Algèbre 1 [Lecture notes]

309 Pages·2016·4.65 MB·French

by  Olivier Debarre

ALGÈBRE 1
6janvier2016
ALGÈBRE 1

TABLE DES MATIÈRES
I.Groupes...................................................................... 7
1.Généralitéssurlesgroupes.................................................. 7
2.Groupesopérantsurunensemble........................................... 16
3.Groupesabéliensdetypefini................................................ 26
4.LegroupeGL (Z)........................................................... 34
n
5.Groupessimplesetsuitesdecomposition.................................... 35
6.Groupesrésolubles......................................................... 41
7.Groupesnilpotents......................................................... 45
8.Croissancedesgroupesdetypefini.......................................... 47
II.Groupesclassiques........................................................... 51
1.Préliminairessurlescorps................................................... 51
2.Legroupelinéaire.......................................................... 53
3.Formesbilinéairesetquadratiques........................................... 61
4.Orthogonalité.............................................................. 64
5.ThéorèmedeWitt........................................................... 70
6.GroupedeWitt............................................................. 73
7.Groupesymplectique....................................................... 75
8.Groupeorthogonal......................................................... 80
9.Formessesquilinéairesethermitiennes...................................... 89
10.Groupeunitaire........................................................... 90
11.Quaternions............................................................... 94
III.Algèbretensorielle........................................................... 99
1.Produittensoriel............................................................ 99
2.Algèbretensorielle..........................................................104
3.Algèbreextérieure..........................................................108
4.Pfaffien....................................................................114
5.Algèbresymétrique.........................................................117
6.AlgèbredeCliffordetgroupespinoriel........................................120
6 TABLEDESMATIÈRES
IV.Représentationsdesgroupes..................................................127
1.Représentations............................................................127
2.Caractères..................................................................133
3.Propriétésd’intégralité......................................................147
CHAPITRE I
GROUPES
1. Généralitéssurlesgroupes
1.1. Définition. — Ungroupeestladonnéed’unensembleGmunid’uneloidecompo-
sition
G×G → G
(g ,g ) (cid:55)→ g g
1 2 1 2
etd’unélémentneutree∈Gsatisfaisantlespropriétéssuivantes
1° associativité:pourtousg ,g ,g dansG,ona
1 2 3
(g g )g =g (g g );
1 2 3 1 2 3
2° élémentneutre(nécessairementunique)
∀g∈G ge=eg=g ;
3° inverse:chaqueélémentg deGadmetuninverse(nécessairementunique),c’est-
à-direunélémentg−1deGtelque
gg−1=g−1g=e.
Onnoteaussisouvent1l’élémentneutre.Pourtoutélémentg d’ungroupeG,ettout
n∈Z,onnote

nfois
 (cid:122)g·(cid:125)·(cid:124)·g(cid:123) sin>0;
gn= e sin=0;
 (cid:122)g−−1n·(cid:125)·f(cid:124)o·gis−1(cid:123) sin<0.
Sim,n∈Z,onaalorslaformulehabituelle
gm+n=gmgn.
On dit que G est abélien (ou commutatif) si, pour tous g ,g ∈G, on a g g =g g .
1 2 1 2 2 1
Danscecas,onnotegénéralementlaloidecompositionadditivement(g +g ),l’élément
1 2
neutre0,etl’inversedeg estappelél’opposé,noté−g.
8 CHAPITREI.GROUPES
OnditquelegroupeGestfinisic’estunensemblefini.Onappellealorssoncardinal
sonordre,noté|G|.
SiGetG(cid:48) sontdesgroupes,onpeutformerungroupeG×G(cid:48) appeléproduitdirecten
munissantl’ensembleproduitdelaloidecomposition(g ,g(cid:48))(g ,g(cid:48))=(g g ,g(cid:48)g(cid:48)).
1 1 2 2 1 2 1 2
Exemples1.1. — 1°Lapaire(Z,+)estungroupeabélien.
2°SiKestuncorps(1)(commeQ,RouC),(K,+)et(K×,×)sontdesgroupesabéliens;
plusgénéralement,pourunanneauA,onalegroupeabélien(A,+)etlegroupemultipli-
catif(A×,×)desunitésdeA(lesélémentsdeAinversiblesdansA).
3°Pourtoutentiern∈N∗,lapaire(Z/nZ,+)estungroupefinid’ordren.Cesgroupes
sontditscycliques.
4°SiXestunensemble,l’ensembleBij(X)desbijectionsdeXdansX,munidelacom-
positiondesapplications,estungroupe.Enparticulier,legroupesymétriqueS desbi-
n
jectionsdel’ensemble{1,...,n}estungroupefinid’ordren!,nonabélienpourn(cid:202)3.
5°SiKestuncorps,lesmatricesn×ninversiblesàcoefficientsdansKformentlegroupe
générallinéaireGL (K).SiEestunK-espacevectoriel,lesapplicationslinéairesbijectives
n
deEdansEformentungroupeGL(E);siEestdedimensionfinien,lechoixd’unebasede
EfournitunisomorphismeentreGL(E)etGL (K).LesapplicationsaffinesbijectivesdeE
n
dansE(c’est-à-direlesapplicationsdutypex(cid:55)→u(x)+b,avecu∈GL(E)etb∈E)forment
aussiungroupe,legroupegénéralaffine,notéGA(E).
6°Plusgénéralement,siAestunanneaucommutatif,onpeutformerlegroupeGL (A)
n
desmatricesinversiblesd’ordrenàcoefficientsdansA:ils’agitexactementdesmatrices
dontledéterminantestdansA×(2).Parexemple,legroupeGL (Z)estconstituédesma-
n
tricesn×nàcoefficientsentiersdedéterminant±1.
Exercice1.2. — SoitGungroupetelqueg2=epourtoutg∈G.MontrerqueGestabélien.
Exercice1.3. — MontrerqueGLn(Q)estdensedansGLn(R).
1.2. Sous-groupes, générateurs. — Une partie H d’un groupe G est appelée un sous-
groupe(onnoteH≤G,etH<GsideplusH(cid:54)=G)silaloidecompositiondeGserestreint
àHetenfaitungroupe,cequiestéquivalentauxpropriétéssuivantes:
1° e∈H;
2° pourtoush ,h ∈H,onah h ∈H;
1 2 1 2
3° pourtouth∈H,onah−1∈H.
Exemples1.4. — 1° L’intersection d’une famille quelconque de sous-groupes d’un
groupeGestunsous-groupedeG.
2°Lessous-groupesdeZsontlesnZpourn∈N.
1. Danscesnotes,uncorpsesttoujourscommutatif,saufmentionexpresseducontraire.
2. SiunematriceMadmetuninverseM−1àcoefficientsdansA,onobtient,enprenantlesdérteminants
danslaformuleM·M−1=In,larelationde´t(M)de´t(M−1)=1,quientraînequede´t(M)estinversibledansA.
Inversement,side´t(M)estinversibledansA,laformuleM·tcom(A)=de´t(M)InentraînequeMadmetuninverse
àcoefficientsdansA.
1.GÉNÉRALITÉSSURLESGROUPES 9
3°LegroupeO (R)desmatricesMdetaillen×nréellesorthogonales(c’est-à-direqui
n
satisfonttMM=I )estunsous-groupedugroupeGL (R).
n n
4°Soitn unentier(cid:202)2.LegroupediédralD destransformationsorthogonalesdeR2
n
préservantlessommetsd’unpolygonerégulieràn côtéscentréàl’origineestunsous-
grouped’ordre2n deO (R):sir estlarotationd’angle 2π ets lasymétrieparrapportà
2 n
unedroitepassantparl’undessommets,ona
D ={Id,r,...,rn−1,s,rs,...,rn−1s},
n
avecrsrs=Id.OnpeutvoiraussiD commeunsous-groupedugroupeS ,puisqueses
n n
élémentspermutentlesnsommetsdupolygone.
5°Lecentre
Z(G)={h∈G|∀g∈G gh=hg}
d’ungroupeGestunsous-groupedeG.LegroupeGestabéliensietseulementsiZ(G)=G.
Parexemple,lecentredeGL (K)estconstituédeshomothéties.
n
Exercice1.5. — QuelestlecentredugroupeDn?
Exercice1.6. — QuelestlecentredugroupeSn?
Proposition1.7. — SoitAunepartied’ungroupeG.Ilexisteunpluspetitsous-groupede
GcontenantA.Onl’appellesous-groupeengendréparAetonlenote〈A〉.
Démonstration. — Ilyadeuxconstructionséquivalentes.Lapremièreconsisteàdéfinir
〈A〉commel’intersectiondetouslessous-groupesdeGcontenantA(utiliserl’ex.1.4.1°).
Lasecondeconstructionconsisteenladescriptionexplicite:
〈A〉={xε1xε2···xεn |n∈N, x ∈A, ε ∈{1,−1}}.
1 2 n i i
UnepartieAdeGestunepartiegénératricedeG,ouengendreG,ouestunensemblede
générateursdeG,si〈A〉=G.OnditqueGestdetypefinis’iladmetunepartiegénératrice
finie.Toutgroupefiniestbiensûrdetypefini.
Attention:unsous-grouped’ungroupedetypefinin’estpasnécessairementdetype
fini(cf.exerc.1.11)!
Exemples1.8. — 1°Soitn∈N∗.LegroupeZ/nZestengendréparlaclassedetoutentier
premieràn.
2°VoicitroisensemblesdegénérateurspourlegroupesymétriqueS :
n
– touteslestranspositions;
– lestranspositions(12),(23),...,((n−1)n);
– latransposition(12)etlecycle(12···n).
3°Aveclesnotationsprécédentes,legroupediédralD estengendréparlarotationr et
n
lasymétries.
Exercice1.9. — Montrerqu’ungroupedetypefiniestdénombrable.
Exercice1.10. — Montrerquelegroupe(Q,+)n’estpasdetypefini.
10 CHAPITREI.GROUPES
Exercice1.11. — SoitGlesous-groupe(detypefini)deGL2(Q)engendréparlesmatrices
(cid:181) (cid:182) (cid:181) (cid:182)
2 0 1 1
et .Montrerquelesous-groupedeGquiconsisteenlesélémentsdeGdontles
0 1 0 1
coefficientsdiagonauxsonttouslesdeuxégauxà1n’estpasdetypefini(3).
1.3. Morphismes(degroupes). — Unmorphismedegroupesestladonnéed’uneappli-
cation f :G→G(cid:48)entregroupes,satisfaisant
∀g ,g ∈G f(g g )=f(g )f(g ).
1 2 1 2 1 2
Si f estbijective,soninverse f−1estaussiunmorphisme(degroupes)etonditque f est
unisomorphisme.SienoutreG=G(cid:48),onditque f estunautomorphismedeG.
Si f :G→G(cid:48)estunmorphismedegroupes,lenoyauetl’imagede f,
ker(f)={g∈G|f(g)=e} , im(f)={f(g)|g∈G}
(cid:48)
sontdessous-groupesdeGetG respectivement.Plusgénéralement,l’imageinversepar
(cid:48)
f detoutsous-groupedeG estunsous-groupedeG,etl’imageparf detoutsous-groupe
(cid:48)
deGestunsous-groupedeG.
Lemorphismef estinjectifsietseulementsiker(f)={e};ilestsurjectifsietseulement
siim(f)=G(cid:48).
Exemples1.12. — 1° Soit n ∈N. La surjection canonique Z→Z/nZ est un morphisme
surjectif.Sonnoyauestlesous-groupenZdeZ.
2°Lasignatureε:S →{±1}estunmorphismedegroupes,surjectiflorsquen(cid:202)2,dont
n
lenoyauestlegroupealternéA .
n
Ce groupe est engendré par les 3-cycles (abc), car (ab)(ac) = (acb) et (ab)(cd) =
(acb)(acd).
3° L’application exponentielle exp:(C,+)→(C×,×) est un morphisme surjectif. Son
noyauestlesous-groupe2iπZdeC.
4°SoitKuncorps.Ledéterminantde´t:GL (K)→K×estunmorphismesurjectif.Son
n
noyauestlegroupespéciallinéairedesmatricesdedéterminant1;ilestnotéSL (K).
n
5°L’ensembledesautomorphismesd’ungroupeG,munidelaloidecompositiondes
applications,estungroupenotéAut(G).
Sig∈G,l’application
ι :G −→ G
g
x (cid:55)−→ gxg−1
estunautomorphismedeG.UntelautomorphismedeGestappeléautomorphismeinté-
rieurdeGet
ι:G−→Aut(G)
estunmorphismedegroupesdontlenoyauestlecentreZ(G).
3. UnthéorèmedeHigman,NeumannetNeumannditquelessous-groupesdesgroupesdetypefinisont
touslesgroupesdénombrables(dontlaplupartnesontpasdetypefini!).