algebre 2

37 Pages·2012·0.17 MB·French

Universit(cid:19)e Paris IX Dauphine
UFR Math(cid:19)ematiques de la d(cid:19)ecision
Notes de cours
ALGEBRE 2
Guillaume CARLIER
L1, ann(cid:19)ee 2006-2007
2
Ce support de cours est bas(cid:19)e sur le poly de Tristan Tomala des ann(cid:19)ees
pr(cid:19)ec(cid:19)edentes.
3
4
Table des mati(cid:18)eres
1 Espaces vectoriels 7
1.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Bases d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Somme directe de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Somme directe de k sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . 13
2 Applications lin(cid:19)eaires 14
2.1 D(cid:19)e(cid:12)nitions et vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Propri(cid:19)et(cid:19)es (cid:19)el(cid:19)ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Image et noyau d’une application lin(cid:19)eaire . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Cas de la dimension (cid:12)nie : le th(cid:19)eor(cid:18)eme du rang . . . . . . . . 17
2.4.1 Le th(cid:19)eor(cid:18)eme du rang et ses applications . . . . . . . . . 17
2.4.2 Le th(cid:19)eor(cid:18)eme du rang si dim(E) = dim(F) . . . . . . . 18
2.5 Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Repr(cid:19)esentation matricielle 20
3.1 Caract(cid:19)erisation d’une application lin(cid:19)eaire par l’image d’une base 20
3.2 Matrices et applications lin(cid:19)eaires . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.1 Liens avec le calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.2 Produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.3 Ecriture matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4.1 Action d’un changement de base sur les composantes
d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4.2 Actiond’unchangementdebasesurlamatricerepr(cid:19)esentant
une application lin(cid:19)eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4.3 Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5 Retour aux syst(cid:18)emes lin(cid:19)eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5
4 D(cid:19)eterminants 27
4.1 Formes m-lin(cid:19)eaires altern(cid:19)ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 D(cid:19)eterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2.1 D(cid:19)e(cid:12)nition et propri(cid:19)et(cid:19)es admises . . . . . . . . . . . . . 28
4.3 Le th(cid:19)eor(cid:18)eme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4 Calcul pratique du d(cid:19)eterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5 Diagonalisation des matrices et des endomorphismes 31
5.1 Valeurs propres et vecteurs propres d’un endomorphisme . . . 31
5.2 Valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice . . . . . . . 32
5.3 Endomorphismes et matrices diagonalisables . . . . . . . . . . 33
5.3.1 Endomorphismes diagonalisables . . . . . . . . . . . . 33
5.3.2 Matrices diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.4 Polyno^me caract(cid:19)eristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.4.1 Le polyno^me caract(cid:19)eristique . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.4.2 Multiplicit(cid:19)e g(cid:19)eom(cid:19)etrique et multiplicit(cid:19)e alg(cid:19)ebrique des
valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.5 Calcul des puissances d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . 36
6
Chapitre 1
Espaces vectoriels
On traite dans ce qui suit le cas r(cid:19)eel, le cas complexe se traitant de mani(cid:18)ere
similaire.
1.1 Espaces vectoriels
D(cid:19)e(cid:12)nition 1.1 Un espace vectoriel sur R est un triplet (E;+;:) ou(cid:18)
{ E est un ensemble,
{ \+" une loi de composition interne : E (cid:2)E ! E telle que
((cid:19)el(cid:19)ement neutre) 90 2 E avec 8x 2 E; x+0 = 0 +x = x
E E E
(oppos(cid:19)e) 8x 2 E; 9((cid:0)x) 2 E avec x+((cid:0)x) = ((cid:0)x)+x = 0
E
(associativit(cid:19)e) 8(x;y;z) 2 E3; x+(y+z) = (x+y)+z
(commutativit(cid:19)e) 8(x;y) 2 E2; x+y = y+x
{ \." est une loi externe : R(cid:2)E ! E telle que : 8((cid:21);(cid:22)) 2 R2; 8(x;y) 2
E2,
i) 1:x = x
ii) (cid:21):(x+y) = (cid:21):x+(cid:21):y
iii) (cid:21):((cid:22):x) = ((cid:21)(cid:22)):x
iv) ((cid:21)+(cid:22)):x = (cid:21):x+(cid:22):x
Les espaces vectoriels complexes, ou C-espaces vectoriels, sont d(cid:19)e(cid:12)nis de
fac(cid:24)on analogue, en remplac(cid:24)ant R par C.
Il faut conna^(cid:16)tre les exemples suivants
1. R2, R3 et plus g(cid:19)en(cid:19)eralement Rn sont des espaces vectoriels r(cid:19)eels.
2. Soit A un ensemble et (E;+;:) un R-espace vectoriel; l’ensemble des
applications de A dans E est un espace vectoriel sur R.
3. Si E et E sont deux R- espaces vectoriels, E (cid:2) E muni des lois
1 2 1 2
\produit" est encore un espace vectoriel.
7
4. (R[X];+;:) est un espace vectoriel r(cid:19)eel et (C[X];+;:) est un C-espace
vectoriel.
1.2 Sous-espaces vectoriels
D(cid:19)e(cid:12)nition 1.2 Sous-espace Vectoriel S.E.V.
0 2 F
F est un S.E.V de E ,
(cid:26) 8(x;y) 2 F2; 8((cid:21);(cid:22)) 2 R2; (cid:21)x+(cid:22)y 2 F
Remarque :
- pour la seconde propri(cid:19)et(cid:19)e, on peut se contenter de v(cid:19)eri(cid:12)er que
8(x;y) 2 F2; 8(cid:21) 2 R; (cid:21)x+y 2 F
ou encore que
8(x;y) 2 F2; 8(cid:22) 2 R; x+(cid:22)y 2 F :
Remarquonsqu’uneintersectiondes.e.v.estencoreuns.e.v.((cid:19)evidemment
une telle intersection est non vide puisqu’elle contient le vecteur nul).
D(cid:19)e(cid:12)nition 1.3 On appelle sous-espace vectoriel engendr(cid:19)e par une
partie A non vide de E le plus petit S.E.V. de E contenant A. On le note
Vect(A). On montre que
k
Vect(A) = fx 2 E j x = (cid:21) a ; (cid:21) 2 R; a 2 Ag
i i i i
Xi=1
Tout sous-espace vectoriel de E contenant A contient (cid:19)egalement Vect(A).
1.3 Bases d’un espace vectoriel
D(cid:19)e(cid:12)nition 1.4 OnditqueG,famillenonvidedeE,estunefamille g(cid:19)en(cid:19)eratrice
de E si et seulement si E = Vect(G), c’est-a(cid:18)-dire si tout (cid:19)el(cid:19)ement de E est
combinaison lin(cid:19)eaire ((cid:12)nie) d’(cid:19)el(cid:19)ements de G.
8x 2 E; 9((cid:21) ;:::;(cid:21) ) 2 Rp; 9(g ;:::;g ) 2 Gp
1 p 1 p
p
G famille g(cid:19)en(cid:19)eratrice de E , 8
> avec x = (cid:21) g :
< i i
Xi=1
>
:
8
D(cid:19)e(cid:12)nition 1.5 { On dit que L, famille non vide de E, est une famille
libre de E si et seulement si
8p 2 N(cid:3); 8(x ;:::;x ) 2 Lp, 2 a(cid:18) 2 distincts 8((cid:21) ;:::;(cid:21) ) 2 Rp;
1 p 1 p
si p (cid:21) x = 0; alors (cid:21) = (cid:1)(cid:1)(cid:1) = (cid:21) = 0 :
i=1 i i 1 p
P
{ Si L, famille non vide de E, n’est pas libre, on dit que L est li(cid:19)ee.
{ On dit que B, famille non vide de E, est une base de E si et seulement
si B est libre et g(cid:19)en(cid:19)eratrice.
Propri(cid:19)et(cid:19)e 1.1 1. Toute partie contenant une partie g(cid:19)en(cid:19)eratrice de E est
encore une partie g(cid:19)en(cid:19)eratrice.
2. Toute partie contenue dans une partie libre est libre.
3. Toute partie de E contenant le vecteur nul de E est li(cid:19)ee.
4. Toute partie r(cid:19)eduite a(cid:18) un vecteur non nul est une partie libre.
On a la caract(cid:19)erisation suivante des bases :
Proposition 1.1 Soit E un espace vectoriel et L une famille non vide de
E, on a les (cid:19)equivalences :
{ L est une base de E,
{ L est une famille libre maximale,
{ L est une famille g(cid:19)en(cid:19)eratrice minimale.
D(cid:19)e(cid:12)nition 1.6 On dit que E est un espace vectoriel de dimension (cid:12)nie
si et seulement si E admet une partie g(cid:19)en(cid:19)eratricede cardinal (cid:12)ni (c’est-a(cid:18)-dire
contenant un nombre (cid:12)ni d’(cid:19)el(cid:19)ements).
L’important r(cid:19)esultat suivant implique en particulier l’existence de bases
(en dimension quelconque).
Th(cid:19)eor(cid:18)eme 1.1 Th(cid:19)eor(cid:18)eme de la base incompl(cid:18)ete : Tout espace vectoriel
E admet une base. Plus pr(cid:19)ecis(cid:19)ement, si G est une partie g(cid:19)en(cid:19)eratrice de E et
L une partie libre de E (ou si L = ;), il existe alors une base B de E telle
que L (cid:26) B (cid:26) L[G.
Soit E un espace vectoriel sur R de dimension (cid:12)nie et B une base de E
de cardinal n.
9
Propri(cid:19)et(cid:19)e 1.2 1. Toute autre base de E contient exactement n (cid:19)el(cid:19)ements.
On dit que E est de dimension n et on note : dimE = n. Par conven-
tion, on pose dim(f0g) = 0.
2. Toute partie libre contient au plus n (cid:19)el(cid:19)ements.
3. Toute partie g(cid:19)en(cid:19)eratrice contient au moins n (cid:19)el(cid:19)ements.
4. Toute partie libre (respectivement g(cid:19)en(cid:19)eratrice) de n (cid:19)el(cid:19)ements est une
base.
Bien noter que le point 4) donne une caract(cid:19)erisation utile en pratique des
bases en dimension (cid:12)nie.
Propri(cid:19)et(cid:19)e 1.3 Propri(cid:19)et(cid:19)e fondamentale : Soit B = fe ;:::;e g une
1 n
base de E. Tout (cid:19)el(cid:19)ement x de E s’(cid:19)ecrit de fac(cid:24)on unique comme combinaison
lin(cid:19)eaire des e :
i
n
x = (cid:21) e :
i i
Xi=1
Les scalaires (cid:21) s’appellent coordonn(cid:19)ees de x dans la base B.
i
Proposition 1.2 Si E est un espace vectoriel de dimension (cid:12)nie n sur R et
F un S.E.V. de E , alors F est de dimension (cid:12)nie et dim(F) (cid:20) dim(E).
Si de plus dim(F) = dim(E), alors F = E.
D(cid:19)e(cid:12)nition 1.7 Soit S = fu ;:::;u g un syst(cid:18)eme de p vecteurs de E espace
1 p
vectoriel sur R. On appelle rang de S la dimension du sous-espace vectoriel
engendr(cid:19)e par S :
rang(S) = dimVect(S)
Propri(cid:19)et(cid:19)e 1.4 1. rang(S) (cid:20) p.
2. rang(S) = p si et seulement si S est libre.
3. LerangdeS estlenombremaximumdevecteurslin(cid:19)eairementind(cid:19)ependants
que l’on peut extraire de S.
4. si E est de dimension (cid:12)nie n, alors rang(S) (cid:20) n.
5. si E est de dimension (cid:12)nie n, alors rang(S) = n , S est une famille
g(cid:19)en(cid:19)eratrice.
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