Algèbre : Cours de mathématiques - Première année

246 Pages·2016·1.27 MB·French

by  Arnaud Bodin et al.

A L G È B R E
C
OURS DE MATHÉMATIQUES
P
REMIÈRE ANNÉE
Exo7

À la découverte de l’algèbre
Lapremièreannéed’étudessupérieuresposelesbasesdesmathématiques.Pourquoiselancerdansune
telleexpédition?Déjàparcequelesmathématiquesvousoffrirontunlangageuniquepouraccéderàune
multitudededomainesscientifiques.Maisaussiparcequ’ils’agitd’undomainepassionnant!Nousvous
proposonsdepartiràladécouvertedesmaths,deleurlogiqueetdeleurbeauté.
Dansvosbagages,desobjetsquevousconnaissezdéjà:lesentiers,lesfonctions...Cesnotionsenapparence
simples et intuitives seront abordées ici avec un souci de rigueur, en adoptant un langage précis et en
présentantlespreuves.Vousdécouvrirezensuitedenouvellesthéories(lesespacesvectoriels,leséquations
différentielles,...).
Ce tome est consacré à l’algèbre et se divise en deux parties. La première partie débute par la logique
et les ensembles, qui sont des fondamentaux en mathématiques. Ensuite vous étudierez des ensembles
particuliers:lesnombrescomplexes,lesentiersainsiquelespolynômes.Cettepartiesetermineparl’étude
d’unepremièrestructurealgébrique,aveclanotiondegroupe.
Lasecondepartieestentièrementconsacréeàl’algèbrelinéaire.C’estundomainetotalementnouveaupour
vousettrèsriche,quirecouvrelanotiondematriceetd’espacevectoriel.Cesconcepts,àlafoisprofondset
utiles,demandentdutempsetdutravailpourêtrebiencompris.
Leseffortsquevousdevrezfournirsontimportants:toutd’abordcomprendrelecours,ensuiteconnaître
par cœur les définitions, les théorèmes, les propositions... sans oublier de travailler les exemples et les
démonstrations,quipermettentdebienassimilerlesnotionsnouvellesetlesmécanismesderaisonnement.
Enfin,vousdevrezpasserautantdetempsàpratiquerlesmathématiques:ilestindispensablederésoudre
activementparvous-mêmedesexercices,sansregarderlessolutions.Pourvousaider,voustrouverezsurle
siteExo7touteslesvidéoscorrespondantàcecours,ainsiquedesexercicescorrigés.
Auboutduchemin,leplaisirdedécouvrirdenouveauxunivers,dechercheràrésoudredesproblèmes...et
d’yparvenir.Bonneroute!

Sommaire
1 Logique et raisonnements 1
1 Logique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Raisonnements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Ensembles et applications 11
1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Injection,surjection,bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Ensemblesfinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5 Relationd’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Nombres complexes 31
1 Lesnombrescomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Racinescarrées,équationduseconddegré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Argumentettrigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Nombrescomplexesetgéométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 Arithmétique 45
1 Divisioneuclidienneetpgcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2 ThéorèmedeBézout. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3 Nombrespremiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4 Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5 Polynômes 59
1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2 Arithmétiquedespolynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3 Racined’unpolynôme,factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4 Fractionsrationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6 Groupes 71
1 Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3 Morphismesdegroupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4 Legroupe(cid:90)/n(cid:90) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5 Legroupedespermutations(cid:83) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
n
7 Systèmes linéaires 87
1 Introductionauxsystèmesd’équationslinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2 Théoriedessystèmeslinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3 RésolutionparlaméthodedupivotdeGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8 Matrices 99
1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2 Multiplicationdematrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3 Inversed’unematrice:définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4 Inversed’unematrice:calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5 Inversed’unematrice:systèmeslinéairesetmatricesélémentaires . . . . . . . . . . . . . . 110
6 Matricestriangulaires,transposition,trace,matricessymétriques . . . . . . . . . . . . . . . 117
9 L’espace vectoriel (cid:82)n 123
1 Vecteursde(cid:82)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2 Exemplesd’applicationslinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3 Propriétésdesapplicationslinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
10 Espaces vectoriels 137
1 Espacevectoriel(début) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2 Espacevectoriel(fin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3 Sous-espacevectoriel(début) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4 Sous-espacevectoriel(milieu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5 Sous-espacevectoriel(fin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6 Applicationlinéaire(début) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7 Applicationlinéaire(milieu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8 Applicationlinéaire(fin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
11 Dimension finie 167
1 Famillelibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
2 Famillegénératrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4 Dimensiond’unespacevectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5 Dimensiondessous-espacesvectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
12 Matrices et applications linéaires 187
1 Rangd’unefamilledevecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
2 Applicationslinéairesendimensionfinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3 Matriced’uneapplicationlinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4 Changementdebases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
13 Déterminants 211
1 Déterminantendimension2et3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
2 Définitiondudéterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
3 Propriétésdudéterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
4 Calculsdedéterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
5 Applicationsdesdéterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Index

Chapitre
Logique et 1
raisonnements
VidØo (cid:132) partie 1. Logique
VidØo (cid:132) partie 2. Raisonnements
Fiche d’exercices (cid:135) Logique, ensembles, raisonnements
Quelques motivations
• Il est important d’avoir un langage rigoureux. La langue française est souvent ambigüe. Prenons
l’exempledelaconjonction«ou»;aurestaurant«fromageoudessert»signifiel’unoul’autremaispas
lesdeux.Parcontresidansunjeudecarteoncherche«lesasoulescœurs»alorsilnefautpasexclure
l’asdecœur.Autreexemple:querépondreàlaquestion«As-tu10eurosenpoche?»sil’ondisposede
15euros?
• Il y a des notions difficiles à expliquer avec des mots : par exemple la continuité d’une fonction est
souventexpliquéepar«ontracelegraphesansleverlecrayon».Ilestclairquec’estunedéfinitionpeu
satisfaisante. Voici la définition mathématique de la continuité d’une fonction f : I →(cid:82) en un point
x ∈I :
0
∀ε>0 ∃δ>0 ∀x ∈I (|x−x |<δ =⇒ |f(x)− f(x )|<ε).
0 0
C’estlebutdecechapitrederendrecetteligneplusclaire!C’estlalogique.
• Enfinlesmathématiquestententdedistinguerlevraidufaux.Parexemple«Est-cequ’uneaugmentation
de 20%,puis de 30% estplus intéressante qu’une augmentation de50%?». Vous pouvezpenser«oui»
ou«non»,maispourenêtresûrilfautsuivreunedémarchelogiquequimèneàlaconclusion.Cette
démarchedoitêtreconvaincantepourvousmaisaussipourlesautres.Onparlederaisonnement.
Lesmathématiquessontunlangagepours’exprimerrigoureusement,adaptéauxphénomènescomplexes,
quirendlescalculsexactsetvérifiables.Leraisonnementestlemoyendevalider—oud’infirmer—une
hypothèseetdel’expliqueràautrui.
LOGIQUE ET RAISONNEMENTS 1.LOGIQUE 2
1. Logique
1.1. Assertions
Uneassertionestunephrasesoitvraie,soitfausse,paslesdeuxenmêmetemps.
Exemples:
• «Ilpleut.»
• «Jesuisplusgrandquetoi.»
• «2+2=4»
• «2×3=7»
• «Pourtout x ∈(cid:82),ona x2(cid:62)0.»
• «Pourtoutz∈(cid:67),ona|z|=1.»
Si P estuneassertionetQ estuneautreassertion,nousallonsdéfinirdenouvellesassertionsconstruitesà
partirde P etdeQ.
L’opérateur logique «et»
L’assertion«P etQ»estvraiesi P estvraieetQ estvraie.L’assertion«P etQ»estfaussesinon.
Onrésumececienunetable de vérité :
P \Q V F
V V F
F F F
FIGURE 1.1–Tabledevéritéde«P etQ»
Parexemplesi P estl’assertion«Cettecarteestunas»etQ l’assertion«Cettecarteestcœur»alorsl’assertion
«P etQ»estvraiesilacarteestl’asdecœuretestfaussepourtouteautrecarte.
L’opérateur logique «ou»
L’assertion«P ouQ»estvraiesil’une(aumoins)desdeuxassertions P ouQ estvraie.L’assertion«P ou
Q»estfaussesilesdeuxassertions P etQ sontfausses.
Onreprendcecidanslatabledevérité:
P \Q V F
V V V
F V F
FIGURE 1.2–Tabledevéritéde«P ouQ»
Si P estl’assertion«Cettecarteestunas»etQ l’assertion«Cettecarteestcœur»alorsl’assertion«P ouQ»
estvraiesilacarteestunasoubienuncœur(enparticulierelleestvraiepourl’asdecœur).
Remarque.
Pourdéfinirlesopérateurs«ou»,«et»onfaitappelàunephraseenfrançaisutilisantlesmotsou,et!Les
tablesdevéritéspermettentd’éviterceproblème.
La négation «non»
L’assertion«non P »estvraiesi P estfausse,etfaussesi P estvraie.
LOGIQUE ET RAISONNEMENTS 1.LOGIQUE 3
P V F
non P F V
FIGURE 1.3–Tabledevéritéde«non P »
L’implication =⇒
Ladéfinitionmathématiqueestlasuivante:
L’assertion«(non P)ouQ»estnotée«P =⇒ Q».
Satabledevéritéestdonclasuivante:
P \Q V F
V V F
F V V
FIGURE 1.4–Tabledevéritéde«P =⇒ Q»
L’assertion«P =⇒ Q»selitenfrançais«P impliqueQ».
Elleselitsouventaussi«si P estvraiealorsQ estvraie»ou«si P alorsQ».
Parexemple:
(cid:112)
• «0(cid:54) x (cid:54)25 =⇒ x (cid:54)5»estvraie(prendrelaracinecarrée).
• « x ∈]−∞,−4[=⇒ x2+3x−4>0»estvraie(étudierlebinôme).
• «sin(θ)=0 =⇒(cid:112)θ =0»estfausse(regarderpourθ =2πparexemple).
• «2+2=5 =⇒ 2=2» est vraie! Eh oui, si P est fausse alors l’assertion «P =⇒ Q» est toujours
vraie.
L’équivalence ⇐⇒
L’équivalenceestdéfiniepar:
«P ⇐⇒ Q»estl’assertion«(P =⇒ Q) et (Q =⇒ P)».
Ondira«P estéquivalentàQ»ou«P équivautàQ»ou«P sietseulementsiQ».Cetteassertionestvraie
lorsque P etQ sontvraiesoulorsque P etQ sontfausses.Latabledevéritéest:
P \Q V F
V V F
F F V
FIGURE 1.5–Tabledevéritéde«P ⇐⇒ Q»
Exemples:
• Pour x,x(cid:48)∈(cid:82),l’équivalence« x·x(cid:48)=0 ⇐⇒ (x =0ou x(cid:48)=0)»estvraie.
• Voiciuneéquivalencetoujoursfausse(quelquesoitl’assertion P):«P ⇐⇒ non(P)».
On s’intéresse davantage aux assertions vraies qu’aux fausses, aussi dans la pratique et en dehors de ce
chapitre on écrira « P ⇐⇒ Q» ou « P =⇒ Q» uniquement lorsque ce sont des assertions vraies. Par
exemplesil’onécrit«P ⇐⇒ Q»celasous-entend«P ⇐⇒ Q estvraie».Attentionrienneditque P etQ
soientvraies.Celasignifieque P etQ sontvraiesenmêmetempsoufaussesenmêmetemps.