Algebraische Topologie: Homologie und Mannigfaltigkeiten

275 Pages·2005·5.7 MB·German

by  Prof. Dr. Wolfgang Lück (auth.)

Wolfgang Liick
Aigebraische Topologie
Homologie und Mannigfaltigkeiten
vieweg studium
Aufbaukurs Mathematik
Herausgegeben von Martin Aigner, Peter Gritzmann, Volker Mehrmann
und Gisbert Wustholz
Martin Aigner
Diskrete Mathematik
Walter Alt
Nlchtlineare Optimlerung
Albrecht Beutelspacher und Ute Rosenbaum
Projektlve Geometrle
Gerd Fischer
Ebene algebralsche Kurven
Wolfgang Fischer und Ingo Lieb
Funktionentheorie
Otto Forster
Analysis 3
Klaus Hulek
Elementare Aigebraische Geometrie
Horst Knorrer
Geometrle
Helmut Koch
Zahlentheorie
Ulrich Krengel
Einfiihrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Wolfgang Kuhnel
Differentialgeometrie
Ernst Kunz
Einfiihrung in die algebraische Geometrie
Wolfgang Luck
Aigebraische Topologie
Werner Liitkebohmert
Codlerungstheorle
Reinhold Meise und Dietmar Vogt
Einfiihrung In die Funktlonalanalysis
Erich Ossa
Topologie
Jochen Werner
Numerische Mathematik I und II
Jurgen Wolfart
Einfiihrung In die Zahlentheorle und Algebra
Gisbert Wustholz
Algebra
vieweg _________________- ------'
Wolfgang Luck
Aigebraische
Topologie
Homologie und Mannigfaltigkeiten
~
vleweg
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Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet tiber <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
Prof. Dr. Wolfgang Luck
UniversWit Mtinster
Mathematisches Institut
Einsteinstral3e 62
48149 Munster
E-Mail: [email protected]
1. Auflage lanuar 2005
Aile Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn VerlaglGWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2005
Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch j Petra Rul3kamp
Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media.
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ist ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbe
sondere fUr Vervielfaltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und
die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de
Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
ISBN-13: 978-3-528-03218-0 e-ISBN-13: 978-3-322-80241-5
DOl: 10.1007/978-3-322-80241-5
v
Einleitung
Dieses Buch behandelt und verbindet zwei Themen, (Ko-) Homologie und (Analysis
auf) Mannigfaltigkeiten.
In den erst en acht Kapiteln wird der Begriff der Homologie und Kohomologie stu
diert. Homologie wird axiomatisch im Kapitel 1 eingefuhrt und die singulare Homologie
in Kapitel 2 konstruiert. 1m Kapitel 3 werden CW-Komplexe definiert und beschrieben,
wie man mit Hilfe des zellularen Kettenkomplexes Homologie berechnen kann. Die Euler
Charakteristik und die Lefschetz-Zahl, die nach Ansicht des Autors besonders schone ele
mentare Invarianten der algebraischen Topologie sind, werden im Kapitel 4 vorgestellt.
Nachdem im Kapitel 5 Kohomologie eingefuhrt worden ist, werden in Kapitel 6 Grund
lagen der homologischen Algebra mit universellen Koeffiziententheoremen als Ziel und
im Kapitel 7 Produkte erklart. In Kapitel 8 wird als Hohepunkt die Poincare-Dualitat
diskutiert und bewiesen.
In den verbleibenden sieben Kapiteln werden glatte Mannigfaltigkeiten und die Ana
lysis auf ihnen behandelt. In Kapitel 9 wird der Begriff einer glatten Mannigfaltigkeit und
ihres Tangentialbundels erlautert. Nachdem im KapitellO einige Begriffe aus der linearen
Algebra zusammengestellt worden sind, wird in Kapitel 11 die parametrisierte Version
davon prasentiert, d.h. Vektorraumbundel werden eingefiihrt. In Kapitel 12 werden Dif
ferentialformen erklart. Kapitel 13 ist dem Satz von Stokes gewidmet. In Kapitel 14
wird die de Rham-Kohomologie studiert. 1m Kapitel 15 wird als Hohepunkt der Satz
von de Rham bewiesen, dass die de Rham-Kohomologie und die singulare Kohomologie
mit reellen Koeffizienten isomorph sind. Das liefert einen fundamentalen Zusammenhang
zwischen der algebraischen Topologie und der Analysis auf Mannigfaltigkeiten.
In einem Anhang werden kurz einige Grundbegriffe aus der mengentheoretischen
Topologie und Kategorientheorie zusammengestellt. Damit wird gewahrleistet, dass als
Voraussetzungen fur das Buch nur die erst en beiden Anfanger-Vorlesungen der Analysis
und der linearen Algebra sowie einige Teile der Algebra (Ringe und Moduln) benotigt
werden.
Das Buch ist modular geschrieben und kann in verschiedener Weise verwendet wer
den. Man kann beispielsweise direkt mit Kapitel 9 beginnen und sich als Ziel den Beweis
des Satzes von Stokes in Kapitel 13 stecken. Das wurde sich im Rahmen einer Vorlesung
Analysis III oder IV anbieten. Man kann sich aber auch auf die Kapitel 1 bis 8 kon
zentrieren und im 5. Semester als eine Einfuhrung in die algebraische Topologie lesen.
Eventell kann man noch die Verbindung zu der de Rahm-Kohomologie und dem Satz von
de Rahm herstellen, wenn man die Kapitel 9 bis 13 voraussetzt, oder die Kapitel 9 bis
15 im Anschluss im nachsten Semester behandeln. Das Buch ist auch zum Selbststudium
geeignet.
Ich mochte mich bei den Mitgliedern der Arbeitsgruppe Topologie, insbesondere bei
Markus Meyer und Clara Strohm, fur die vielen hilfreichen Verbesserungsvorschlage und
Korrekturen bedanken.
Munster, im Oktober 2004 Wolfgang Luck
VI
Inhaltsverzeichnis
Einleitung V
Inhaltsverzeichnis VI
1 HOInologie 1
1.1 Die Axiome einer Homologietheorie 1
1.2 Folgerungen aus den Axiomen 3
1.3 Elementare Berechnungen 10
1.4 Elementare Anwendungen 14
1.5 Aufgaben . . . . . . . . . 17
2 SinguHire Homologie 19
2.1 Kettenkomplexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Konstruktion der singuUiren Homologie . . . . . . . . . 21
2.3 Beweis der Homotopieinvarianz fur singulare Homologie 24
2.4 Beweis der Ausschneidung fur singulare Homologie . . . 27
2.5 Skizze der Konstruktion von Bordismustheorie . . . . . 30
2.6 Die erste singulare Homologie und die Fundamentalgruppe 32
2.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 CW-Komplexe 35
3.1 CW-Komplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Abbildungen zwischen Spharen und ihre Abbildungsgrade . . . . . 43
3.3 Der zellulare Kettenkomplex assoziiert zu einer Homologietheorie . 45
3.4 Homologische Berechnungen mit Hilfe des zellularen Kettenkomplexes 50
3.5 Eindeutigkeit der Homologie fUr CW -Komplexe 56
3.6 Simpliziale Komplexe und simpliziale Homologie 61
3.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4 Euler-Charakteristik und Lefschetz-Zahlen 66
4.1 Euler-Charakteristik fur endliche Kettenkomplexe 66
4.2 Euler-Charakteristik fur endliche CW-Komplexe . 68
4.3 Die universelle Eigenschaft der Euler-Charakteristik 70
4.4 Lefschetz-Zahlen fUr endliche Kettenkomplexe. . . . 71
4.5 Lefschetz-Zahlen fUr endliche CW-Komplexe . . . . 74
4.6 Lefschetz-Zahlen und Euler-Charakteristiken auf Mannigfaltigkeiten 76
4.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77
5 Kohomologie 78
5.1 Die Axiome einer Kohomologietheorie 78
5.2 Singulare und zellulare Kohomologie . 81
5.3 Die Axiome einer multiplikativen Struktur . 83
5.4 Der Kohomologiering projektiver Raume 86
5.5 Das Cup-Produkt fUr CW-Komplexe. . . . 91
VII
5.6 Aufgaben .... 93
6 Homologische Algebra 95
6.1 Der Fundamentalsatz der homologischen Algebra . 95
6.2 Der Tor-Funktor .................. . 96
6.3 Der Ext-Funktor .................. . 102
6.4 Das universelle Koeffiziententheorem fUr Homologie 105
6.5 Das universelle Koeffiziententheorem fUr Kohomologie 107
6.6 Die Kiinneth-Formel fUr Homologie 109
6.7 Der Satz von Eilenberg und Zilber . . 110
6.8 Die Kiinneth-Formel fUr Kohomologie 111
6.9 Die Bockstein-Sequenz ........ . 112
6.10 Direkte Systeme und direkte Limiten . 113
6.11 Inverse Systeme und inverse Limiten 115
6.12 Homologie und Ausschopfungen 118
6.13 Kohomologie und Ausschopfungen 119
6.14 Aufgaben ............. . 121
7 Produkte 123
7.1 Liste der verschiedenen Produkte . 123
7.2 Natiirlichkeit .. 124
7.3 Assoziativitat .. 124
7.4 Kommutativitat 124
7.5 Eins-Elemente 124
7.6 Vertraglichkeit mit Randoperatoren 125
7.7 Relationen zwischen den Produkten 125
7.8 Konstruktion der Produkte 126
7.9 Die Hopf-Invariante .... 127
7.10 Der Satz von Borsuk-Ulam 130
7.11 Aufgaben ......... . 131
8 Dualitat 132
8.1 Orientierung. . . . . . . . . . . . . . 132
8.2 Der Abbildungsgrad ......... . 139
8.3 Kohomologie mit kompaktem Trager . 142
8.4 Poincare-Dualitat .......... . 144
8.5 Poincare-Dualitat und die Euler-Charakteristik 150
8.6 Schnittformen ...... . 151
8.7 Jordanscher Trennungsatz . 154
8.8 Aufgaben ......... . 156
9 Glatte Mannigfaltigkeiten und ihre Tangentialbiindel 158
9.1 Glatte Strukturen 158
9.2 Der Tangentialraum 163
9.3 Vektorraumbiindel .. 170
9.4 Das Tangentialbiindel 174
9.5 Aufgaben ...... . 175
VIII Inhal ts verzei chnis
10 Elementare Lineare Algebra 177
10.1 Konstruktionen von Vektorraumen ............ . 177
10.2 Das Dach-Produkt von alternierenden Multilinearformen 180
10.3 Kanonische Isomorphismen . . . . . 182
10.4 Determinante und Spur . . . . . . . 184
10.5 Skalarprodukte und Orientierungen 185
10.6 Spezielle Basen 186
10.7 Aufgaben .......... . 187
11 Parametrisierte Lineare Algebra 190
11.1 Konstruktionen von Vektorraumbundeln . 190
11.2 Riemannsche Metriken und Orientierungen 193
11.3 Orientierungen auf Mannigfaltigkeiten 196
11.4 Aufgaben ............... . 201
12 Differentialformen 202
12.1 Definition einer Differentialform ..... 202
12.2 Das pach-Produkt von Differentialformen 202
12.3 Die auBere Ableitung ...... . 203
12.4 Integration von Differentialformen 208
12.5 Die Volumenform . 212
12.6 Aufgaben ... 213
13 Der Satz von Stokes 215
13.1 Mannigfaltigkeiten mit Rand 215
13.2 Der Satz von Stokes ..... 219
13.3 Anwendungen des Satzes von Stokes 222
13.4 Aufgaben .............. . 227
14 De Rham-Kohomologie 228
14.1 Definition der de Rham-Kohomologie ........... . 228
14.2 Homotopieinvarianz der de Rham-Kohomologie ...... . 228
14.3 Die Mayer-Vietoris-Sequenz fur die de Rham-Kohomologie 232
14.4 Die multiplikative Struktur auf der de Rham-Kohomologie 234
14.5 Aufgaben ........................... . 234
15 Der Satz von de Rham 236
15.1 Glatte singulare Koketten 236
15.2 Glatte Kohomologietheorien . 237
15.3 Die de Rham-Abbildung ... 240
15.4 Der Beweis des Satzes von de Rham 241
15.5 Vertraglichkeit mit den multiplikativen Strukturen 241
15.6 Der Satz von Hodge-de Rham . 241
15.7 Aufgaben ...................... . 243
IX
16 Anhang 244
16.1 Topologische Raume 244
16.2 Die Teilraumtopologie 245
16.3 Stetige Abbildungen 245
16.4 Kompaktheit .... . 245
16.5 Zusammenhang ... . 246
16.6 Das 2. Abzahlbarkeitsaxiom . 246
16.7 Die Summe von topologischen Raumen 246
16.8 Das Produkt von topologischen Raumen . 247
16.9 Homotopie ... 247
16.10 Identifizierungen ......... . 249
16.11 Kategorien ............ . 249
16.12 Funktoren und Transformationen . 251
16.13 Aufgaben ............. . 252
Literat urverzeichnis 254
Index 257
Notation 265
1
1 Homologie
In dies em Kapitel ftihren wir den fundamentalen Begriff der Homologietheorie ein. Wir
haben den axiom at is chen Zugang gewahlt, damit wir schnell zu Berechnungen und Anwen
dungen kommen und den Nutzen durch konkrete Anwendungen belegen kannen. Auf3er
dem gibt es so viele verschiedene Homologietheorien, die dieselben Axiome erftillen, dass
es sinnvoll ist, sie aIle gleichzeitig zu behandeln. Als Beispiele werden wir in Kapiteln 2
und 3 die vollstandige Konstruktion der singularen und zellularen Homologie geben und
die Konstruktion der Bordismustheorie skizzieren.
Ein gewisser Nachteil ist, dass dem Leser gleich das perfekte endgtiltige Bild geboten
wird, ohne auf die geschichtliche Entwicklung einzugehen. 1m Laufe des Studiums des
Buches wird aber klar werden, welche Entwicklung und welche Motivation hinter dem
Konzept der Homologie stehen und warum man die Axiome und Konstruktionen so
durchfUhrt, wie wir es beschreiben werden. Die grundlegende Idee ist, dass Homologie
ein algebraisches Abbild der Geometrie ist, dessen Informationsgehalt so ausgewogen
ist, dass man interessante Informationen tiber die Geometrie aus diesem Bild effizient
herausziehen kann. In den meisten Anwendungen wird ein geometrisches Problem in
ein algebraisches Problem umformuliert, das man durch algebraische Methoden lasen
kann und des sen Lasung eine teilweise oder manchmal sogar vollstandige Lasung des
ursprtinglichen geometrischen Problems impliziert.
Der Begriff der Homologie wurde im Rahmen der Topologie entwickelt. Er spielt
heutzutage auch eine wesentliche Rolle in anderen Gebieten wie der Zahlentheorie, der
algebraischen Geometrie oder der nicht-kommutativen Geometrie.
1m Folgenden werden wir unter einer Abbildung immer automatisch eine stetige Ab
bildung verstehen. Grundbegriffe wie der eines topologischen Raumes und einer stetigen
Abbildung von topologischen Raumen werden im Anhang erklart.
1.1 Die Axiome einer Homologietheorie
Sei Rein assoziativer kommutativer Ring mit Einselement, z.B. der Ring der ganzen
Zahlen Z, der Karper der rationalen Zahlen Q, der Karper der reellen Zahlen IR oder
der Karper ll}, mit p-Elementen fUr eine Primzahl p. Sei TOp2 die Kategorie der Paa
re von topologischen Raumen. Sei I: TOp2 -+ TOp2 der Funktor (X, A) t-t (A, O).
Sei Z-grad.-R-MODUlN die Kategorie der Z-graduierten R-Moduln. Objekte in die
ser Kategorie sind Folgen {Mn I n E Z} von R-Moduln indiziert durch Z. Ein Mor
phismus {Mn I n E Z} -+ {Nn I n E Z} ist eine Folge von R-Homomorphismen
{In: Mn -+ Nn In E Z}. 1m Folgenden schreiben wir ftir das Paar (X,0) kurz X.
Definition 1.1 (Homologietheorie). Eine Homologietheorie 1i* = (1i*, 8*) mit Wer
ten in R-Moduln ist ein kovarianter Funktor
1i*: TOp2 -+ Z-grad.-R-MODUlN
zusammen mit einer natUrlichen Transformation