Algèbre 1

84 Pages·2012·1.04 MB·French

Algèbre 1
Semestred’hiver2012/2013
UniversitéduLuxembourg
GaborWieseetAgnèsDavid
[email protected], [email protected]
Versiondu19décembre2012
Préface
C’estquoi,l’algèbre?Dansl’histoireoncomprendparl’algèbrel’étudedeséquations.Aucoursdes
2000 ans de cette étude, les gens se sont aperçus que certaines structures revenaient très souvent, et
en plus dans des contextes tout à fait différents! Depuis, les algébristes s’occupent aussi de l’étude
et du dévelopement de ces structures, ainsi que, évidemment, de leurs applications dans d’autres
domainesensciences,ingénierieetmathématiques.Lecoursd’algèbre1seradédiéàuneintroduction
aux structures algébriques fondamentales : les groupes, les anneaux, les corps, ainsi qu’aux espaces
vectoriels(d’unpointdevueplusgénéralquedanslecoursd’algèbrelinéaire).Cesstructuresseront
illustréespardesexemplesetparfoisdesapplications.Lesrèglesetlesméthodeslesplusimportantes
concernantlesdémonstrationsmathématiquesserontenseignéesetpratiquées.
En algèbre 2, nous allons approfondir la théorie des anneaux et nous allons traiter quelques complé-
ments au cours d’algèbre linéaire. En algèbre 3 le cours culminera en la théorie de Galois qui nous
permettra de démontrer la constructibilité ou inconstructibilité à la règle et au compas de certains
problèmes de l’antiquité et l’impossibilité de résoudre l’équation générale de degré au moins 5 par
radicaux.
Littérature
Voiciquelquesréférences:
– Lelong-Ferrand, Arnaudiès. Cours de mathématiques, Tome 1, Algèbre. Dunod. Ce livre est très
completettrèsdétailé.Onpeutl’utilisercommeouvragederéférence.
– SiegfriedBosch:Algebra(enallemand),Springer-Verlag.Celivreesttrèscompletetbienlisible.
– Serge Lang : Algebra (en anglais), Springer-Verlag. C’est comme une encyclopédie de l’algèbre;
onytrouvebeaucoupdesujetsrassemblés,écritsdefaçonconcise.
1
1 PREMIERSMOTSDULANGAGEMATHÉMATIQUE 2
1 Premiers mots du langage mathématique
Lelangagemathématiqueestdifférentdulangageduquotidienpar
– saprécision:touttermeaunedéfinitionprécise;
– sonformalisme:souventonutilisedessymbolesetdesformules.
L’implication⇒
Nous introduisons le symbole ⇒ pour les implications. Il se lit comme : «implique», «alors», «en
conséquence»,«donc»,«estsuffisantpour»etc.
(1) S’ilpleut,larueestmouillée.
(2) Ilsuffitqu’ilpleuvepourquelaruesoitmouillée.
(3) Jeréussisl’examen.DoncjereçoislespointsECTS.
(4) Sionax = 1,alors2x = 2.
(5) Sionax = 1,alorsx2 = 1.
Nousformalisonscesphrasesmaintenant;nousnousintéressonsseulementàlarelationentrelesdeux
parties de la phrases (il nous est égal s’il pleut actuellement ou non; on s’intéresse uniquement aux
implications):
(1) Ilpleut.⇒Larueestmouillée.
(2) Ilpleut.⇒Larueestmouillée.
(3) Jeréussisl’examen.⇒JereçoismespointsECTS.
(4) x = 1 ⇒ 2x = 2
(5) x = 1 ⇒ x2 = 1
Parfois il est utile de formaliser encore un peu plus. On appelle une phrase comme «Il pleut.» ou
«x = 2»uneassertion.Uneassertionestvraieoufausse.1
SiAetB sontdesassertions,l’implication⇒estuneassertiondelaforme
A ⇒ B,
quisignifie:siAestvraie,alorsB estvraie.Elleneditpas(!!)queAestvraie!
L’implication⇐
Lesymbole⇐alamêmesignificationque⇒,saufquelescôtéssontinversés.
(1) Larueestmouillées’ilpleut.
(2) Pourquelaruesoitmouillée,ilsuffitqu’ilpleuve.
(3) JereçoislespointsECTSsijeréussisl’examen.
(4) Ona2x = 2,six = 1.
(5) Onax2 = 1,six = 1.
1Ilyadessubtilitésaveccettephrasequenousn’évoqueronspascarvousnelesrencontrerezdansaucuncoursdevos
études,saufsivoussuivezuncoursdelogiquemathématique.
1 PREMIERSMOTSDULANGAGEMATHÉMATIQUE 3
Laformalisationestainsi:
(1) Larueestmouillée.⇐Ilpleut.
(2) Larueestmouillée.⇐Ilpleut.
(3) JereçoislespointsECTS.⇐Jeréussisl’examen.
(4) 2x = 2 ⇐ x = 1
(5) x2 = 1 ⇐ x = 1
SiAetB sontdesassertions,l’implication⇐estuneassertiondelaforme
A ⇐ B,
quisignifie:siB estvraie,alorsAestvraie.Elleneditpas(!!)queB estvraie!
L’équivalence⇔
Le symbole ⇔ indique l’équivalence; il se dit «est équivalent à», «si et seulement si», etc. Il est
employésilesdeuximplications⇒et⇐sontvraiesenmêmetemps.
(1) JereçoislespointsECTSsietseulementsijeréussisl’examen.
(2) Ona2x = 2,sietseulementsix = 1.(Onsupposeiciquexestunnombreréel.)
(3) On a x2 = 1, si et seulement si x = 1 ou x = −1. (On suppose ici que x est un
nombreréel.)
Discutons d’abord pourquoi il n’y a pas d’exemple avec une rue mouillée : L’assertion : «La rue est
mouillée. ⇒ Il pleut.» est fausse (car quelqu’un pourrait nettoyer sa voiture)! Alors, il ne s’agit pas
d’uneéquivalence.Aussil’assertion:«x2 = 1 ⇔ x = 1»estfausse,carl’assertion«x2 = 1 ⇒ x =
1»estfausse,parcequex = −1estuneautresolution.
Voici,laformalisation:
(1) JereçoislespointsECTS.⇔Jeréussisl’examen.
(2) 2x = 2 ⇔ x = 1
(3) x2 = 1 ⇔ (x = 1oux = −1)
SiAetB sontdesassertions,l’équivalence⇔estuneassertiondelaforme
A ⇔ B,
quisignifie:Aestvraie,sietseulementsiB estvraie.
Faitesbienattentionlequeldessymboles⇒,⇐,⇔utiliser.
C’estunegrandesourced’erreuraudébut.
1 PREMIERSMOTSDULANGAGEMATHÉMATIQUE 4
Laconjonction«et»(symbole:∧)
«Et» en mathématiques a la même signification qu’au quotidien : Si A et B sont des assertions,
l’assertionAetB etvraiesietseulementsiAetB sontvraies.
Introduisonsmaintenantleformalisme(facile!)destablesdevérité(v=vraie,f=fausse):
A B AetB Explication
v v v SiAestvraieetB estvraie,alors(AetB)estvraie.
v f f SiAestvraieetB estfausse,alors(AetB)estfausse.
f v f SiAestfausseetB estvraie,alors(AetB)estfausse.
f f f SiAestfausseetB estfausse,alors(AetB)estfausse.
(1) Pestétudiant(e)dececoursetPhabiteàLuxembourg.
(2) x2 = 1etx > 0
Regardons(2)deplusprès.SoitAl’assertion«x2 = 1»etB l’assertion«x > 0».
– x = 1:c’estlecasdelarangée1;alors,l’assertionestvraie.
– x = −1:c’estlecasdelarangée2;alors,l’assertionestfausse.
– x 6= 1etx > 0:c’estlecasdelarangée3;alors,l’assertionestfausse.
– x 6= −1etx ≤ 0:c’estlecasdelarangée4;alors,l’assertionestfausse.
Ladisjonction«ou»(symbole:∨)
«Ou» en mathématiques a la signification suivante : si A et B sont des assertions, alors l’assertion
«A ou B» est vraie si au moins une des assertions A et B est vraie (en particulier, si les deux sont
vraies,alors«AouB»estvraie).
Voici,latabledevéritéquiexprimecefait:
A B AouB
v v v
v f v
f v v
f f f
(1) Pestétudiant(e)dececoursouPhabiteàLuxembourg.
(2) x2 = 1oux > 0
Regardons(2)deplusprès.SoitAl’assertion«x2 = 1»etB l’assertion«x > 0».
– x = 1:c’estlecasdelarangée1;alors,l’assertionestvraie.
– x = −1:c’estlecasdelarangée2;alors,l’assertionestvraie.
– x 6= 1etx > 0:c’estlecasdelarangée3;alors,l’assertionestvraie.
– x 6= −1etx ≤ 0:c’estlecasdelarangée4;alors,l’assertionestfausse.
Notezque«ou»auquotidienestsouventutilisédemanièreexclusive:«Voulezvousducaféoudu
thé?»;«Allez-vousàdroiteouàgauche?».C’estsoitl’un,soitl’autre.Pasenmaths:SiAetBsont
vraies,alorsl’assertion(AouB)estvraie.Mais,aussiauquotidienonpeututiliser«ou»commeen
1 PREMIERSMOTSDULANGAGEMATHÉMATIQUE 5
maths:«Sic’estvotreanniversaireousivousréussissezl’examen,jevousfélicite.»Jevousfélicite
mêmesivousréussissezvotreexamenlejourdevotreanniversaire.
L’existence∃
Voiciquelquesexemplesd’assertionsvraies:
(1) Ilyaunétudiantdanscettesalle.
(2) Ilexisteunx ∈ Qtelque2x = 2.
(3) Ilexisteunetunseulx ∈ Qtelque2x = 2.
(4) Ilexisteunx ∈ Qtelquex2 = 1.
(5) Ilexisteunetunseulx ∈ Qtelquex2 = 1etx > 0.
«Ilexiste»veutdire:ilexisteaumoinsun.Ilpeutyenavoirplusqu’un.Souventonutiliselesymbole
∃ pour «il existe». S’il existe un, mais pas deux ou encore plus, alors on dit que «il existe un et un
seul»ou«ilexisteununique».Danscecasonécritsouvent∃!.
Aveccessymboleslesexemplesdeviennent:
(1) ∃étudiantdanscettesalle.
(2) ∃x ∈ Qt.q.2x = 2.
(3) ∃!x ∈ Qt.q.2x = 2.
(4) ∃x ∈ Qt.q.x2 = 1.
(5) ∃!x ∈ Qt.q.x2 = 1etx > 0.
Onremplacesouventle«t.q.»pardeuxpoints«:».
Pourtout∀
Voiciquelquesexemplesd’assertionsvraies:
(1) Touslesétudiantsdanscettesalleétudientàl’UniversitéduLuxembourg.
(2) Pourtoutx ∈ Qonax2 ≥ 0.
(3) Pourtoutn ∈ Nona1+2+3+···+n = n(n+1).
2
Onutiliselesymbole∀pour«pourtout».Voici,lesexemplesdefaçonplusformels:
(1) ∀étudiantdanscettesalle:ilétudieàl’UniversitéduLuxembourg.
(2) ∀x ∈ Q : x2 ≥ 0.
(3) ∀n ∈ N : 1+2+3+···+n = n(n+1).
2
Lanégation(symbole:¬)
Si A est une assertion, nous écrivons «(non A)» pour sa négation. La table de vérité de la négation
esttriviale:
1 PREMIERSMOTSDULANGAGEMATHÉMATIQUE 6
A nonA
v f
f v
Voici,desexemplesdenégations:
(1) Ilpleut.
Négation:Ilnepleutpas.
(2) x = 1
Négation:x 6= 1
(3) Ilestluxembourgeoisetilétudieàl’UniversitéduLuxembourg.
Négation:Iln’estpasluxembourgeoisouiln’étudiepasàl’UniversitéduLuxem-
bourg.
(4) x2 = 1etx > 0
Négation:x2 6= 1oux ≤ 0
(5) Touslesétudiantsontlescheveuxblonds.
Négation:Ilexisteunétudiantquin’apaslescheveuxblonds.
(6) Ilexistextelquef(x) = 0.
Négation:Pourtoutx:f(x) 6= 0.
Dans les exemples (3) et (4) nous avons vu que «et» et «ou» sont à échanger lors de la négation.
Démontronscefaitparlatabledevérité:
A B AetB non(AetB) nonA nonB (nonA)ou(nonB)
v v v f f f f
v f f v f v v
f v f v v f v
f f f v v v v
Sionfaitlanégationd’uneassertion,ilfautéchanger∀et∃,etilfautéchanger«et»et«ou».
Lacontraposée
SoientAetB deuxassertions.Alors,l’assertion(A ⇒ B)estvraie,sietseulementsi(nonA ⇐non
B)estvraie.Onappellel’assertion(nonA ⇐nonB)lacontraposéede(A ⇒ B).
(1) Ilpleut.⇒Larueestmouillée.
Formulationéquivalente:Ilnepleutpas.⇐Laruen’estpasmouillée.
(2) P estunpointsurlecerclederayonr etdecentreC.⇒LadistanceentreP estC
estégaleàr.
Formulation équivalente : P n’est pas un point sur le cercle de rayon r et de
centreC.⇐LadistanceentreP estC estdifférenteder.
(3) x = 1 ⇒ x2 = 1
Formulationéquivalente:x 6= 1⇐x2 6= 1
2 ENSEMBLESETFONCTIONS 7
(4) x2 = 1etx > 0⇔x = 1
Formulationéquivalente:(x2 6= 1oux ≤ 0)⇔x 6= 1
Latabledevéritédel’implication
Onvoudraitmentionnerlatabledevéritédel’assertion(A ⇒ B).
A B A ⇒ B
v v v
v f f
f v v
f f v
Cette table doit être comprise comme une définition du symbole «⇒». Voici, une explication pour-
quoionfaitcettedéfinition.SupposonsqueA ⇒ B estvraie.Alors:
– SiAestvraie,B estvraieaussi.Ceciexprime«l’implication».
– SiAestfausse,onnepeutriendiresurB :B peutêtrevraieoufausse.
En fait, si on exige ces deux propriétés, la table de vérité de A ⇒ B ne peut être que celle en
haut,commeonlevérifiedirectement.Ilpeutapparaîtrecontre-intuitifquelesdernièresdeuxlignes
expriment:«D’unefausseassertionAonpeutconclurequetouteassertionB estvraieetqu’elleest
fausse.»
Remarquonsquelatabledevéritéde(A ⇒ B)estlamêmequecelledel’assertion((nonA)ouB).
Démontrezcommeexercicequelatabledevéritédel’assertion(A ⇒ B)estaussilamêmequecelle
delacontraposée((nonA)⇐(nonB)).
2 Ensembles et fonctions
Ensembles
Nousutilisonslanotiond’ensembledeGeorgCantor:2
Par ensemble, nous entendons toute collection M d’objets m de notre intuition ou de
notrepensée,définisetdistincts,cesobjetsétantappeléslesélémentsdeM.
Interprétation:
– Objet:«objetmathématique».
– Collection:l’ensembleseraunnouvelobjetmathématique.
– définis:lesobjetsdoiventêtreclairementdéfinis
– distincts:ildoitêtreclairsideuxobjetsontégauxoudistincts.
Onpeutdécriredesexemplesenécrivantseséléments.Parexemple:
– A = {A,B,C,D,...,X,Y,Z},l’alphabet.
– Z = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} = {4,2,3,9,0,7,6,8,1,5},l’ensembledeschiffres.Notezpourla
dernièreégalitéqu’unensemblenedépendpasdel’ordredanslequelonécritseséléments.
2Ilyadessubtilitésaveclesensemblesquevousn’allezpasrencontrerpendantvosétudes(saufdansuncoursdelogique
mathématique).Parexemple,lacollectiondetouslesensemblesn’estpasunensemble.
2 ENSEMBLESETFONCTIONS 8
Nousallonsaussiutiliserlesensemblessuivantsquevousconnaissezdéjàdel’école,maisquiseront
introduitsdemanièreprécisedanscecours(bientôt)etenAnalyse.
– N = {0,1,2,3,...},lesnombresnaturels.
– Z = {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...},lesnombresentiers.
– Q,lesnombresrationnels.
– R,lesnombresréels.
Onpeutaussidéfinirdesensemblespardespropriétés.Parexemple:
– X = { xy | x ∈ Z,y ∈ Z} = {00,01,02,03,...,99}.
éléments propriétés
– E = {P | P estétudiant(e)dececours},l’ensembledesétudiantsdececours.
|{z} | {z }
– L = {P | P estun/uneLuxembourgeois(e)},l’ensembledetouslesLuxembourgeois.
– B = {abc | a ∈ A,b ∈ B,c ∈ C},l’ensembledetouslesmotsentroislettres.
– G = {n | n ∈ N,nestpair},l’ensembledesnombresnaturelspairs.
– Soienta,b ∈ R.L’ensemble
[a,b] := {x | x ∈ R,a ≤ x ≤ b}
est appelé l’intervalle fermé entre a et b. (Pour les intervalles ouverts (semi-ouverts) on utilise la
notation]a,b[(]a,b]).)
Nousutiliseronslesnotationssuivantes:
– ∅pourl’ensemblevide.
– ∈pourindiquerl’appartenanced’unélémentàunensemble.
– 6∈pourindiquerqu’unélémentn’appartientpasàunensemble.
– #M pourindiquerlenombred’élémentsd’unensemble.
Parexemple:
– 7 ∈ R
– 7 ∈ [2,10]
– 7 6∈ [8,10]
– A ∈ A(Aestélémentdel’ensembleA,l’alphabet.)
– A 6∈ Z (An’estpasunélémentdel’ensembledeschiffresZ.)
– ABC ∈ B
– Henri∈ L.
– #A = 26
– #Z = 10
Définition2.1. SoientA,B desensembles.
– B estappelésous-ensembledeAsipourtoutb ∈ B onab ∈ A.Notation:B ⊆ A.
– AetB sontappeléségauxsiA ⊆ B etB ⊆ A.Notation:A = B.
– Onappellel’ensemble
A\B := {a | a ∈ A,a 6∈ B}
lecomplémentouladifférencedeB dansA.
– Onappellel’ensemble
A∪B := {a | a ∈ Aoua ∈ B}
2 ENSEMBLESETFONCTIONS 9
laréuniondeAetB.
– Onappellel’ensemble
A∩B := {a | a ∈ Aeta ∈ B}
l’intersectiondeAetB.
.
– SionaA∩B = ∅,onappelleA∪B laréuniondisjointedeAetB.Notation:A∪B ouA⊔B.
– Onappellel’ensemble
A×B = {(a,b) | a ∈ A,b ∈ B}
leproduitcartésiendeAetB.Sesélémentssontaussiappeléscouples.
Parexemple:
– {A,D,Z} ⊆ A.
– {1,2,3,4} ⊆ Z;aussi:{1,2,3,4} ⊆ N.
– G ⊆ N
– [1,2] ⊆ R
– Z \{1,2,3,4} = {0,5,6,7,8,9}.
– {1,2,3,4}\{2,3,4,5} = {1}.
– {1,2,3}\Z = ∅.
– [1,3]\[2,3] = [1,2[.
.
– {1,2}∪{8,9} = {1,2,8,9} = {1,2}∪{8,9}
– {1,2,3}∪{3,4,5} = {1,2,3,4,5}.(Toutélémentn’appartientqu’unefoisàl’ensemble!)
– [1,3]∩[2,4] = [2,3]
– L∩E = {A | Aestluxembourgeoisetétudiantdececours}.
– N×Nestl’ensembledetouslescouples(a,b)aveca,b ∈ N.
– A×Z = {(A,0),(A,1),...,(A,9),(B,0),(B,1),...,(B,9),(C,0),...,(Z,9)}.
Lemme2.2. SoientA,B,C desensembles.Alors,lesassertionssuivantessontvraies:
(a) A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
(b) A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
Démonstration. (a) Nous nous souvenons que deux ensembles sont égaux si l’un est sous-ensemble
del’autreetréciproquement.Nousallonsalorsmontrerlesdeuxinclusions:
(1) A∩(B∪C) ⊆ (A∩B)∪(A∩C)
(2) A∩(B∪C) ⊇ (A∩B)∪(A∩C)
Pardéfinitionde⊆ilfautmontrer:
(1) x ∈ A∩(B∪C)⇒x ∈ (A∩B)∪(A∩C).
(2) x ∈ (A∩B)∪(A∩C)⇒x ∈ A∩(B∪C).
(1)Soitx ∈ A∩(B∪C).
⇒x ∈ Aetx ∈ (B∪C)
⇒x ∈ Aet(x ∈ B oux ∈ C)
⇒(x ∈ Aetx ∈ B)ou(x ∈ Aetx ∈ C)
⇒x ∈ A∩B oux ∈ A∩C
2 ENSEMBLESETFONCTIONS 10
⇒x ∈ (A∩B)∪(A∩C)
Nousavonsdémontré(1).
(2)Soitx ∈ (A∩B)∪(A∩C)
⇒x ∈ A∩B oux ∈ A∩C
⇒(x ∈ Aetx ∈ B)ou(x ∈ Aetx ∈ C)
⇒x ∈ Aet(x ∈ B oux ∈ C)
⇒x ∈ A∩(B∪C).
Nousavonsdémontré(2),etdonc(a).
(b)Aveclamêmeargumentationnousdevonsdémontrer:
(1) x ∈ A∪(B∩C)⇒x ∈ (A∪B)∩(A∪C).
(2) x ∈ (A∪B)∩(A∪C)⇒x ∈ A∪(B∩C).
(1)Soitx ∈ A∪(B∩C)
⇒x ∈ Aoux ∈ (B∩C)
⇒x ∈ Aou(x ∈ B etx ∈ C)
⇒(x ∈ Aoux ∈ B)et(x ∈ Aoux ∈ C)
⇒x ∈ A∪B etx ∈ A∪C
⇒x ∈ (A∪B)∩(A∪C)
Nousavonsdémontré(1).
(2)Soitx ∈ (A∪B)∩(A∪C)
⇒x ∈ A∪B etx ∈ A∪C
⇒(x ∈ Aoux ∈ B)et(x ∈ Aoux ∈ C)
⇒x ∈ Aou(x ∈ B etx ∈ C)
⇒x ∈ Aoux ∈ (B∩C)
⇒x ∈ A∪(B∩C)
Nousavonsdémontré(2),etdonc(b).
Lemme 2.3. Soient E un ensemble, A et B des parties de E et A = E \ A et B = E \ B, les
complémentairedeAetB dansE;ona:
(a) A∩A = ∅etA∪A = E (autrementditA⊔A = E);
(b) E \(E \A) = A;
(c) A ⊆ B ⇔ B ⊆ A;
(d) A∪B = A∩B;
(e) A∩B = A∪B.
Démonstration.
(a) Supposonsparl’absurdequel’intersectionA∩Aestnonvide.SoitalorsxunélémentdansA∩A.
Ona:x ∈ Aetx ∈/ A.Ceciestimpossible,doncA∩Aestvide.
CommeAetAsontdessous-ensemblesdeE,leurunionl’estaussi:onaA∪A ⊆ E.Démontrons
maintenantqueE estinclusdansl’unionA∪A.Pourcela,soitxunélémentdeE.Ona:x ∈ A
oux ∈/ A.CeciprouvequexappartientàA∪A.Ainsi,onaE ⊆ A∪A,etfinalementl’égalité.