Algèbre 2

127 Pages·2014·0.93 MB·French

OlivierDebarre
ALGÈBRE 2
ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE
2012–2013
OlivierDebarre
ALGÈBRE 2
ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE
2012–2013
OlivierDebarre

TABLE DES MATIÈRES
I.Extensionsdecorps...................................................................... 1
1.Anneaux............................................................................. 1
1.1.Idéaux........................................................................... 1
1.2.Divisibilité,élémentsirréductibles.................................................. 2
1.3.Anneauxprincipaux,anneauxeuclidiens............................................. 3
2.Corps................................................................................ 4
2.1.Caractéristiqued’uncorps.......................................................... 5
2.2.Racinesdel’unité................................................................. 5
2.3.Extensionsdecorps............................................................... 6
2.4.Élémentsalgébriquesettranscendants............................................... 6
2.5.Constructionsàlarègleetaucompas................................................ 9
3.Polynômesetracines................................................................... 11
3.1.Corpsderupture.................................................................. 11
3.2.Corpsdedécomposition........................................................... 12
3.3.Clôturealgébrique................................................................ 12
4.Extensionsnormales................................................................... 15
5.Séparabilité........................................................................... 17
5.1.Polynômesséparables............................................................. 17
5.2.Corpsparfaits..................................................................... 18
5.3.Extensionsséparables.............................................................. 19
5.4.Théorèmedel’élémentprimitif..................................................... 21
5.5.Corpsfinis....................................................................... 23
5.6.Trace............................................................................ 23
6.ThéoriedeGalois..................................................................... 25
6.1.GroupedeGaloisd’uneextensiondecorps........................................... 25
6.2.GroupedeGaloisdeK (cid:44)→K(X)etthéorèmedeLüroth.............................. 26
vi TABLEDESMATIÈRES
6.3.Extensionsgaloisiennes............................................................ 28
6.4.CorrespondancedeGalois,lemmed’Artin........................................... 29
6.5.Clôturegaloisienne................................................................ 32
7.ThéoriedeGaloisgénérale............................................................. 32
8.ApplicationsdelathéoriedeGalois..................................................... 33
8.1.CorrespondancedeGaloispourlescorpsfinis........................................ 33
8.2.Constructibilitéàlarègleetaucompas,polynômescyclotomiques...................... 34
8.3.Extensionscycliques.............................................................. 37
8.4.Extensionsradicales,équationsrésolublesparradicaux................................ 39
II.Modules............................................................................... 43
1.Moduleslibres........................................................................ 43
2.Modulesdetorsion.................................................................... 44
3.Modulesdetypefini................................................................... 44
4.Modulesdetypefinisurlesanneauxprincipaux........................................... 47
4.1.Applicationauxgroupesabéliensdetypefini......................................... 53
4.2.Applicationàlaréductiondesendomorphismes....................................... 53
III.Anneaux.............................................................................. 57
1.Anneauxfactoriels..................................................................... 58
2.Anneauxnoethériens................................................................... 61
3.Radicald’unidéal..................................................................... 65
4.Décompositionprimaire................................................................ 66
4.1.Idéauxprimaires,idéauxirréductibles............................................... 68
4.2.Décompositionprimairedansunanneaunoethérien................................... 70
4.3.Idéauxpremiersassociés,idéauxpremiersimmergés.................................. 72
5.TopologiedeZariski................................................................... 74
5.1.Spectred’unanneau............................................................... 74
5.2.Espacestopologiquesirréductibles,composantesirréductibles.......................... 78
5.3.Espacestopologiquesnoethériens................................................... 79
5.4.Dimensiond’unespacetopologique,dimensiondeKrulld’unanneau................... 81
6.Localisation.......................................................................... 82
7.Hauptidealsatz........................................................................ 85
8.Extensionsfiniesetentièresd’anneaux................................................... 87
8.1.Tracesd’entiers................................................................... 90
8.2.Anneauxintégralementclos........................................................ 90
9.LemmedenormalisationdeNoether..................................................... 93
10.ThéorèmedeszérosdeHilbert......................................................... 95
TABLEDESMATIÈRES vii
11.«Going-up»etthéorèmedeCohen-Seidenberg..........................................101
12.Basesetdegrédetranscendance........................................................105
13.«Going-down»......................................................................107
14.Dimensiondesalgèbresdetypefinisuruncorps.........................................110
15.Anneauxdevaluationdiscrète.........................................................112
16.AnneauxdeDedekind................................................................114
Bibliographie.............................................................................119

CHAPITRE I
EXTENSIONS DE CORPS
1. Anneaux
NousreviendronsauchapitreIIIpluslonguementsurlathéoriedesanneaux.Nousnouscontentonsici
desquelquespréliminairesnécessairespouraborderlathéoriedesextensionsdecorps.
Tousnosanneauxsontcommutatifsunitaires(maisilsepeutque1 = 0;celaarrivesietseulementsi
l’anneauestnul!).Unmorphisme(d’anneauxunitaires)f :A→Bdoitvérifierf(1 )=1 .
A B
Un élément de A est inversible (on dit aussi que c’est une unité de A) s’il admet un inverse pour la
multiplication. L’ensemble des éléments inversibles, muni de la multiplication, est un groupe noté habi-
tuellementA∗.
Un anneau A est intègre («anneau intègre» se dit «integral domain», ou simplement «domain» en
anglais)s’iln’estpasnuletsileproduitdedeuxélémentsnonnulsdeAestencorenonnul.C’estuncorps
s’iln’estpasnuletsitoutélémentnonnuldeAadmetuninverse.
Si un anneau A est intègre, on définit son corps des quotients (ou corps des fractions) K comme
A
l’ensembledes«fractions» a,aveca∈Aetb∈A {0},modulolarelationd’équivalence
b
a a(cid:48)
∼ ⇐⇒ab(cid:48) =a(cid:48)b.
b b(cid:48)
Munidesopérations(additionetmultiplication)habituellessurlesfractions,onvérifiequeK estbienun
A
corps.
Exercice1.1. — SoitAunanneau.
a) SiAestintègre,montrerquel’anneauA[X]despolynômesàuneindéterminéeàcoefficientsdansAest
aussiintègre.
b) SiAestintègre,quellessontlesunitésdeA[X]?
c) SiAestquelconque,caractériserlesunitésdeA[X](c’estdifficileàfairedirectement!Noterque(2X+
1)2 =1dans(Z/4Z)[X],donc2X+1estuneunitédanscetanneau).
1.1. Idéaux. — Si A est un anneau, une partie I ⊆ A est un idéal si c’est un sous-groupe additif et si,
pourtouta∈Aettoutb∈I,onaab∈I.C’estexactementlapropriétéqu’ilfautpourpouvoirmettresur
legroupeadditifA/I unestructured’anneauquifaitdelaprojectioncanoniqueA→A/I unmorphisme
d’anneaux.
Le noyau d’un morphisme d’anneaux f : A → B est un idéal de A noté Ker(f) (mais l’image de f
n’est en général pas un idéal de B). Plus généralement, l’image réciproque par f d’un idéal de B est un
idéaldeA.SiI estunidéaldeA,lemorphismef sefactoriseparlaprojectionA → A/I sietseulement
siI ⊆Ker(f).
Exemple1.2. — L’anneauAestuncorpssietseulementsisesseulsidéauxsont{0}etA.
Exemple1.3. — Lesidéauxdel’anneauZsontlesI =nZ,avecn∈N.
n
2 CHAPITREI.EXTENSIONSDECORPS
L’intersection d’une famille quelconque d’idéaux de A est encore un idéal de A. Si S est une partie
deA,l’intersectiondetouslesidéauxdeAcontenantSestdoncunidéaldeAquel’onnotera(S),ouAS.
C’estl’ensembledessommesfinies(cid:80)n a s ,pourn∈N,a ∈Aets ∈S.
i=1 i i i i
SoitI unidéaldel’anneauA.L’anneauA/I estintègresietseulementsiI estunidéalpremier,c’est-
à-direqu’ilestdistinctdeAetqu’ilvérifielapropriété:
∀a,b∈A ab∈I ⇒(a∈I oub∈I).
L’anneauA/I estuncorpssietseulementsiI estunidéalmaximal,c’est-à-direqu’ilestdistinctdeA
etquel’uniqueidéaldeAcontenantstrictementI estA(enparticulier,toutidéalmaximalestévidemment
premier). Il résulte du théorème de Zorn que tout idéal de A distinct de A est contenu dans un idéal
maximal(1).Enparticulier,toutanneaunonnulpossèdeunidéalmaximal.
Exemple1.4. — L’anneauAestuncorpssietseulementsi{0}estunidéalmaximaldeA.
Exercice1.5. — SoitAunanneau.Montrerl’égalité
(cid:91) m=A A∗.
midéalmaximaldeA
Exercice1.6. — SoitC l’anneaudesfonctionscontinuesde[0,1]dansR.
a) MontrerquelesidéauxmaximauxdeC sontles
I ={f ∈C |f(x)=0},
x
pourchaquex∈[0,1](pourlesquelsC/I (cid:39)R).
x
b) MontrerquetoutidéalpremierdeC estcontenudansununiqueidéalmaximaldeC,etqu’ilyestdense
(pourlatopologiedelaconvergenceuniforme).ToutidéalpremierfermédeC estdoncmaximal(2).
1.2. Divisibilité,élémentsirréductibles. — SoitAunanneauintègreetsoientaetbdesélémentsdeA.
Onditqueadiviseb,etonécrita|b,s’ilexisteq ∈Atelqueb=aq.Entermesd’idéaux,c’estéquivalent
à(a)⊇(b).Enparticulier,0nedivisequelui-même,etuneunitédivisetouslesélémentsdeA.
On a (a | b et b | a) si et seulement s’il existe u ∈ A∗ tel que a = ub. On dit alors que a et b sont
associés.
Un élément de A est irréductible si a n’est pas inversible et que si a = xy, alors soit x, soit y est
inversible.LasecondeconditionsignifiequelesseulsdiviseursdeasontsesassociésetlesunitésdeA.
Enfin,onditquedesélémentsdeAsontpremiersentreeuxsileursseulsdiviseurscommunssontles
unités de A. Par exemple, si a est irréductible, tout élément de A est ou bien premier avec a, ou bien
divisiblepara.
Exemple1.7. — LesélémentsirréductiblesdeZsontles±p,avecpnombrepremier.CeuxdeR[X]sont
lespolynômesdedegré1etlespolynômesdedegré2sansracineréelle.
Soit a un élément non nul de A. Si l’idéal (a) est premier, a est irréductible, mais la réciproque est
fausseengénéral,commelemontrel’ex.1.9ci-dessous.
Exemple1.8. — Si n (cid:62) 1, l’anneau Z/nZ est intègre si et seulement si n est premier. C’est alors un
corps.Ona
nestunnombrepremier ⇔ l’idéal(n)estpremier ⇔ nestirréductible.
1. SoitIunidéaldeAdistinctdeA.L’ensembledesidéauxdeAcontenantIetdistinctsdeAestinductifcarsi(Ij)j∈Jestune
familletotalementordonnéed’idéauxdeAdistinctsdeA,laréunion(cid:83)j∈JIjestencoreunidéal(parcequelafamilleesttotalement
ordonnée)distinctdeA(parcequ’ellenecontientpas1A).OnappliquealorslelemmedeZorn.
2. Enrevanche,ladescriptiongénéraledesidéauxpremiersdeC estunproblèmetrèsdifficile!Mêmemontrerqu’ilexistedes
idéauxpremiersnonmaximauxn’estpasévident(cf.exerc.III.3.4).