Algebran Peruskurssi I - Kevät 2014

338 Pages·2015·5.929 MB·Finnish

by  Jyrki Lahtonen

Algebran Peruskurssi I ­ Kevät 2014
Ajankohtaista:
Äänestyksen tilanne tällä hetkellä (28.04.): 13.05. (3 ääntä), 20.05. (2 ääntä)
Muutama opiskelija on kysynyt ylimääräistä tenttipäivää toukokuulle. Minulle se käy, jos löytyy
ainakin viisi, joille sama päivä sopii. Vaihtoehtoja ovat matematiikan tenttipäivät 02.05., 13.05., 19.05. ja
20.05. Jos olet kiinnostunut näistä, niin pistä luennoitsijalle s­postia. Kerron täällä, ja vastaan
kiinnostuneille, mikäli tällainen tentti järjestyy. Ilmoittautumisjärjestelmän vuoksi asialla on pikkaisen
kiire, vaikka kanslistimme tekeekin pieniä ihmeitä.
Myös huhtikuun tentin kysymykset ja mallivastaukset löytyvät alta kommentteineen. Muutama tenttijä
valitettavasti epäonnistui tälläkin kertaa. Heidän kaikkien pistemäärät vaihtelivat välillä 8­12, eli ei
toivottaman kaukana hyväksymisrajasta. Suosittelen ensiavuksi mallivastausten tutkimista.
Abstraktimmat käsitteet ovat osalle vaikeita. Taustalla on usein aiempien käsitteiden (joukot, funktiot,
implikaatiot, ekvivalenssit) sisällön jääminen epäselväksi, joten nyt kun niiden päälle pitää rakentaa
uutta, niin tilanne vaatii näiden perusteiden kertaamista. Lukiokirjat auttanevat osaa. Juttelemaan
kannattaa tulla.
Alla on otsikon Materiaali alla ensimmäisen tentin kysymysten mallivastaukset kommenttien kera.
Kommenttini saattavat kuulostaa paikoitellen hiukan tuohtuneilta. Tarkoitus on kuitenkin osoittaa
muutama yleinen kipupiste. Selitykseni omaksumalla ei uusintatentin läpäiseminen varmaankaan
muodosta ongelmaksi. Tulkaa juttelemaan, tai pistäkää sähköpostia, jos noissa on epäselviä kohtia.
Hyvilläkin opiskelijoilla oli usein muutama epäselvä kohta. Suosittelen kommenttien lukemista lähes
kaikille.
Maaliskuun 10. tentin tulokset . Muuten meni oikein hyvin, mutta hylättyjä tuli liikaa :­( Tuossa on
hyväksyttyjen pistemäärät ja arvosanat. Toivottavasti kaikkien opiskelijanumero/syntymäaika meni
oikein.
Tähän mennessä ansaitut demoluokat. Päivitetty 07.03. Liitin mukaan arvosteluasteikon. Mukana
toistaiseksi (klo 15.30) palautetut bonusrastit.
Osasta loppupään demoista tein (kommentteineen) malliratkaisut. Etenkin setin VI tehtävä 6 näyttää
kirvoittavan minulta paljon ylimääräistä sanottavaa.
Muistakaa ilmoittautua tenttiin!
Bonustehtäväsettiä on päivitetty. Siellä on nyt 22 tehtävää. Bonustehtävien deadline on perjantaina
07.03. klo 16.
Demoluokkien alarajat: C=12, B=22, A=34, A+=47.
Alle lisätty otsikon "Materiaali" alle ehkä tarpeellisia selityksiä ja täsmennyksiä.
Ahdistaako? Kimppakivaa ja Algebran demojen laskemista Matikkapajassa maanantaisin klo 12­14.
Yleistä:
Tämä kurssi (MATE5060) johdattelee opiskelijat algebran ja lukuteorian peruskäsitteisiin sekä
matematiikassa tyypilliseen struktuurien aksiomaattiseen määrittelyyn ja siihen liittyvään teorian
rakenteluun. Tästä esimerkkinä käsittelemme abstraktin ryhmän käsitettä sekä Lineaarialgebran kurssin
materiaalia yleistäen abstraktin vektoriavaruuden käsitettä. Lukuteoriaan johdatellaan tutkimalla
kongruensseja, jaollisuutta ja jakojäännöksiä.
Tämä kurssi vaaditaan esitietoina kaikilla Turun yliopiston algebran ja lukuteorian kursseilla.
Aikataulu:
Luennot ke 12­14 (Pub 1) ja to 12­14 (Pub 2)
Demonstraatiot ti 8­10, 12­14, 14­16, (Pub 469 ja Pub 299), ja poikkeuksellisesti to 27.02.
luentoaikana
Kevään tenttikerrat: 10.03. ja 14.04.
Materiaali:
Moniste
Demonstraatiotehtävät:
Demot 1 (21.01.)
Demot 2 (28.01.)
Demot 3 (04.02.)
Demot 4 (11.02.)
Demot 5 (18.02.)
Demot 6 (25.02.)
Demot 7 (27.02.)
Muutamia malliratkaisuja Viimeksi päivitetty 03.03.
Animoitu "todistus" sille, että kahden peilauksen yhdistetty kuvaus on kierto: Animaatiossa
punainen nuoli on mustan nuolen peilikuva sinisen suoran suhteen, ja oranssi nuoli punaisen
nuolen peilikuva vihreän suoran suhteen. Näet, että mustan ja oranssin nuolen välinen kulma
pysyy koko ajan samana.
Bonustehtäväsetti (mallivastaukset mukana).
Luentokalvot:
Viikko 1.
Viikko 2 (ke), (to). (löytyi virhe, korjattu 08.03.)
Viikko 3.
Viikko 4 (ke), (to).
Viikko 5 (ke), (to).
Viikko 6 (ke),(to).
Viikko 7 (ke), (tason lineaarikuvauksia). Päivitetty 28.02.
Viikko 8. Päivitetty 04.03.
Muuta:
"Sanattomia" sopimuksia Päivitetty 06.03.
kreikkalaiset kirjaimet
Maaliskuun 10. tentin mallivastaukset ja kommentit
Huhtikuun 14. tentin mallivastaukset ja kommentit
Asiaa luennoitsijalle:
email:
[email protected]
Työhuone: Publicum 4. kerros, huone 458 (vastaanotto ke 10­11, muinakin aikoina voi yrittää).
Algebran peruskurssi I
Turun yliopisto
Markku Koppinen
10. tammikuuta 2007
Alkusanat
Algebran peruskurssit I ja II ovat jatkoa lineaarialgebran kurssille. Perehdyt(cid:228)(cid:228)n erilaisiin al-
gebrallisiin systeemeihin: ryhmiin, vektoriavaruuksiin, renkaisiin, kuntiin. N(cid:228)it(cid:228) t(cid:228)rkeit(cid:228) raken-
teita tarvitaan, paitsi matematiikan eri alueilla, kaikkialla muuallakin, miss(cid:228) matematiikkaa
sovelletaan.
N(cid:228)m(cid:228) Algebran peruskurssit I ja II noudattavat melko tarkoin Tauno Mets(cid:228)nkyl(cid:228)n aikai-
semmin kirjoittamia monisteita. Suurin ero on, ett(cid:228) nyt lineaarikuvauksiin tutustutaan jo line-
aarialgebran kurssilla (vektoriavaruuksien Rn tapauksessa) ja abstraktit vektori- ja sis(cid:228)tuloava-
ruudettulevatAlgebranperuskursseissa;aikaisemminn(cid:228)m(cid:228)olivatp(cid:228)invastoin.Lis(cid:228)ksiaineistoa
on j(cid:228)rjestelty muutenkin uudestaan, k(cid:228)sittely(cid:228) on paikoin muutettu ja esimerkkej(cid:228) on lis(cid:228)tty.
Useista esimerkeist(cid:228) ei ratkaisua ole kirjoitettu n(cid:228)kyviin. Niit(cid:228) ratkottaneen luennoilla ja
demonstraatioissa.Kaikkiaeivarmastiehdit(cid:228)kurssillak(cid:228)sitell(cid:228),jotenloputj(cid:228)(cid:228)v(cid:228)tomakohtaista
harjoittelua varten. Osa on melko vaikeitakin.
Monisteen kolmas luku, yleiset vektoriavaruudet, on suurelta osin lineaarialgebran kurssilta
tuttua asiaa, jota nyt vain k(cid:228)sitell(cid:228)(cid:228)n yleisemm(cid:228)ll(cid:228) tasolla. Siksi sit(cid:228) ei k(cid:228)yt(cid:228)ne luennoilla aivan
yksityiskohtaisesti l(cid:228)pi.
i
Sis(cid:228)lt(cid:246)
1 Lukuteoriaa 1
1.1 Ekvivalenssirelaatio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Kokonaislukujen tekij(cid:246)ihinjako . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Suurin yhteinen tekij(cid:228) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Aritmetiikan peruslause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Kongruenssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Ryhm(cid:228) 13
2.1 Ryhm(cid:228)n k(cid:228)site . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Perusominaisuuksia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Ryhm(cid:228)taulu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.3 Ryhmien suora tulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Aliryhm(cid:228) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1 Osajoukon generoima aliryhm(cid:228) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Syklinen ryhm(cid:228) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Sivuluokat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.1 Normaali aliryhm(cid:228). Tekij(cid:228)ryhm(cid:228) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Ryhm(cid:228)homomor(cid:28)smit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5.1 Kuva ja ydin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.2 Ryhmien isomor(cid:28)a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5.3 Homomor(cid:28)alause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Vektoriavaruus 37
3.1 Johdanto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Yleinen reaalinen vektoriavaruus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Aliavaruus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.1 Vektorijoukon viritt(cid:228)m(cid:228) aliavaruus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4 Lineaarinen riippuvuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5 Kanta ja dimensio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6 Koordinaattivektorit ja kannan vaihto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
ii
SIS˜LT(cid:214) iii
3.7 Aliavaruuksien suora summa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.8 Lineaarikuvaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.9 Lineaarikuvauksen ydin ja kuva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.10 S(cid:228)(cid:228)nn(cid:246)llinen lineaarikuvaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.10.1 Vektoriavaruuksien isomor(cid:28)smi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.11 Lineaarikuvauksen matriisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.12 Lineaarikuvauksen ominaisarvot ja -vektorit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Luku 1
Lukuteoriaa
1.1 Ekvivalenssirelaatio
JoukkojenA1 jaA2 karteesisella tulolla A1×A2 tarkoitetaanjoukkoa,jonkamuodostavatkaikki
j(cid:228)rjestetyt parit (a1,a2), miss(cid:228) a1 ∈A1 ja a2 ∈A2; toisin sanoen
A ×A ={(a ,a )|a ∈A , a ∈A }.
1 2 1 2 1 1 2 2
Karteesisesta tulosta A×A k(cid:228)ytet(cid:228)(cid:228)n my(cid:246)s merkint(cid:228)(cid:228) A2.
Olkoon R ⊆ A×A jokin osajoukko. Silloin sanotaan, ett(cid:228) R on relaatio joukossa A. Kun
(a,b)∈R, sanotaan, ett(cid:228) alkio a on relaatiossa R alkion b kanssa, ja merkit(cid:228)(cid:228)n lyhyesti aRb.
Useinrelaatiom(cid:228)(cid:228)ritell(cid:228)(cid:228)nantamalla(cid:17)s(cid:228)(cid:228)nt(cid:246)(cid:17) sille,milloinaRbonvoimassa.T(cid:228)ll(cid:246)inrelaa-
tioksi R voidaan kutsua my(cid:246)s t(cid:228)t(cid:228) s(cid:228)(cid:228)nt(cid:246)(cid:228) (hiukan ep(cid:228)t(cid:228)sm(cid:228)llisesti).
Esimerkki 1.1.1 a) M(cid:228)(cid:228)ritell(cid:228)(cid:228)n joukossa R relaatio R asettamalla s(cid:228)(cid:228)nt(cid:246) xRy ⇔x<y. Siis
R onreaalilukujentavallinenpienemmyysrelaatio.Useint(cid:228)m(cid:228)ilmaistaansanomalla,ett(cid:228)(cid:17)R on
relaatio <(cid:17), mutta tarkasti ottaen R m(cid:228)(cid:228)ritell(cid:228)(cid:228)n joukkona R={(x,y)∈R2 |x<y}.
b) Olkoon A = {x,y,z} ja R = {(x,y),(x,z),(y,z)}. Silloin R:n m(cid:228)(cid:228)ritt(cid:228)m(cid:228)ss(cid:228) relaatiossa
on xRy, xRz ja yRz.
c) M(cid:228)(cid:228)ritell(cid:228)(cid:228)n n×n-matriisien joukossa relaatio sanomalla, ett(cid:228) matriisi A on relaatiossa
matriisin B kanssa, jos ne kommutoivat.
M(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228) 1.1.2 Joukossa A m(cid:228)(cid:228)ritelty(cid:228) relaatiota R sanotaan ekvivalenssirelaatioksi tai
ekvivalenssiksi, jos se t(cid:228)ytt(cid:228)(cid:228) seuraavat ehdot:
E1. Kun a∈A, niin aRa. (re(cid:29)eksiivisyys)
E2. Kun a,b∈A ja aRb, niin bRa. (symmetrisyys)
E3. Kun a,b,c∈A ja aRb ja bRc, niin aRc. (transitiivisuus)
1
LUKU 1. LUKUTEORIAA 2
Ekvivalenssirelaatiota merkit(cid:228)(cid:228)n usein symbolilla ∼. Jos a∼b, sanotaan, ett(cid:228) a on ekviva-
lentti b:n kanssa tai ett(cid:228) a ja b ovat ekvivalentit.
Esimerkki 1.1.3 Tutkitaan,mill(cid:228)esimerkin1.1.1relaatioistaonmitk(cid:228)kinominaisuuksistaE1(cid:21)
E3.
Esimerkki 1.1.4 Jokaisessa joukossa A yht(cid:228)suuruusrelaatio on ekvivalenssirelaatio.
Esimerkki 1.1.5 Matriisien vaakariviekvivalenssi on ekvivalenssirelaatio joukossa Mm×n(R).
Esimerkki 1.1.6 Matriisien similaarisuus on ekvivalenssirelaatio joukossa Mn(R).
Esimerkki 1.1.7 Tason suorien joukossa yhdensuuntaisuus L1(cid:107)L2 on ekvivalenssirelaatio.
M(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228) 1.1.8 Olkoon ∼ jokin joukon A ekvivalenssirelaatio. Alkion a∈A kanssa ekviva-
lenttien alkioiden joukkoa sanotaan a:n ekvivalenssiluokaksi [a]; siis
[a]={b∈A|b∼a}. (1.1)
Lemma 1.1.9 Olkoon ∼ joukon A ekvivalenssirelaatio. Jos b∈[a], niin [a]=[b].
Todistus. Oletetaan, ett(cid:228) b∈[a]; siis b∼a.
Olkoon ensin c ∈ [b], toisin sanoen c ∼ b. Silloin c ∼ b ∼ a, joten transitiivisuuden nojalla
c∼a, eli c∈[a]. N(cid:228)in ollen [b]⊆[a].
Koska b∼a, niin symmetrisyyden perusteella a∼b. Jo todistetun nojalla [a]⊆[b]. (cid:50)
Ekvivalenssiluokan[a]jokaistaalkiotasanotaanluokanedustajaksi.Lemmanmukaanekviva-
lenssiluokka [a] m(cid:228)(cid:228)r(cid:228)ytyy jokaisesta edustajastaan. Kun kustakin ekvivalenssiluokasta valitaan
tarkalleen yksi edustaja, saatua joukkoa sanotaan ekvivalenssiluokkien edustajistoksi.
Lause 1.1.10 Olkoon∼joukonAekvivalenssirelaatio.SilloinAonerillisten(elialkiovieraiden)
ekvivalenssiluokkien unioni. Tarkemmin: Jos D on jokin ekvivalenssiluokkien edustajisto, niin
(cid:91)
A= [a], [a]∩[a(cid:48)]=∅ kun a,a(cid:48) ∈D, a(cid:54)=a(cid:48). (1.2)
a∈D
(cid:83)
Todistus. Koska ehdon E1 nojalla aina a ∈ [a], niin A = a∈A[a]. Kaksi ekvivalenssiluokkaa
ovat joko erilliset tai yht(cid:228)suuret; jos nimitt(cid:228)in [a]∩[b] (cid:54)= ∅, niin valitaan c ∈ [a]∩[b], jolloin
(cid:83)
lemmasta seuraa [a]=[c]=[b]. Kun nyt unionissa A= a∈A[a] annetaan a:n k(cid:228)yd(cid:228) vain jokin
edustajisto D, unioniin tulee jokainen erisuuri ekvivalenssiluokka tarkalleen kerran. (cid:50)
Esimerkki 1.1.11 M(cid:228)(cid:228)ritell(cid:228)(cid:228)n kokonaislukujen joukossa Z ekvivalenssirelaatio: n ∼ m ⇔
|n|=|m|. Silloin
[0]={0}, [1]=[−1]={−1,1}, [2]=[−2]={−2,2}, ... .
LUKU 1. LUKUTEORIAA 3
Edustajistoksi voidaan valita vaikkapa D ={0,1,2,...}. Lauseen antama hajotelma on
(cid:91)∞
Z= [n]={0}∪{±1}∪{±2}∪··· .
n=0
Esimerkki 1.1.12 Vaikka edustajisto voidaankin yleens(cid:228) valita monella eri tavalla, niin toisi-
naanonjokinmuita(cid:17)luonnollisempi(cid:17) valinta.Niinp(cid:228)esimerkin1.1.5ekvivalenssiluokillesaadaan
lineaarialgebran kurssista er(cid:228)s edustajisto. Mik(cid:228)?
Jos joukko A on erillisten osajoukkojensa Ai (cid:54)=∅ unioni (i k(cid:228)y jonkin indeksijoukon I), siis
jos (cid:91)
A= Ai, Ai∩Aj =∅ kun i,j ∈I, i(cid:54)=j, (1.3)
i∈I
sanotaan, ett(cid:228) n(cid:228)m(cid:228) osajoukot muodostavat A:n partition.
Lause 1.1.10 voidaankin muotoilla n(cid:228)in: Jos joukossa A on m(cid:228)(cid:228)ritelty ekvivalenssirelaatio,
niin ekvivalenssiluokat muodostavat A:n partition.
My(cid:246)s k(cid:228)(cid:228)nteinen p(cid:228)tee: Jos joukossa A on annettu jokin partitio (1.3), niin voidaan m(cid:228)(cid:228)-
ritell(cid:228) relaatio A:ssa asettamalla, ett(cid:228) a ∼ b jos a ja b ovat samassa osajoukossa Ai. T(cid:228)m(cid:228) on
ilmeisestikin ekvivalenssirelaatio, ja Ai:t ovat juuri sen ekvivalenssiluokat.
Esimerkki 1.1.13 Katsotaan, millaisia ovat ekvivalenssiluokkien antamat partitiot eo. esimer-
keiss(cid:228) esiintyneiss(cid:228) ekvivalenssirelaatioissa.
(cid:83)
Esimerkki 1.1.14 KirjoitetaanreaalilukujenjoukkoalkiovieraanaunioninaR= n∈Z[n,n+1).
Voidaanko vastaava ekvivalenssirelaatio lausua mill(cid:228)(cid:228)n mukavalla s(cid:228)(cid:228)nn(cid:246)ll(cid:228)?
Kaikkienekvivalenssiluokkienjoukkoa(eli(cid:17)parvea(cid:17);parvi=joukkojenjoukko)sanotaanA:n
osam(cid:228)(cid:228)r(cid:228)joukoksi taitekij(cid:228)joukoksi ko.ekvivalenssirelaationsuhteen.Sit(cid:228)merkit(cid:228)(cid:228)nsymbolilla
A/∼; siis
A/∼={[a]|a∈A}={[a]|a∈D}. (1.4)
T(cid:228)h(cid:228)n liittyy kuvaus A → A/∼, a (cid:55)→ [a], jossa siis kukin alkio kuvautuu edustamakseen ekvi-
valenssiluokaksi.Voidaanajatella,ett(cid:228)kuvaussamaistaasamaanekvivalenssiluokkaankuuluvat
alkiot kesken(cid:228)(cid:228)n.
Esimerkki 1.1.15 Millainen on joukko R/∼ esimerkin 1.1.14 relaatiolle?
Esimerkki 1.1.16 a) M(cid:228)(cid:228)ritell(cid:228)(cid:228)n R:ss(cid:228) relaatio x ∼ y ⇔ x−y ∈ Z. Osoitetaan, ett(cid:228) se on
ekvivalenssirelaatio. Havainnollistetaan vastaavaa osam(cid:228)(cid:228)r(cid:228)joukkoa.
b) Tarkastellaan samalla tavoin R2:n relaatiota (x,y)∼(x(cid:48),y(cid:48)) ⇔ y−y(cid:48) ∈Z.
LUKU 1. LUKUTEORIAA 4
1.2 Kokonaislukujen tekij(cid:246)ihinjako
Seuraavassa tutkitaan kokonaislukujen joukkoa Z={0,±1,±2,...}.
Jos kokonaisluku a on jaollinen kokonaisluvulla b, toisin sanoen jos on sellainen c ∈ Z,
ett(cid:228) a = bc, merkit(cid:228)(cid:228)n b|a. K(cid:228)ytet(cid:228)(cid:228)n my(cid:246)s sanontoja: b jakaa a:n, b on a:n tekij(cid:228), a on b:n
monikerta. Vastakohta merkit(cid:228)(cid:228)n b(cid:45)a.
Esimerkiksi 2|8 ja 3|15 mutta 6(cid:45)21.
Jaollisuudella on seuraavat yksinkertaiset ominaisuudet (perustele ne!): Kun a,b,c∈Z, niin
(i) a|a;
(ii) jos a|b ja b|a, niin a=±b;
(iii) jos a|b ja b|c, niin a|c;
(iv) jos a|b ja a|c, niin a|(b+c).
Kokonaislukuap>1,jonkaainoattekij(cid:228)tovat±1ja±p,sanotaanalkuluvuksi taijaottomaksi
luvuksi (engl. prime). Muita kokonaislukuja n > 1 sanotaan yhdistetyiksi luvuiksi (composite
number). Yhdistetty luku n voidaan siis hajottaa muotoon ((cid:17)hajottaa tekij(cid:246)ihin(cid:17))
n=n n , 1<n <n, 1<n <n.
1 2 1 2
Jatkamalla t(cid:228)ss(cid:228) tekij(cid:246)iden n1 ja n2 hajottamista (jos mahdollista) saadaan lopulta luvun n
alkutekij(cid:228)hajotelma
n=p1p2···ps (p1,...,ps alkulukuja). (1.5)
Se voidaan kirjoittaa my(cid:246)s muodossa
n=q1h1q2h2···qrhr (q1,...,qs erisuuria alkulukuja, hi ≥1 ∀i). (1.6)
My(cid:246)hemmin todistetaan ns. aritmetiikan peruslause, jonka mukaan luvun n alkutekij(cid:228)hajotel-
ma (1.5) on yksik(cid:228)sitteinen, samoin siis (1.6), tekij(cid:246)iden j(cid:228)rjestyst(cid:228) lukuun ottamatta. J(cid:228)lkim-
m(cid:228)ist(cid:228) sanotaan luvun n kanoniseksi (alkutekij(cid:228))hajotelmaksi.
Esimerkki 1.2.1 700=2·2·5·5·7=22·52·7.
Alkulukujen joukkoa merkit(cid:228)(cid:228)n P:ll(cid:228); siis
P={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,57,...}.
Lause 1.2.2 (Eukleides) Alkulukuja on (cid:228)(cid:228)rett(cid:246)m(cid:228)n monta.
Todistus. Tehd(cid:228)(cid:228)n vastaoletus: p1,...,pr ovat kaikki alkuluvut. Muodostetaan luku
n=p ···p +1.
1 r