karnaugh

La simplification des expressions booléennes s’effectue en appliquant les théorèmes de
l’algèbre de Boole. Parfois, il n’est pas toujours facile de savoir quels théorèmes il faut utiliser
pour obtenir le résultat ou de savoir si l’expression simplifiée est sous sa forme minimale, et s’il
n’y a pas d’autres simplifications possibles. Pour ces raisons, on utilise souvent un outil
graphique appelé diagramme de Karnaugh, permettant de simplifier une expression booléenne à
la forme la plus simple possible.

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Diagramme de Karnaugh

- Le diagramme de Karnaugh d’une table de vérité ou d’une fonction logique à N variables, est
constitué d’un rectangle divisé en 2N cases. Chaque case du diagramme correspond à l’une des
2N combinaisons possibles des N variables (2N mintermes).
- L’ordre des variables en abscisse et en ordonnée est choisi de telle sorte qu’entre deux cases
adjacentes, il n’y a qu’une seule variable qui change de valeur (on codifie le tableau selon le
code de Gray).

Nous allons voir dans ce qui suit, avec des exemples, comment construire un diagramme de
Karnaugh à partir de :
a/ Une table de vérité.
b/ Une expression algébrique sous forme d’une somme canonique.
c/ Une expression algébrique sous forme d’un produit canonique.
d/ Une expression algébrique quelconque.

Exemples

a/ Chercher les diagrammes de Karnaugh relatifs aux tables de vérité suivantes.

• Table de vérité à deux variables

A B X A A
0 0 1 B 1 0
0 1 0 B 0 1
1 0 0
1 1 1

• Table de vérité à trois variables

C B A X
0 0 0 1 A.B A.B A.B A.B
0 0 1 0
1 0 0 0
0 1 0 0 C
0 1 1 0 C 1 1 0 0

1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0

b/ Chercher le diagramme de Karnaugh correspondant à la fonction logique à quatre variables
écrite sous forme de somme canonique suivante : X = A.B.C.D+ A.B.C.D+ A.B.C.D

A.B A.B A.B A.B
0 0 0 0
C.D
C.D 0 0 0 0 X = A.B.C.D+A.B.C.D+A.B.C.D
C.D 0 0 0 1

0 0 1 1
C.D

c/ Déterminer le diagramme de Karnaugh correspondant à la fonction logique à trois variables,
écrite sous forme de produit canonique suivante :
( )( )( )
X = A+ B +C .A+ B +C .A+ B +C

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Comme cette fonction X n’est pas écrite sous forme de somme canonique, son inverseX le sera
d’après le théorème de De Morgan :

X = A.B.C+A.B.C+A.B.C

A.B A.B A.B A.B
X=A.B.C+A.B.C+A.B.C
C 1 1 1 1
C 0 1 0 0

Les cases à 0 du diagramme de Karnaugh correspondent aux mintermes de la fonctionX ,
alors que les cases à 1 correspondent à celles de la fonction X.

d/ Déterminer les diagrammes de Karnaugh relatifs aux fonctions suivantes :
X = A.B.C+ A.B
1
X =(A+B).A.B.C
2  
- Le diagramme de Karnaugh relatif à X est le suivant :
1

A.B A.B A.B A.B
C 0 0 1 1 X1=A.B.C+A.B
C 0 0 1 0

Au terme A.B de la fonction X correspondent deux cases dans le diagramme de
1
Karnaugh, car si on écrit X sous forme de somme canonique, on aura la somme de trois
1
mintermes suivants :
( )
X = A.B.C+ A.B = A.B.C+ A.B.C+C = A.B.C+ A.B.C+ A.B.C
1

- X =(A+B).A.B.C
2  
Avant de déterminer le diagramme de Karnaugh de la fonction X , il est préférable de mettre
2
l’expression de cette fonction sous forme d’une somme de produit de termes. A chaque produit
correspond une case ou un groupe de cases dans le diagramme de Karnaugh.
X =(A+ B).A.B.C= A+ B+ A.B.C = A.B+ A.B.C
2  
Le diagramme de Karnaugh correspondant est alors le suivant :

A.B A.B A.B A.B
X=A.B+A.B.C
C 1 0 0 0
C 1 1 0 0

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La méthode de simplification par diagramme de Karnaugh est la suivante :
On transpose la table de vérité ou la fonction algébrique dans le diagramme de Karnaugh,
comme on l’a vu précédemment.
On effectue éventuellement des regroupements adjacents de 1, 2, 4, 8... cases de 1, appelées
monômes. On cherche à avoir le minimum de regroupements, ayant chacun le maximum de
cases possibles.
Il faut noter que l’adjacence existe pour les extrémités du diagramme de Karnaugh, car ce
dernier se présente comme un cylindre horizontal ou vertical, dans lequel les cases du haut sont
adjacentes aux cases du bas, de même pour les cases de droite et de gauche.
Dans un regroupement d’une case contenant 1, on ne peut éliminer aucune variable. On écrit
donc le produit des variables caractérisant cette case du diagramme.
Dans un regroupement de deux cases contenant 1, on élimine la variable qui change d’état et
l’on conserve le produit des variables qui n’ont pas changé d’état dans le regroupement, et cela
en vertu de la relation AX + AX = A.
Dans un regroupement de quatre cases contenant 1, on élimine les deux variables qui
changent d’état, et on ne conserve que le produit des variables qui n’ont pas changé d’état
dans le regroupement.
Cette règle se généralise, en éliminant N variables dans un regroupement de 2N cases
adjacentes contenant la valeur 1.
On cherche à faire apparaître dans le diagramme de Karnaugh le minimum de regroupement
de cases de 1, avec un maximum de cases possibles, en remarquant qu’un même 1 peut faire
partie de plusieurs groupes en vertu de la relation A+A=A.
Tout regroupement totalement inclus dans un groupement plus grand est éliminé car son
expression sera simplifiée. On dit qu'il n'est pas un impliquant premier, (un impliquant premier
est un monôme qui n'est pas inclut dans un monôme plus grand).
Traduire chaque regroupement de cases de 1 par son expression booléenne. L’expression
logique simplifiée est la somme logique des expressions booléennes de chaque regroupement.

Nous allons illustrer ce qui a été dit par différents exemples.

Exemples :

• Cas de deux variables

A A A A
B 1 0 B 1 1
B 0 1 B 0 1
X = A.B+ A.B X=A+B

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