Algèbre -- 2ème Partie: Groupes de Lie

98 Pages·2009·0.74 MB·French

by  Claude-Alain Pillet

LICENCE DE MATHÉMATIQUES
3ème année
Algèbre – 2ème Partie
Groupes de Lie
C.-A. PILLET

Table des matières
1 Préliminaires 7
1.1 Algèbres matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 L’algèbre de Banach Mat(d,K) . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Calcul fonctionnel analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Sous-groupes à un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Groupes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.1 Groupes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.2 Groupes unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.3 Groupes symplectiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.4 Groupes d’isométries affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 Groupes Topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.2 Morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.3 Composantes connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.4 Espaces simplement connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3.5 Mesure de Haar d’un groupe compact . . . . . . . . . . . . . 39
2 Groupes de Lie 41
2.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 L’algèbre de Lie d’un groupe de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3 L’application exponentielle g G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
→
2.4 Algèbres de Lie abstraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.5 Morphismes locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.6 La représentation adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.7 La formule de Baker-Campbell-Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . 63
3
3 Représentations des groupes de Lie 69
3.1 La représentation d’algèbre de Lie induite . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Représentations de l’algèbre de Lie su(d) . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2.1 Représentations des algèbres de Lie sl(2,C) et su(2) . . . . . 75
3.2.2 Représentations de l’algèbre de Lie sl(3,C) . . . . . . . . . . 80
A Groupes affines 85
A.1 Action de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
A.2 Espaces et applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
A.3 Repères affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
A.4 Groupes affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
A.5 Espaces affines pseudo-euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
B Les groupes de Lie des théories de la relativité 91
B.1 Mouvement relatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
B.2 Relativité galiléenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
B.3 Le groupe de galilée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
B.4 L’espace de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
B.5 Le groupe de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Bibliographie
1. R. Mneimné, F. Testard : Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques.
Hermann, Paris, 1996.
2. G. Pichon : Groupes de Lie, représentations linéaires et applications. Hermann, Pa-
ris, 1973.
3. N. Bourbaki : GroupesetalgèbresdeLie. Masson, Paris, 1981.
4. A. Baker : Matrix Groups. An Introduction to Lie Group Theory. Springer, New
York 2002.
5. B. Hall : Lie Groups, Lie Algebras, and Representations. An Elementary Introduc-
tion. Springer, New York, 2003
6 TABLEDESMATIÈRES
Chapitre 1
Préliminaires
1.1 Algèbres matricielles
Rappels et conventions. Dans tout ce cours, K = R ou C et les espaces vectoriels
sont toujours réels ou complexes. On rappelle que toutes les normes sur un espace
V
vectorieldedimensionfinie sontéquivalentes,latopologieinduiteparlamétrique
d(x,y) = |x−y| ne dépend donc pas du choix de la norme | |. Cette topologie est
· V
séparable (il existe un sous ensemble dénombrable dense dans ). Tous les espaces
vectoriels de dimension finie seront munis de cette topologie. Toute norme sur un
espace vectoriel de dimension finie y induit une structure d’espace de Banach sépa-
rable (un espace vectoriel normé complet et admettant un sous-ensemble dense dé-
nombrable).Soit{e ...,e }unebasequelconquedel’espacevectorielV.Ondénote
1 d
par x K les composantes de x V relativement à cette base. Une suite x(n) V
i
est une∈suite de Cauchy (respectiv∈ement converge vers x V) si et seulement s∈i les
∈
suites x(n) sont des suites de Cauchy (respectivement convergent vers x ).
i i
Soit V un espace vectoriel complexe de dimension finie et O C un ouvert. Une
fonction f : O V est analytique s’il existe une base {e ,..⊂.,e } de V telle que
1 d
→
les composantes f : O C de f relativement à cette base soient analytiques. Si f
i
→ V
est analytique, alors cette propriété est vraie pour toutes les base de . En effet, les
composantes f(cid:48) de f relativement à une base {e(cid:48),...,e(cid:48)} sont exprimées à l’aide des
i 1 d
composantes f par la formule de changement de base
i
(cid:88)d
f(cid:48)(z) = S f (z).
i ij j
j=1
f : O V est analytique si et seulement si, pour tout z O elle admet un dévelop-
0
→ ∈
pement
(cid:88)∞
f(z) = a (z−z )n,
n 0
n=0
7
8 CHAPITRE1. PRÉLIMINAIRES
absolument convergent dans tout disque D (z ) = {z C||z − z | < r} contenu
r 0 0
dans O. Les coefficient a V sont alors donnés pas la∈formule de Cauchy
n
∈ (cid:73)
f(z) dz
a ,
n ≡ (z−z )n+12πi
Γ 0
où Γ est un contour encerclant z et entièrement contenu dans O.
0
V V
Si est un espace vectoriel réel, son complexifié C est l’espace vectoriel complexe
défini par VC = V V, la loi d’addition (u,v)+(u(cid:48),v(cid:48)) = (u+u(cid:48),v+v(cid:48)) et la loi
×
externe (λ+iµ)(u,v) = (λu−µv,λv+µu). On écrira alors (u,v) = u+iv et on
identifiera u V avec u+i0 VC.
∈ ∈
Soit V un espace vectoriel réel et I =]a,b[ R un intervalle ouvert. Une fonction
f : I V est réelle-analytique s’il existe un⊂ouvert O C tel que I = O R et une
→ ⊂ ∩
fonction analytique f˜: O VC dont la restriction à I est f.
→
On peut définir de la même manière une fonction analytique de plusieurs variables.
Si r = (r ,...,r ), avec r > 0, on appelle polydisque de rayon r centré en z =
1 k i 0
(z ,...,z ) le sous-ensemble ouvert
01 0k
D (z ) {(z ,...,z ) Ck||z −z | < r pouri = 1,...,k}.
r 0 1 k i 0i i
≡ ∈
Une fonction f : D (z ) V est analytique s’il existe une base de V telle que
r 0
→
les composantes f : D (z ) C de f relativement à cette base admettent un
i r 0
→
développement
(cid:88)∞
f (z ,...,z ) = a(i) (z −z )n1 (z −z )nk,
i 1 k n1···nk 1 01 ··· k 0k
n1,...,nk=0
absolumentconvergentdanstoutsous-ensemblecompactdeD (z ).Lescoefficients
r 0
de ce développement sont donnés par la formule de Cauchy
(cid:73)
f (z ,...,z ) dz dz
a(i) = i 1 k 1··· k,
n1···nk Γ (z1 −z01)n1+1 (zk −z0k)nk+1 (2πi)k
···
où Γ = {(z ,...,z )||z −z | = (cid:15) } et (cid:15) < r .
1 k i 0i i i i
1.1.1 L’algèbre de Banach Mat(d,K)
L’ensemble des endomorphismes de Kd, c’est-à-dire l’ensemble des matrices d d
×
sur K, est noté Mat(d,K). C’est une K-algèbre unitale (en particulier un K-espace
vectoriel) de dimension d2. Elle est non-commutative si d > 1. Le groupe des unités
de Mat(d,K), l’ensemble de toutes les matrices d d inversibles, est appelé groupe
×
linéairegénéral et noté GL(d,K). On remarque que
GL(d,K) = {T Mat(d,K)|detT = 0},
∈ (cid:54)
1.1. ALGÈBRESMATRICIELLES 9
et comme l’application det : Mat(d,K) K est continue (c’est un polynôme dans
→
les composantes T de T), GL(d,K) est ouvert dans Mat(d,K).
ij
Commenousl’avonsremarquéci-dessus,touteslesnormessurMat(d,K)sontéqui-
valentes. Cependant elle ne sont pas toutes adaptée à sa structure d’algèbre.
A
Une norme d’algèbre sur une algèbre unitale est une norme satisfaisant les deux
conditions suivantes
,|I = 1,
(cid:107)
TS (cid:54) T S ,
(cid:107) (cid:107) (cid:107) (cid:107)(cid:107) (cid:107)
pour tout T,S A. Une algèbre unitale munie d’une norme d’algèbre est dite nor-
∈
mée.Dansunealgèbrenormée,leproduit(T,S) TSestuneapplicationcontinue.
→
En effet, on a
TS−T(cid:48)S(cid:48) (cid:54) S T −T(cid:48) + T(cid:48) S−S(cid:48) . (1.1)
(cid:107) (cid:107) (cid:107) (cid:107)(cid:107) (cid:107) (cid:107) (cid:107)(cid:107) (cid:107)
Il en résulte que l’application T Tn est continue pour tout n (cid:62) 0. Plus précisé-
→
ment, du développement télescopique
(cid:88)n
Tn −Sn = Tj−1(T −S)Sn−j,
j=1
et de l’inégalité
Tn (cid:54) T n, (1.2)
(cid:107) (cid:107) (cid:107) (cid:107)
on déduit l’estimation
Tn −Sn (cid:54) nmax( T , S )n−1 T −S . (1.3)
(cid:107) (cid:107) (cid:107) (cid:107) (cid:107) (cid:107) (cid:107) (cid:107)
Unealgèbreunitalenorméecomplètedanslatopologieinduiteparsanormeestune
algèbredeBanach.Mat(d,K)estunealgèbredeBanach,eneffetonvérifiefacilement
que (cid:88)
T max |T |,
ij
(cid:107) (cid:107) ≡ i
j
est une norme d’algèbre. On notera en particulier que |T | (cid:54) T .
ij
(cid:107) (cid:107)
Il existe d’autres normes d’algèbre sur Mat(d,K). En fait, à toute norme | | sur Kd
·
on peut associer la norme d’algèbre
|Tx|
T sup |Tx| = sup . (1.4)
(cid:107) (cid:107)op ≡ |x|
x∈Kd,|x|=1 x∈Kd,x(cid:54)=0
Dans la suite on supposera Mat(d,K) munie d’une norme d’algèbre.
10 CHAPITRE1. PRÉLIMINAIRES
1.1.2 Calcul fonctionnel analytique
1. Soit f(z) une fonction analytique dans le disque D {z C||z| < r}. Dans le
r
≡ ∈
cas K = R on supposera en plus que f est réelle-analytique. Pour (cid:15) < r on a
M ((cid:15)) sup |f(z)| < ∞,
f
≡
|z|=(cid:15)
et donc (cid:73)
f(z) dz
a , (1.5)
n ≡ zn+12πi
|z|=(cid:15)
est borné par
|a | (cid:54) M ((cid:15))(cid:15)−n.
n f
La série de Taylor
(cid:88)∞
f(z) = a zn,
n
n=0
est absolument convergente dans D . Pour tout (cid:15) [0,r[ on obtient
r
∈
(cid:88)∞
r+(cid:15)
M ((cid:15)) (cid:54) R ((cid:15)) |a |(cid:15)n (cid:54) M ((r+(cid:15))/2) < ∞.
f f n f
≡ r−(cid:15)
n=0
Théorème 1 PourtoutT D {X Mat(d,K)| X < r},lasérie
r
∈ ≡ ∈ (cid:107) (cid:107)
(cid:88)∞
f(T) = a Tn, (1.6)
n
n=0
estabsolumentconvergentedansMat(d,K).Deplus
i. L’applicationT f(T)estanalytiquedansD .
r
(cid:55)→
ii. PourtoutT D , f(T) (cid:54) R ( T ).
r f
∈ (cid:107) (cid:107) (cid:107) (cid:107)
iii. PourtoutT D ,lafonctionz f(zT)estanalytiquedansledisqueD .
r r/(cid:107)T(cid:107)
∈ (cid:55)→
Démonstration Si T D alors, compte tenu de (1.2),
r
∈
(cid:88)∞ (cid:88)∞
|a | Tn (cid:54) |a | T n = R ( T ) < ∞,
n n f
(cid:107) (cid:107) (cid:107) (cid:107) (cid:107) (cid:107)
n=0 n=0
ce qui montre ii et la convergence absolue de la série (1.6). On a donc une série
absolument convergente
(cid:88)∞
(f(T)) = a P(n)(T ,...,T )
ij n ij 11 dd
n=0