Álgebras de semigrupos y aplicaciones

132 Pages·2004·0.8 MB·Spanish

Universidad de Sevilla

Álgebras de semigrupos y aplicaciones

Alberto Vignerón Tenorio

Tesis de Doctorado

Facultad de Matemáticas

Directora: Dra. Dña. Pilar Pisón Casares

2004
(cid:19)
Algebras de Semigrupos y Aplicaciones
Alberto Vigneron Tenorio

5 de octubre de 2004
Quiero expresar mi m(cid:19)as sincero agradecimiento a Dn~a. Pilar
Pis(cid:19)on Casares por su inestimable ayuda y ensen~anzas recibidas a lo
largodelosu(cid:19)ltimosan~os.Sinsuayudaestamemorianoser(cid:19)(cid:16)ahoyuna
realidad.
A mis padres.
(cid:19)
INDICE GENERAL
(cid:19)Indice General I
Introducci(cid:19)on 1
I C(cid:19)alculo de Ideales de Ret(cid:19)(cid:16)culos y Semigrupos 9
I{A. Introducci(cid:19)on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I{B. Ideales de Ret(cid:19)(cid:16)culo e Ideales de Semigrupo . . . . . . . . 10
I{C. Algoritmos Cl(cid:19)asicos de C(cid:19)alculo de I . . . . . . . . . . . 13
L
Teor(cid:19)(cid:16)a de Eliminaci(cid:19)on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
M(cid:19)etodo de Sturmfels-Hosten-Shapiro . . . . . . . . . . . . 17
M(cid:19)etodo de Di Biase-Urbanke . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
I{D. C(cid:19)alculo de Ideales de Semigrupos . . . . . . . . . . . . . 23
Algoritmo Algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Algoritmo Geom(cid:19)etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
I{E. Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
II Sistemas diof(cid:19)anticos: N soluciones 29
(cid:0)
II{A. Introducci(cid:19)on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
II{B. C(cid:19)alculo de la N soluci(cid:19)on general . . . . . . . . . . . . . 31
(cid:0)
Bu(cid:19)squeda Exhaustiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
M(cid:19)etodo de Clausen-Fortenbacher . . . . . . . . . . . . . . 33
Reducci(cid:19)on de nu(cid:19)mero de ecuaciones . . . . . . . . . . . . 34
M(cid:19)etodo de Contejean-Devie . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
N soluci(cid:19)on general mediante el Lema de Dickson . . . . . 36
(cid:0)
II{C. C(cid:19)alculo de una N soluci(cid:19)on particular . . . . . . . . . . . 39
(cid:0)
Lema de Farkas para sistemas homog(cid:19)eneos. . . . . . . . . 40
II I(cid:19)ndice General
Lema de Farkas para sistemas no homog(cid:19)eneos . . . . . . . 44
M(cid:19)etodo usando Bases de Gr(cid:127)obner . . . . . . . . . . . . . . 48
II{D. Sistemas Diof(cid:19)anticos en Congruencias . . . . . . . . . . 49
N soluci(cid:19)on particular mediante ideales de semigrupos . . 51
(cid:0)
N soluci(cid:19)on general mediante el Lema de Dickson . . . . . 53
(cid:0)
II{E. Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
III M(cid:19)odulos de Sicigias 57
III{A. M(cid:19)odulos de Sicigias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
H~i((cid:1)m) (cid:24)= Vi(m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
III{B. 0-M(cid:19)odulo de Sicigias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
III{C. C(cid:19)alculo pr(cid:19)actico de la resoluci(cid:19)on dados los C . . . . . . 67
i
IV C(cid:19)alculo del Primer M(cid:19)odulo de Sicigias 71
IV{A. Conjunto Finito de Chequeo . . . . . . . . . . . . . . . . 71
IV{B. Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
V C(cid:19)alculo de la Resoluci(cid:19)on Libre Minimal 83
V{A. Conjunto Finito de Chequeo . . . . . . . . . . . . . . . . 84
V{B. Cotas de los S grados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
(cid:0)
V{C. Regularidad de una Variedad T(cid:19)orica Proyectiva . . . . . 99
VI Ejemplos 101
VI{A. Ideal de Semigrupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
VI{B. Sistemas Diof(cid:19)anticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
N soluci(cid:19)on Particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
(cid:0)
N soluci(cid:19)on General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
(cid:0)
VI{C. Resoluci(cid:19)on Libre Minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Bibliograf(cid:19)(cid:16)a 119
I(cid:19)NDICE DE CUADROS III
(cid:19)
Indice de cuadros
II.1. Algoritmos II{B.7 + II{C.6 versus II{B.7 + II{D.5 . . . . . . 56
VI.1. (2;0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
HG
VI.2. (2;1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
HG
VI.3. (2;2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
HG
VI.4.Lista de C(cid:27) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
VI.5.Lista de complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
I(cid:19)NDICE DE FIGURAS V
(cid:19)
Indice de (cid:12)guras
IV.1.F hueco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
(cid:0)
IV.2.Homolog(cid:19)(cid:16)a nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
V.1. i triangulaci(cid:19)on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
(cid:0)
V.2. Triangulaci(cid:19)on del Toro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
(cid:19)
INTRODUCCION
Dado S un semigrupo conmutativo, (cid:12)nitamente generado, can-
celativo y con elemento neutro, y dado un cuerpo k; podemos consi-
derar la k (cid:19)algebra asociada al semigrupo, k[S] = km; entendien-
m S
(cid:0) (cid:8) 2
do m como un s(cid:19)(cid:16)mbolo. El producto en esta (cid:19)algebra se de(cid:12)ne como
m m = m+m; es decir, el producto de s(cid:19)(cid:16)mbolos es el s(cid:19)(cid:16)mbolo de la
0 0
(cid:1)
suma.Elestudiodeesta(cid:19)algebratieneungraninter(cid:19)esdentrodelaGeo-
metr(cid:19)(cid:16)a Algebraica por su relaci(cid:19)on con la Geometr(cid:19)(cid:16)a T(cid:19)orica. De hecho,
estudiareste(cid:19)algebraesequivalenteaestudiarlasrelacionesentrelos
generadores de ideales de(cid:12)nidos por variedades monomiales, es de-
cir, variedades a(cid:12)nes parametrizadas por ecuaciones monomiales. En
[STU95]y [CP] aparece un interesante estudio sobre los distintos enfo-
ques que se dan en la actualidad al estudio de las variedades t(cid:19)oricas.
DadosunosgeneradoresdelsemigrupoS; n ;:::;n ;yelanillo
1 r
f g
de polinomios R = k[X ;:::;X ]; de(cid:12)nimos el ideal del semigrupo como
1 r
el nu(cid:19)cleo del mor(cid:12)smo de k (cid:19)algebras dado por
(cid:0)
’ : R k[S]
(cid:0)!
’(X) = n
i i
Esconocido(ver[HER70])queesteidealesbinomialyhomog(cid:19)eneores-
pectodelagraduaci(cid:19)ongrado(X) = n:Existenalgoritmosparacalcular
i i
estos ideales si el semigrupo S es libre de torsi(cid:19)on. Casi todos ellos
emplean bases de Gr(cid:127)obner.
Elcasodelatorsi(cid:19)onfueabordadoporprimeravezen[BCMP98b]
parasemigruposveri(cid:12)candoS ( S) = 0:Last(cid:19)ecnicasutilizadaseneste
\ (cid:0)
art(cid:19)(cid:16)culo se basan en el estudio de ciertos complejos simpliciales que
fueron de(cid:12)nidos por primera vez en [CM91] y cuyos grafos subyacen-
2 Introduccio(cid:19)n
tesaparecenen[ROS91].Estast(cid:19)ecnicassoncomputacionalmentepoco
e(cid:12)cientes, aunque no es la e(cid:12)ciencia lo que se busca con estos m(cid:19)eto-
dos, sino un mejor conocimiento del porqu(cid:19)e de los resultados.
En cualquier caso, con torsi(cid:19)on o no, casi todos ellos solucio-
nan el problema de calcular el ideal recurriendo a introducir nuevas
variables. El problema de aumentar el nu(cid:19)mero de variables es que la
complejidad del c(cid:19)alculo de ideales de semigrupos es simplemente ex-
ponencial en el nu(cid:19)mero de variables (ver [STU91]), con lo cual, usar
algoritmosqueutilicenm(cid:19)asvariablesdelasestrictamentenecesarias,
provocan una gran reducci(cid:19)on en la e(cid:12)ciencia de los m(cid:19)etodos.
Nosotros resolvemos este problema en I{D.2 recurriendo a los
ideales de ret(cid:19)(cid:16)culo:
I :=< Xu Xv : u;v Nr; u v >;
L (cid:0) 2 (cid:0) 2 L
donde es un ret(cid:19)(cid:16)culo. Dado un semigrupo, le asociamos el ret(cid:19)(cid:16)culo
L
dado por las soluciones del sistema

x
1
.
(n1 ::: nr)0 .. 1 = 0:
j j
BB xr CC
B C
@ A
A este ret(cid:19)(cid:16)culo ser(cid:19)a al que le calculemos su ideal asociado. Mediante
este paso, s(cid:19)olo calculamos bases de Gr(cid:127)obner con el nu(cid:19)mero m(cid:19)(cid:16)nimo
posible de variables.
Si el semigrupo de partida, S; veri(cid:12)ca la condici(cid:19)on S ( S) = 0;
\ (cid:0)
podemos enunciar el lema de Nakayama (III{A.1) para m(cid:19)odulos S gra-
(cid:0)
duados,y,porlotanto,podemoshablardelaresoluci(cid:19)onlibreminimal
del (cid:19)algebra k[S] y de sistemas minimales de generadores del i (cid:19)esimo
(cid:0)
m(cid:19)odulo de sicigias del mismo(cid:19)algebra. Para calcular un sistema de ge-
neradores del i (cid:19)esimo m(cid:19)odulo de sicigias, vamos a recurrir a resulta-
(cid:0)
dos que ligan dichos generadores con unos complejos simpliciales de
naturaleza combinatoria asociados a los elementos m S :
2
(cid:1) := F (cid:3)m n S ;
m F
f (cid:26) j (cid:0) 2 g