Algèbre 2 [Lecture notes]

53 Pages·2013·0.592 MB·French

by  Gabor Wiese, Agnès David

Algèbre 2
Semestred’été2013
UniversitéduLuxembourg
GaborWieseetAgnèsDavid
[email protected], [email protected]
Versiondu31mai2013
1
TABLEDESMATIÈRES 2
Table des matières
1 Structuresfondamentales 4
2 Quotients 9
3 Complémentsdelathéoriedesgroupes 18
4 Polynômes 20
5 Anneauxeuclidiens 24
6 Anneauxfactoriels 30
7 Complémentsdelathéoriedesanneaux 34
TABLEDESMATIÈRES 3
Préface
CecoursestlasuiteducoursAlgèbre1enseignéausemestred’hiver2012/2013.Ilconsisteendeux
parties majeures : un traitement approfondi des anneaux; des compléments à l’algèbre linéaire d’un
point de vue plus général (et plus abstrait). Ce cours sert également comme préparation au cours
Algèbre 3 en semestre d’hiver 2013/2014 qui introduit la théorie de Galois qui nous permettra de
démontrer la constructibilité ou inconstructibilité à la règle et au compas de certains problèmes de
l’Antiquitéetl’impossibilitéderésoudrel’équationgénéralededegréaumoins5parradicaux.
Littérature
Voici quelques références : ces livres devraient être ou devenir disponibles dans la bibliothèque au
Kirchbergpendantlesemestreencours.
– Lelong-Ferrand, Arnaudiès. Cours de mathématiques, Tome 1, Algèbre. Dunod. Ce livre est très
completettrèsdétaillé.Onpeutl’utilisercommeouvragederéférence.
– SiegfriedBosch:Algebra(enallemand),Springer-Verlag.Celivreesttrèscompletetbienlisible.
– Serge Lang : Algebra (en anglais), Springer-Verlag. C’est comme une encyclopédie de l’algèbre;
onytrouvebeaucoupdesujetsrassemblés,écritsdefaçonconcise.
– SiegfriedBosch.LineareAlgebra,Springer-Verlag.
– JensCarstenJantzen,JoachimSchwermer.Algebra.
– ChristianKarpfinger,KurtMeyberg.Algebra:Gruppen-Ringe-Körper,SpektrumAkademischer
Verlag.
– GerdFischer.LehrbuchderAlgebra:MitlebendigenBeispielen,ausführlichenErläuterungenund
zahlreichenBildern,Vieweg+TeubnerVerlag.
– GerdFischer.LineareAlgebra:EineEinführungfürStudienanfänger,Vieweg+TeubnerVerlag.
– Gerd Fischer, Florian Quiring. Lernbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie : Das Wich-
tigsteausführlichfürdasLehramts-undBachelorstudium,SpringerVieweg.
– Perrin.Coursd’algèbre,Ellipses.
– Guin,Hausberger.AlgèbreI.Groupes,corpsetthéoriedeGalois,EDPSciences.
– Fresnel.Algèbredesmatrices,Hermann.
– Tauvel.Algèbre.
– Combes.Algèbreetgéométrie.
1 STRUCTURESFONDAMENTALES 4
1 Structures fondamentales
Nous commençons le cours par un rappel des structures apprises au semestre précédent ainsi que
l’introductiondequelquesnouvellesstructurescommeleshomomorphismesd’anneauxetlesidéaux.
Groupes,anneaux,corps,modules,espacesvectoriels
Définition1.1. UnensembleGavecunélémente Getmunid’uneapplication(loiinterne,loide
∈
groupe)
: G G G
∗ × →
estappeléungroupe(group,Gruppe)si
Associativité: g ,g ,g G : (g g ) g = g (g g ),
1 2 3 1 2 3 1 2 3
∀ ∈ ∗ ∗ ∗ ∗
Élémentneutre: g G : e g = g e = g et
∀ ∈ ∗ ∗
Existenced’inverse: g G h G : h g = g h = e.
∀ ∈ ∃ ∈ ∗ ∗
Données:(G, ,e).
∗
Ungroupe(G, ,e)estappelécommutatifouabéliensi
∗
Commutativité: g ,g G : g g = g g .
1 2 1 2 2 1
∀ ∈ ∗ ∗
Exemple1.2. – (Z,+,0)estungroupeabélien.
– Legroupesymétrique(S , ,(1))estungroupenon-abéliendèsquen 3(voirAlgèbre1).
n
◦ ≥
0 0 ··· 0
0 0 ··· 0
– OnnoteMatn(R)lesmatricesréellesd’ordren(pourn ∈ N).Alors,(Matn(R),+, ... ... ... ... )
!
0 0 ··· 0
estungroupeabélien.Onécriraaussi0pourl’élémentneutredecegroupe.
– Onnote
GL (R) := M Mat (R) M estinversible = M Mat (R) det(M) = 0 ,
n n n
{ ∈ | } { ∈ | 6 }
1 0 ··· 0
0 1 ··· 0
appelélegroupegénérallinéaire.Alors,(GLn(R),◦, ... ... ... ... )estungroupeoù◦estlamulti-
!
0 0 ··· 1
plicationdesmatrices(voirlecoursd’algèbrelinéaire1).Onécriraaussi1pourl’élémentneutre
de ce groupe. Ce groupe n’est pas abélien dès que n > 1. Trouvez vous-même un exemple de
matricesquinecommutentpas!
Définition 1.3. Un ensemble A avec deux éléments (pas nécessairement distincts) muni de deux ap-
plications
+ : A A A, et : A A A
A A
× → · × →
estappeléanneau(Ring)si
Groupeadditif: (A,+ ,0 )estungroupeabélien,
A A
Associativité: a,b,c A : (a b) c = a (b c),
∀ ∈ · · · ·
Élémentneutre: a A : 1 a = a 1 = aet
A A
∀ ∈ · ·
1 STRUCTURESFONDAMENTALES 5
Distributivité: Pourtousa,b,c A:
∈
a (b+ c) = (a b)+ (a c)
A A A A A
· · ·
et
(a+ b) c = (a c)+ (b c).
A A A A A
· · ·
Données:(A,+, ,0 ,1 )(nousécrirons0 = 0 et1 = 1 danslasuite).
A A A A
·
Unanneau(A,+, ,0 ,1 )estappelécommutatifsi
A A
·
Commutativité: a,b A : a b = b a.
∀ ∈ · ·
Dans la littérature ce que nous appelons anneau est souvent appelé anneau unitaire pour souligner
l’existence d’un élément neutre pour la multiplication. La plupart des anneaux dans ce cours seront
commutatifs.
Exemple1.4. – (Z,+, ,0,1)estunanneaucommutatif.
·
0 0 ··· 0 1 0 ··· 0
0 0 ··· 0 0 1 ··· 0
– (Matn(R),+,◦, ... ... ... ... , ... ... ... ... )estunanneau.Iln’estpascommutatifdèsquen ≥ 2.
! !
0 0 ··· 0 0 0 ··· 1
Définition-Lemme1.5(Algèbre1,5.8). Soit(A,+, ,0,1)unanneau.Unélémentu Aestappelé
· ∈
unités’ilexistev Atelqueuv = vu = 1.Uneunitéestdoncunélémentinversibledanslemonoïde
∈
(A, ,1).
·
L’ensembledesunitésdeAestnotéA×.(A×, ,1)estungroupe(abéliensil’anneauestcommutatif).
·
Ils’appellegroupedesunitésdeA.
Définition1.6. Soit(A,+, ,0,1)unanneau(commutatif).Onl’appellecorps(commutatif)si
·
– tout0 = a Aestuneunitépourlamultiplication(c’est-à-dire,A× = A 0 )et
6 ∈ \{ }
– 0 = 1.
6
Remarque1.7. Traductions:
– Anglais:fieldveutdire«corpscommutatif».
– Anglais:skewfieldveutdire«corpsnon-commutatif».
– Allemand:Körperveutdire«corpscommutatif».
– Allemand:Schiefkörperveutdire«corpsnon-commutatif».
– Néerlandais:lichaamveutdire«corpscommutatif».
– Flamand:veldveutdire«corpscommutatif».
Donc,dansleslanguesdifférentesdufrançaisilsemblequetoutcorpsestautomatiquementcommu-
tatif.
Dans ce cours nous supposons aussi que tout corps est commutatif. Donc nous utilisons le mot
«corps»poursignifier«corpscommutatif».
Exemple1.8. – (Q,+, ,0,1)estuncorps.
·
– (R,+, ,0,1)estuncorps.
·
– (Z,+, ,0,1)n’estpasuncorps.
·
– Soit p un nombre premier. F := (Z/pZ,+, ,0,1) est un corps fini à p éléments (voir Algèbre 1,
p
·
5.32).
1 STRUCTURESFONDAMENTALES 6
Définition 1.9. Soit K = (K,+, ,0,1) un corps (commutatif!). Un groupe abélien (V,+,0) muni
·
d’uneapplication(«multiplicationscalaire»)
. : K V V
× →
estappeléK-espacevectoriel(K-vectorspace,K-Vektorraum)si
– v V : 1.v = v,
∀ ∈
– a K, v,w V : a.(v+w) = a.v+a.w,
∀ ∈ ∀ ∈
– a,b K, v V : (a+b).v = a.v+b.v et
∀ ∈ ∀ ∈
– a,b K, v V : (a b).v = a.(b.v).
∀ ∈ ∀ ∈ ·
Données:(V,+,.,0).
Remarque 1.10. On peut faire la même définition avec un anneau commutatif au lieu d’un corps.
Danscecasonparled’unA-moduleouplusprécisémentd’unA-moduleàgauche.Onnelestraitera
pasdanscecours,maisilsjouerontunrôleimportantdanslecours«CommutativeAlgebra»dansle
MasterofMathematics.
0
0
Exemple1.11. – (Rn,+,., . ) est un R-espace vectoriel. Nous écrivons aussi 0 pour le vecteur
.
.
!
0
zéro.
0
0
– (Qn,+,., . )estunQ-espacevectoriel.
.
.
!
0
0 0 ··· 0
0 0 ··· 0
– (Matn(R),+,., ... ... ... ... )estunR-espacevectoriel.
!
0 0 ··· 0
Homomorphismes
Les homomorphismes sont des applications qui préservent toutes les structures. On connaît déjà les
homomorphismes de groupes : ils préservent la loi de groupe et l’élément neutre. On introduira les
homomorphismesd’anneaux(quipréserventlesdeuxopérations+, ,ainsiquelesélémentsneutres)
·
et les homomorphismes d’espaces vectoriels (qui préservent l’addition, la multiplication scalaire et
l’élémentneutre).
Définition1.12. Soient(G,⋆,e)et(H, ,ǫ)deuxgroupes.Uneapplication
◦
ϕ : G H
→
estappelée(homo)morphismedegroupessipourtoutg ,g Gona
1 2
∈
ϕ(g ⋆g ) = ϕ(g ) ϕ(g ).
1 2 1 2
◦
Exemple1.13. – ϕ : Z Z, n 2n, définit un homomorphisme de groupes de (Z,+,0) dans
→ 7→
lui-même.
– Le déterminant det : GL (R) R× définit un homomorphisme de groupes de GL (R) dans le
n n
→
groupedesunitésdeR(quiestégalàR 0 carRestuncorps).
\{ }
Si la loi de groupe ainsi que l’élément neutre sont clairs, on les supprime (comme fait dans cet
exemple).
1 STRUCTURESFONDAMENTALES 7
– PourdespropriétésimportantesvoirAlgèbre1,7.20.
Définition1.14. Soient(A,+, ,0,1)et(A′,+′, ′,0′,1′)deuxanneaux.Uneapplication
· ·
ϕ : A A′
→
estappelée(homo)morphismed’anneauxsi
– ϕestunhomomorphismedegroupesde(A,+,0)dans(A′,+′,0′),c’est-à-dire
a,b A : ϕ(a+b) = ϕ(a)+′ϕ(b),
∀ ∈
– a,b A : ϕ(a b) = ϕ(a) ′ϕ(b)et
∀ ∈ · ·
– ϕ(1) = 1′.
SiAetA′ sontdescorps,onparleaussid’unhomomorphismedecorps.
Remarque1.15. Pourunhomomorphismedegroupesc’estuneconséquencedeladéfinition(comme
onl’avu)quel’élémentneutreestenvoyésurl’élémentneutre.Parcontre,pourunhomomorphisme
d’anneaux, ϕ(1) = 1′ n’est en général pas une conséquence des deux premières propriétés (par
exemple,l’homomorphismequienvoietoutélémentsur0vérifielesdeuxpremièrespropriétés).
Exemple1.16. – L’inclusionϕ : Z Q,n n estunhomomorphismed’anneaux.
→ 7→ 1
a 0 ··· 0
0 a ··· 0
– L’inclusionϕ : R → Matn(R),a 7→ ... ... ... ... estunhomomorphismed’anneaux(Exercicesur
!
0 0 ··· a
lafeuille2).
– Soit n N . L’application Z Z/nZ, a a = a+nZ, est un homomorphisme d’anneaux
>0
∈ → 7→
(Exercicesurlafeuille1).
Définition 1.17. Soient A et B des anneaux et ϕ : A B un homomorphisme d’anneaux. On
→
supposeAcommutatif.Alors,onappelle(B,ϕ)uneA-algèbresipourtouta Aettoutb B ona
∈ ∈
ϕ(a) b = b ϕ(a).
· ·
Cequenousappelons«algèbre»s’appellesouventplusprécisement«algèbreassociative(unitaire)».
Exemple 1.18. Soient n N , (K,+, ,0,1) un corps (commutatif!) et ϕ : K Mat (K),
>0 n
∈ · →
a 0 ··· 0
0 a ··· 0
a 7→ ... ... ... ... .Alors,(Matn(K),ϕ)estuneK-algèbre(Exercicesurlafeuille2).
!
0 0 ··· a
Définition1.19. SoientK uncorpsetV,W deuxK-espacesvectoriels.Uneapplicationϕ : V W
→
estappeléehomomorphismedeK-espacesvectorielsouapplicationK-linéairesi
– ϕestunhomomorphismedegroupesdeV dansW,c’est-à-dire
v ,v V : ϕ(v +v ) = ϕ(v )+ϕ(v )et
1 2 1 2 1 2
∀ ∈
– a K, v V : ϕ(a.v) = a.ϕ(v).
∀ ∈ ∀ ∈
Exemple 1.20. Soient K un corps et V = Kn, W = Km avec n,m N . Alors, toute matrice
>0
∈
d1,1 d1,2 ··· d1,n
d2,1 d2,2 ··· d2,n
D =  ... ... ... ...  ∈ Matm×n(K)définituneapplicationK-linéaire
dm,1 dm,2 ··· dm,n
 
x1 d1,1 d1,2 ··· d1,n x1
x2 d2,1 d2,2 ··· d2,n x2
V → W, ... ! 7→  ... ... ... ...  ... !,
xn dm,1 dm,2 ··· dm,n xn
 
1 STRUCTURESFONDAMENTALES 8
donnéeparlamultiplicationdelamatriceetduvecteur.
Un théorème important d’algèbre linéaire (que nous allons (re)démontrer dans la deuxième partie
du cours) dit que – après choix de bases – toute application linéaire est uniquement donnée par une
matrice.
Définition 1.21. Si un homomorphisme (de groupes, d’anneaux ou d’espaces vectoriels) est bijectif,
onparled’unisomorphisme.
Dans la littérature on trouve aussi les mots monomorphisme pour un homomorphisme injectif, et
épimorphismepourunhomomorphismesurjectif.
Sous-objets
Définition 1.22. Soient (G,⋆,e) un groupe et H G un sous-ensemble. H est appelé sous-groupe
⊆
deG(notationH G)si
≤
– e H,
∈
– pourtousa,b H onaa⋆b H (donc,⋆serestreintenuneapplicationH H H),et
∈ ∈ × →
– pourtouta H,l’inversea−1 H.
∈ ∈
Unsous-groupeH Gestappelénormal(notation:H E G)si
≤
h H, g G : g−1hg H.
∀ ∈ ∀ ∈ ∈
Exemple1.23. – SiGestabélien,toutsous-groupeH Gestnormal(Algèbre1,8.8).
≤
– Soitϕ : G G unhomomorphismedegroupes.Alors,lenoyaudeϕ
1 2
→
ker(ϕ) := g G ϕ(g) = 1 E G
{ ∈ 1 | G2} 1
(où1 estl’élémentneutredeG )estunsous-groupenormaldeG etl’imagedeϕ
G2 2 1
im(ϕ) := g G g G : ϕ(g ) = g G
2 1 1 1 2
{ ∈ | ∃ ∈ } ≤
estunsous-groupe(pasnécéssairementnormal)deG (Algèbre1,7.20,8.10).
2
Définition 1.24. Soit A un anneau commutatif. Un sous-ensemble B A est appelé sous-anneau
⊆
deAsi
– (B,+,0)estunsous-groupede(A,+,0)(alors,pourtoutb ,b B,onab b B),
1 2 1 2
∈ − ∈
– pourtoutb ,b B onab b B et
1 2 1 2
∈ · ∈
– 1 B.
∈
Unsous-ensembleI AestappeléidéaldeA(notation:I E A)si
⊆
– (I,+,0)estunsous-groupede(A,+,0)(alors,pourtouti ,i I,onai i I)et
1 2 1 2
∈ − ∈
– pourtouti I ettouta Aonaa i I.
∈ ∈ · ∈
Remarque1.25. SiAn’estpascommutatif,ladéfinitionquenousavonsdonnéeestcelled’unidéal
à gauche. Il est évident comment définir les idéaux à droite (remplacer a i A par i a A
· ∈ · ∈
dansladernièrecondition);onaaussilanotiond’idéalbilatère.Danscecoursnousallonsutiliser
uniquementlesidéauxpourlesanneauxcommutatifs,commedansladéfinitionprécédente.
2 QUOTIENTS 9
Exemple1.26. Soitϕ : A A unhomomorphismed’anneaux.Alors,lenoyaudeϕ
1 2
→
ker(ϕ) := a A ϕ(a) = 0 E A
1 1
{ ∈ | }
estunidéaldeA etl’imagedeϕ
1
im(ϕ) := a A a A : ϕ(a ) = a A
2 1 1 1 2
{ ∈ | ∃ ∈ } ⊆
estunsous-anneau(pasnécéssairementunidéal)deA (Exercicesurlafeuille1).
2
Définition1.27. SoientK uncorpsetV unK-espacevectoriel.Unsous-ensembleW V estappelé
⊆
sous-K-espace(vectoriel)deV (notation:W V)si
≤
– (W,+,0)estunsous-groupede(V,+,0)(alors,pourtoutw ,w W,onaw w W),
1 2 1 2
∈ − ∈
– pourtouta K ettoutw W onaa.w W.
∈ ∈ ∈
Exemple1.28. – V = Q2.Alors,W := (a) a Q estunsous-Q-espacedeQ2.
a
{ | ∈ }
– Soient K un corps et ϕ : V V un homomorphisme de K-espaces vectoriels. Alors, le noyau
1 2
→
deϕ
ker(ϕ) := v V ϕ(v) = 0 V
1 1
{ ∈ | } ≤
estunsous-K-espacedeV etl’imagedeϕ
1
im(ϕ) := v V v V : ϕ(v ) = v V
2 1 1 1 2
{ ∈ | ∃ ∈ } ⊆
estunsous-K-espacedeV (Exercicesurlafeuille1).
2
2 Quotients
Danscettesectionnoustraitonslesquotientspourlesdifférentesstructuresintroduites/rappeléesdans
lasectionprécédente.C’est-à-direquenouscommençonsparrappelerlaconstructiondanslecasdes
groupes,puisonpasseraauxanneauxetfinalementontraiteralesespacesvectoriels.
Quotientsdegroupes
Onrappelled’abordlesconventionssurlesgroupesintroduitesauderniersemestre:
– Nous ne devons jamais oublier qu’un groupe est un triplet (G, ,e) où G est l’ensemble des élé-
◦
mentsdeG, désignelaloidegroupe(loiinterne)eteestl’élémentneutre.Onpeutévidemment
◦
choisir n’importe quel symbole. Des symboles souvent utilisés pour la loi de groupe sont , +, ,
· ×
, ,maisonpourraitaussichoisirBelleMultiplication.
∗ ◦
– Souvent on n’a pas envie d’écrire le triplet et on n’écrit que (G, ) ou bien «G pour la loi ».
◦ ◦
Dans ce cas, on écrit souvent e ou juste e pour l’élément neutre. Normalement, une confusion
G
est impossible car il n’y a qu’un seul élément neutre dans le groupe (comme on l’a démontré en
Algèbre1).
– Si la loi de groupe est un symbole qui rappelle la multiplication comme , , , , , on écrit
· × ∗ ◦ ⊗
souvent 1 pour l’élément neutre; dans ce cas on note g−1 l’inverse d’un élément g du groupe. Par
contre, si le symbole rappelle l’addition comme +, , l’élément neutre s’écrit 0 (au lieu de 1, car
⊕
l’égalité1+1 = 1seraittropbizarre)et g estl’inversedeg.Lanotationadditiveestengénéral
−
réservéeauxgroupescommutatifs.
2 QUOTIENTS 10
– Si nous écrivons «Soit G un groupe» sans spécifier ni la loi de groupe ni l’élément neutre, on
utilise un symbole multiplicatif comme , (selon votre et notre goût) pour la loi de groupe et 1
· ×
pourl’élémentneutre.
Soitn N .OnconsidèrelegroupeG = (Z,+,0)etsonsous-groupeH = nZ = nm m Z
≥1
∈ { | ∈ }
(quiestnormal,cequivaêtreimplicitementutiliséplusbas).Parladivisioneuclidiennetoutm Z
∈
s’écritdefaçonuniquecomme
m = qn+r
avecq Zetun«reste»0 r n 1.Poura,b Zlesassertionssuivantessontéquivalentes:
∈ ≤ ≤ − ∈
(i) aetbontlemêmerestedansladivisioneuclidienneparn;
(ii) a b+nZ = b+nm m Z ;
∈ { | ∈ }
(iii) a b nZ;
− ∈
(iv) n (a b);
| −
(v) a b mod n.
≡
La dernière équivalence est une définition (voir Algèbre 1). Si 0 r n 1, l’ensemble r +nZ
≤ ≤ −
est l’ensemble de tous les entiers relatifs qui ont r comme reste dans la division euclidienne par n.
Commetoutentiermaunentierentre0etn 1commereste,nousavonslaréuniondisjointe
−
n−1
Z = (r+nZ).
r=0
G
Danslecontexted’ungroupegénéral,lagénéralisationabstraitedecequiprécèdeestcontenuedans
ladéfinition-lemmesuivante,déjàtraitéeenAlgèbre1.
Définition-Lemme2.1. SoitGungroupeetH Gunsous-groupe.Larelationdéfiniepar
≤
g g : g−1 g H
1 ∼H 2 ⇔ 1 · 2 ∈
estunerelationd’équivalence.
Lesclassesd’équivalencesontdelaforme
gH = g h h H
{ · | ∈ }
etelless’appellentclassesàgauchedeGsuivantH.L’ensembledecesclassesestnotéG/H.
Donc,ona
– G = gH,
gH∈G/H
– g H Fg H = ∅ sig1−1g2 6∈ H,
1 2
∩ (g1H = g2H sig1−1g2 ∈ H.
Unélémentg g H estappeléunreprésentantdelaclasseg H.Onaalorsg H = g H.
2 1 1 1 2
∈
Démonstration. La vérification que c’est une relation d’équivalence était un exercice en Algèbre 1.
Leresteestuneconséquencevalablepourtouteslesrelationsd’équivalence.