Algebraische Kodierungstheorie 001

57 Pages·2016·0.41 MB·German

Algebraische Codierungstheorie
1. Lineare Codes und projektive Geometrie
Wir betrachten eine Quelle, die Symbole aus einem Alphabet W =
{w ,...,w } ausgibt.
1 m
Definition 1.1. Eine Codierung ist eine Abbildung f : W −→ Σ∗,
wo Σ eine beliebige Menge (ein Alphabet) ist und Σ∗ die Menge aller
endlichen Folgen von Elementen aus Σ. Eine Nachricht m ist eine end-
liche Folge w ,...,w ∈ W∗ von Elementen aus W, sie wird als die
i1 ik
Aneinanderreihung f(m) = f(w ),...,f(w ) der zu den w geh¨origen
i1 ik j
Zeichenketten in Σ∗ codiert, f also zu einer (ebenfalls mit f bezeich-
neten) Abbildung f : W∗ −→ Σ∗
Dief(w),w ∈ W heißendiebeiderCodierungverwendetenCodew¨orter,
die Menge f(W) ⊆ Σ∗ der Codew¨orter heißt der Code C.
Sind fu¨r ein n ∈ N alle Codew¨orter Elemente von Σn, so heißt C ein
Block-Code der L¨ange n (mit Alphabet Σ).
Wir betrachten jetzt Block-Codes der L¨ange n u¨ber dem Alphabet
Σ = F = F, wo F = F der K¨orper mit q = pf Elementen ist.
q q
Definition und Lemma 1.2. Sei C ⊆ Σn ein Block-Code. Fu¨r
x = (x ,...,x ), y = (y ,...,y ) aus Σn
1 n 1 n
ist der Hamming-Abstand
d(x,y) = |{j | x 6= y }|.
j j
Der Hamming-Abstand ist eine Metrik, d.h., es gilt fu¨r alle x,y,z ∈ Σn:
a) d(x,y) ≥ 0, mit d(x,y) = 0 genau dann, wenn x = y gilt.
b) (Symmetrie) d(x,y) = d(y,x).
c) (Dreiecksungleichung) d(x,z) ≥ d(x,y)+d(y,z).
Beweis. Klar. (cid:3)
Definition 1.3. a) Fu¨r einen Code C ⊆ Fn ist die logarithmische
q
Kardinalit¨at (oder Dimension) k := k(C) = log |C|. Die Rate
q
von C ist R = k. Der Minimalabstand von C ist d := d(C) =
n
min{d(x,y) | x,y ∈ C, x 6= y}. n, k und d heißen die Parame-
ter des Codes; man sagt C sei ein [n,k,d]-Code. Fu¨r x ∈ C ist
w(x) = #{i | x 6= 0} das Gewicht von x.
i
b) Ist C ⊆ Fn ein Untervektorraum von Fn, so heißt C ein linearer
q q
Code. Der Minimalabstand d(C) ist dann gleich min{w(x) | x 6=
0} und heißt auch Minimalgewicht w(C) des Codes.
c) Falls es fu¨r t ∈ N zu jedem y ∈ Fn h¨ochstens ein x ∈ C mit
q
d(x,y) ≤ t gibt, so sagt man, C korrigiere t Fehler.
1
2
Bemerkung. a) Die Bezeichnung [n,k,d]-Code wird h¨aufig fu¨r li-
neare Codes reserviert (bei denen k = dim C automatisch eine
natu¨rliche Zahl ist), w¨ahrend fu¨r beliebige Codes die Bezeich-
nung (n,|C|,d)-Code verwendet wird.
b) Die Rate des Codes misst, welcher Anteil an den zur U¨bermitt-
lung eines Wortes benutzten n Symbolen auch fu¨r rauschfreie
Codierung ben¨otigt wu¨rde, und misst daher die Effizienz.
Definition 1.4. Eine Decodierung(sregel) des Block-Codes C u¨ber F
q
ist eine Abbildung g : Fn −→ C ∪{F} (wobei das Symbol F fu¨r Feh-
q ”
ler“(failure) steht).
Die minimum distance Decodierungsregel ist:
Gibt es zu y ∈ Fn genau ein x ∈ C, fu¨r das d(x,y) minimal ist, so
q
setze g(y) = x (decodiere y als x), andernfalls setze g(y) = F (erkl¨are
einen Fehler).
Bemerkung. FallstFehlervonC korrigiertwerden,sowirdbeiminimum-
distance-Decodierung jedes Wort richtig decodiert, das bei der U¨bert-
ragung in h¨ochstens t Positionen ver¨andert wurde.
Lemma 1.5. Es werden genau dann t Fehler von C korrigiert, wenn
d(C) > 2t ist.
Beweis. Falls d(C) > 2t ist, so sei y ∈ Fn beliebig mit d(x,y) ≤ t ≥
q
d(x0,y) fu¨r Elemente x,x0 von C. Da fu¨r d die Dreiecksungleichung gilt,
ist dann d(x,x0) ≤ 2t < d(C), also x = x0, d.h., C korrigiert t Fehler.
Falls umgekehrt t Fehler von C korrigiert werden, so seien x,x0 ∈ C mit
d(x,x0) ≤ 2t. Man ersetze dann [d(x,x0)] Eintr¨age x von x, fu¨r die x 6=
2 j j
x0 gilt, durch x0 und erhalte so ein y ∈ Fn mit d(x,y) = [d(x,x0)] ≤ t
j j q 2
und d(x0,y) = d(x,x0)−[d(x,x0)] ≤ t.
2
Nach Voraussetzung muß dann x = x0 sein. (cid:3)
Definition 1.6. Fu¨r σ ∈ S sei σ˜ ∈ Fn der durch (x ,...,x ) 7−→
n q 1 n
(x ,...,x ) gegebene lineare Automorphismus σ˜ von Fn, fu¨r α ∈
σ(1) σ(n) q
F× sei α˜ der durch (x ,...,x ) 7−→ (x ,...,αx ,...,x ) gegebene li-
q i 1 n 1 i n
neare Automorphismus α˜ von F .
i q
Sei A die von den σ˜ mit σ ∈ S und den α˜ mit α ∈ F×, 1 ≤ i ≤ n
n i q
erzeugte Untergruppe von Aut(Fn).
q
Die Codes C, C0 ⊆ Fn heißen ¨aquivalent, wenn es ein ϕ ∈ A gibt mit
q
ϕ(C) = C0.
Bemerkung. Bei nichtlinearen Codes werden h¨aufig zus¨atzlich noch
fu¨r Permutationen π ∈ S die Bijektionen π˜ : Fn −→ Fn zugelassen,
q i q q
die durch π˜ (x ,...,x ) = (x ,...,π(x ),...,x ) gegeben sind. Die von
i 1 n 1 i n
A und den π˜ erzeugte Gruppe von Bijektionen Fn −→ Fn ist natu¨rlich
i q q
nicht mehr in Aut(Fn) enthalten und fu¨hrt lineare Codes nicht notwen-
q
dig in lineare Codes u¨ber. Die Elemente von A werden bezu¨glich der
3
Standardbasis von Fn durch Monomialmatrizen repr¨asentiert (Matri-
q
zen, bei denen in jeder Zeile und jeder Spalte genau ein Eintrag 6= 0
steht).
A ist semidirektes Produkt der von den α˜ erzeugten Untergruppe
i
M ∼= (F×)n und der zu S isomorphen Untergruppe der σ˜, wobei
q n
die Operation von S auf dem Normalteiler M gegeben ist durch
n
σ˜α σ˜−1 = α˜ . Insbesondere ist |A| = (q −1)n ·n!.
i σ(i)
Bevor wir lineare Codes weiter untersuchen, schieben wir eine Zusam-
menstellung der wichtigsten Grundbegriffe der projektiven Geometrie
ein; diese werden wir anschließend ben¨otigen.
Definition 1.7. Ist r ∈ N und K K¨orper, so heißt die Menge der
1-dimensionalen Untervektorr¨aume von Kr+1 der r-dimensionale pro-
jektive Raum Pr(K) u¨ber K.
Ist U ⊆ Kr+1 ein (k + 1)-dimensionaler Unterraum, so heißt P =
U
U˜ = {L ∈ Pr(K) | L ⊆ U} ein k-dimensionaler (oder (r − k)-
codimensionaler) Unterraum von Pr(K). Insbesondere sind die P fu¨r
U
Hyperebenen U ⊆ Kr+1 die Hyperebenen in Pr(K), und die P fu¨r
u
dim U = 2 die Geraden in Pr(K).
Die Unterr¨aume P und P von Pr(K) heißen inzident (schneiden
U W
sich), wenn U ∩W 6= {0} ist.
Bezeichnet man in (Kr+1 \ {0})/K× die Klasse von (x ,...,x ) 6= 0
0 r
mit [x ,...,x ] (homogene Koordinaten), so wird durch
0 r
[x ,...,x ] 7−→ K ·(x ,...,x )
0 r 0 r
eine Bijektion
(Kr+1 \{0}/K× −→ Pr(K)
gegeben.
Bemerkung. a) Durch(x ,...,x ) 7−→ [1,x ,...,x ]wirdeineBi-
1 r 1 r
jektion Kr −→
U := {[x ,...,x ] ∈ Pr(K) | x 6= 0}
0 0 r 0
gegeben.
Analog stehen auch die U := {[x ,...,x ] | x 6= 0} in Bijek-
i 0 r i
tion zu Kr, und wir haben eine U¨berdeckung Pr(K) = Sr U
i=0 i
von Pr(K) durch (r+1) Teilmengen, die in natu¨rlicher Bijektion
zum gew¨ohnlichen r-dimensionalen (affinen) Raum stehen. Fu¨r
die Bijektionen ϕ : Kr −→ U gilt offenbar:
j j
– Ist x˜ ∈ Kr und W ⊆ Kr ein k-dimensionaler Unterraum
von Kr, so ist
W0(x˜) := {(x ,...,x ) ∈ Kr+1 | (x ,...,x ) ∈ x x˜ +W}
0 r 1 r 0
ein k +1-dimensionaler Unterraum von Kr+1.
Fu¨rdiesengilt:ϕ (x˜+W) = P ∩U istderDurchschnitt
0 W0(x˜) 0
des k-dimensionalen Unterraums P mit U .
W0(x˜) 0
4
– ϕ ist vertr¨aglich mit Durchschnitten und bildet den von
0
x˜ + W und x˜ + W aufgespannten affinen Unterraum
1 1 2 2
in (P ∨ P ) ∩ U ab; dabei bezeichnet P ∨
P W10(=x˜1)P W20(x˜2) de0nkleinstenUnterraumvoWn10P(x˜r1()K),
W20(x˜2) W10(x˜1)+W20(x˜2)
der P und P enth¨alt (den von diesen Unterr¨aum-
W10(x˜1) W20(x˜2)
en aufgespannten Unterraum oder ihre Verbindung).
Analog formuliert man diese Eigenschaften fu¨r ϕ (1 ≤ j ≤ r).
j
Die Punkte von P , die nicht in ϕ (x˜+W) liegen, nennt man
W0(x˜) j
unendlich ferne Punkte von ϕ (x˜+W) und P0 (x˜) die projektive
j W
Abschließung oder Komplettierung von ϕ (x˜ +W).
j
b) Als U¨bung zeige man, dass sich in P2(K) je zwei verschiedene
Geraden in genau einem Punkt schneiden. Genauer bestimme
man fu¨r die Schar paralleler Geraden g ⊆ K2, die durch die
b
Gleichung x = mx +b mit festem m und variablem b gegeben
2 1
sind, den (bezu¨glich ϕ unendlich fernen) Punkt des P2(K), in
0
dem sich s¨amtliche Geraden der Schar schneiden. Man zeige fer-
ner, dass die bezu¨glich ϕ unendlich fernen Punkte des P2(K)
0
eine Gerade in P2(K) bilden.
c) Der projektive Raum l¨asst sich auch koordinatenfrei behandeln.
Man betrachtet dann fu¨r einen beliebigen K-Vektorraum V den
Raum P(V) := {U ⊆ V | U ist Untervektorraum, dim U = 1}
K
und verf¨ahrt ansonsten wie oben.
d) Ist f ∈ K[X ,...,X ] ein homogenes Polynom u¨ber K von ir-
0 r
gendeinem Grad d (also f = Pi0,...,ir∈Nr0 ai0...irX0i0...Xrir mit al-
len a ∈ K), so ist fu¨r [x ,.i.0.+,··x·+i]r=∈d Pr(K) die Antwort auf
i0...ir 0 r
die Frage, ob f(x ,...,x ) = 0 gilt, unabh¨angig von der Auswahl
0 r
des Rrepr¨asentanten (x ,...,x ) ∈ Kr+1.
0 r
Fu¨r eine Menge F von solchen homogenen Polynomen in den
Variablen X ,...,X nennt man
0 r
V(F) = {[x ,...,x ] | f(x ,...,x ) = 0 fu¨r alle f ∈ F} ⊆ Pr(K)
0 r 0 r
die durch F definierte projektive algebraische Menge. Analog
nennt man fu¨r eine Menge G ⊆ K[X ,...,X ] von (beliebigen)
1 r
Polynomen in den Variablen X ,...,X die Menge
1 r
V(G) = {(x ,...,x ) ∈ Kr | g(x ,...,x ) = 0 fu¨r alle g ∈ G} ⊆ Kr
1 r 1 r
die durch G definierte affine algebraische Menge. Als U¨bung zei-
ge man: Ist g ∈ K[X ,...,X ] ein Polynom vom Grad d (d.h.
1 r
max{i + ··· + i | a 6= 0} = d), so gibt es genau ein
1 r i1...ir
homogenes Polynom f ∈ K[X ,...,X ] vom Grad d, so dass
0 r
f(1,X ,...,X ) = g gilt (man sagt, f entstehe aus g durch Ho-
0 r
mogenisieren). Es gilt dann V(f)∩U = ϕ (V(g)).
0 0
Proposition 1.8. Fu¨r einen Teilraum W ⊆ Kr+1 = V der Dimension
k +1 sei
Wˆ = Ann(W) = {f ∈ V∗ | f| = 0} ⊆ V∗
W
5
der Annullator von W. Fu¨r den Unterraum P ⊆ Pr(K) der Dimen-
W
sion k heiße
δ(P ) := P ⊆ P(V∗)
W Wˆ
der zu W duale Teilraum von P(V∗).
a) δ(P ) ist ein (r−k −1)-dimensionaler Unterraum von P(V∗).
W
b) DurchP 7−→ δ(P )wirdeineBijektionzwischendenk-dimensiona-
W W
len Unterr¨aumen von Pr(K) und den (r−k−1)-dimensionalen
Unterr¨aumen von P(V∗) ∼= Pr(K) gegeben. Mit der kanonischen
Identifikation V ∼= V∗∗ wird δ2 = Id.
c) Es gilt
δ(P ∩P ) = δ(P )∨δ(P )
W1 W2 W1 W2
δ(P ∨P ) = δ(P )∩δ(P )
W1 W2 W1 W2
δ(P ) ⊆ δ(P ) ⇔ P ⊆ P
W1 W2 W2 W1
d) (Dualit¨atsprinzip) Fu¨r jeden Satz der projektiven Geometrie u¨ber
Unterr¨aume von Pr(K), der in Termen von ∩, ∨, ⊆ und dim
formuliert ist, gilt der duale Satz, in dem jeder Unterraum P
W
durch δ(P ) ersetzt wird, ∩ und ∨ sowie ⊆ und ⊇ vertauscht
W
und die Dimension k durch die Dimension r−k−1 ersetzt wird.
Insbesondere erh¨alt man fu¨r r = 2 ein Dualit¨atsprinzip, in dem
die Rollen von Punkten und Geraden vertauscht werden.
Beweis. a)-c) sind eine einfache U¨bung in linearer Algebra.
d)isteinMetatheorem,dessenBeweisentsprechendmu¨hsamzuformu-
lieren ist. Jeder Einzelfall ist aber leicht einzusehen. Wer mehr wissen
will, schlage etwa im Buch von Fischer (Analytische Geometrie) nach
und fu¨hre ein paar Dualisierungen in der ebenen projektiven Geometrie
als U¨bung durch. (cid:3)
Wir kehren jetzt zu den linearen Codes zuru¨ck.
Definition und Lemma 1.9. Sei C ⊆ Fn ein linearer Code mit Basis
q
c = t(g ,...,g ),...,c = t(g ,...,g ).
1 11 1n k k1 kn
Dann heißt die Matrix G = (g ) ∈ M (F ) eine Erzeugermatrix des
ij k,n q
Codes C (generator matrix) und durch
k
X
t(x ,...,x ) 7−→ x c = tGx
1 k i i
i=1
wird eine lineare Einbettung C : Fk −→ Fn gegeben.
q q
Eine Matrix H ∈ M (F ), fu¨r die C der L¨osungsraum des linea-
n−k,n q
ren Gleichungssystems Hx = 0 ist, heißt eine Kontrollmatrix (check
matrix, parity check matrix) von C.
Bemerkung. InderCodierungstheoriewerdenVektorenmeistens(ent-
gegen der in den meisten Lehrbu¨chern und Vorlesungen u¨ber Linea-
re Algebra benutzten Konvention) als Zeilenvektoren geschrieben; wir
6
werden diese Zeilenvektoren an Stellen, wo es (etwa durch Multiplika-
tion mit Matrizen) zu Unklarheiten kommen k¨onnte, als Transponierte
der gewohnten Spaltenvektoren schreiben. Natu¨rlich ist das im Grunde
genommen ein Streit um des Kaisers Bart.
Lemma 1.10. Fu¨r eine Kontrollmatrix H gilt rgH = n−k und H ·
Gt = 0 fu¨r jede Erzeugermatrix G von C.
Beweis. Klar. (cid:3)
Bemerkung. a) W¨ahlt man eine andere Basis c˜ = Pk t c von
j i=1 ij i
C, so gilt (mit T = (t ) ∈ GL (F )):
ij k q
G˜ = Tt ·G.
˜
G geht also aus G durch Multiplikation von links mit einer (be-
liebigen) invertierbaren k ×k- Matrix hervor.
ˆ
Ist C ein zu C ¨aquivalenter Code und wird die Transformati-
ˆ
on ϕ aus A, die C in C u¨berfu¨hrt, durch die Monomialmatrix
M ∈ GL (F ) dargestellt (mit cˆ = ϕ(c )), so hat die zu den cˆ
n q j j j
ˆ
geh¨orige Erzeugermatrix die Gestalt G = G·M. Ist H Kontroll-
matrix zu G, so ist H ·(Mt)−1 Kontrollmatrix zu Gˆ.
b) Gelegentlich werden auch Matrizen H ∈ M (F ) mit r > n−k,
r,n q
rgH = n−k und H·Gt = 0 als Kontrollmatrix zu C bezeichnet.
Definition 1.11. Fu¨r C ⊆ Fn ist der duale (oder orthogonale) Code
q
C⊥ definiert als
n
X
C⊥ = {y ∈ Fn | hx,yi := x y = 0 fu¨r alle x ∈ C}.
q i i
i=1
Ist C = C⊥, so heißt C selbstdual.
Lemma 1.12. a) Ist dim C = k, so ist dim C⊥ = n−k.
b) H ist genau dann Kontrollmatrix von C, wenn H Erzeugermatrix
von C⊥ ist.
c) Durch y −→ L ∈ (Fn)∗ mit L (x) := hx,yi wird ein Isomor-
y q y
phismus L von Fn auf den Dualraum (Fn)∗ gegeben, der C⊥ auf
q q
den Annullator von C abbildet.
Beweis. Dies sind Standardaussagen der linearen Algebra. Man beach-
te, dass durch (x,y) 7−→ hx,yi eine nichtausgeartete symmetrische
Bilinearform auf Fn gegeben wird. (cid:3)
q
Definition 1.13. Der lineare Code C hat genau dann Minimalgewicht
w(C) > d, wenn gilt:
Je d Spalten einer Kontrollmatrix H von C sind linear unabh¨angig.
Beweis. Klar: Sind h ,...,h die Spalten von H, so ist x ∈ C ¨aquiva-
1 n
lent zu Pn x h = 0. (cid:3)
i=1 i i
7
Beispiel. Wir betrachten den Code
C := {x ∈ F6 | x +x = x , x +x = x , x +x = x }.
6 2 2 3 4 1 3 5 1 2 6
Dieser Code hat 8 Worte (Er hat Dimension 3 als Vektorraum u¨ber
F ).
2
Wir sehen: C hat Kontrollmatrix
6
 
0 1 1 1 0 0
H = 1 0 1 0 1 0
1 1 0 0 0 1
DajezweiSpaltenderKontrollmatrixlinearunabh¨angigsind,istd(C ) ≥
6
3, wir werden gleich sehen, dass d(C ) = 3 ist. C ist also ein [6,3,3]-
6 6
Code. Eine Erzeugermatrix ist
 
1 0 0 0 1 1
G = 0 1 0 1 0 1
0 0 1 1 1 0
also sicher d(C) ≤ 3, damit ist d(C) = 3.
Beispiel. Fu¨r Codes mit Minimalabstand d ≥ 3 u¨ber F suchen wir
q
eine Kontrollmatrix, fu¨r die keine 2 Spalten linear abh¨angig, d.h. Viel-
fache voneinander sind.
Bei gegebener Codimension r = n−k besteht ein H m¨oglichst großer
SpaltenzahlnalsoausRepr¨asentantenaller1-dimensionalenUnterr¨aume
(Geraden) von Fn als Spalten. Wir haben dann also
q
qr −1
n = = 1+···+qr−1.
q −1
Definition 1.14. Fu¨r r ≥ 2 sei n = qr−1. Der [n,n − r,3]-Code mit
q−1
Kontrollmatrix H, deren Spalten Repr¨asentanten der 1-dimensionalen
Unterr¨aume von Fr sind, heißt der [n,n−r]-Hamming-Code u¨ber F .
q q
Beispiel. q = 2, r = 3, n = 7.
 
0 0 1 0 1 1 1
H = 0 1 0 1 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1
Der Code hat 16 Elemente und (wie alle Hamming-Codes) Minimalab-
stand 3, korrigiert also einen Fehler. Der duale Code ist der Code mit
Erzeugermatrix H.
Der Code C aus dem vorigen Beispiel ist die Projektion auf F6 des
6 2
[7,4,3]-Hamming-Codes u¨ber F .
2
Definition und Lemma 1.15. Sei G ∈ M (F ) Erzeugermatrix des
k,n q
Codes C ⊆ Fn.
q
a) G ist in Standardform, wenn G = (E ,P) mit P ∈ M (F )
k k,n−k q
gilt (E die (k ×k)-Einheitsmatrix).
k
8
b) Ist die aus den Spalten mit den Nummern i < ··· < i gebildete
1 k
Teilmatrix von G die k × k-Einheitsmatrix, so sagt man, C sei
systematisch in i ,...,i .
1 k
A¨quivalent ist: Die durch x 7−→ (x ,...,x ) gegebene Projek-
i1 ik
tion p = p : Fn −→ Fk liefert einen Isomorphismus p| :
i1,...,ik q q C
C −→ Fk.
q
Bemerkung. a) Ist G Erzeugermatrix von C, so k¨onnen wir durch
U¨bergang zu einer anderen Basis G durch TG mit beliebigem
T ∈ GL (F ) ersetzen. T kann so gew¨ahlt werden, dass TG in
k q
Zeilenstufenform ist, wobei jeweils in der j-ten Zeile in der Po-
sition i der erste Eintrag 6= 0 steht. C ist daher systematisch
j
in den Positionen i ,...,i . Multipliziert man G von rechts mit
1 k
einer geeigneten Permutationsmatrix, so geht G in Standardform
u¨ber; C geht dabei in einen ¨aquivalenten Code u¨ber. Jeder lineare
Code ist also ¨aquivalent zu einem Code mit Erzeugermatrix in
Standardform.
b) IstG = (E ,P)inStandardform,soistoffenbarH = (−tP,E )
k n−k
eine Kontrollmatrix fu¨r G, denn man sieht:
(cid:18) (cid:19)
E
H ·Gt = (−tP,E ) k = 0.
n−k tP
Definition 1.16. Sei C linearer Code mit Erzeugermatrix G und Kon-
trollmatrix H.
a) Fu¨r y ∈ Fn heißt s = s (y) := Hy =∈ Fn−k das Syndrom von
q H q
y (bezu¨glich H).
b) Fu¨r s ∈ Fn−k heißt ein Element e = e (s) minimalen Gewichts
q H
in der Nebenklasse K = {y ∈ Fn | Hy = s} ∈ Fn/C ein coset
s q q
leader (Nebenklassen-Fu¨hrer) von s; man hat dann K = e+C.
s
Bemerkung. a) U¨bergang zu einer anderen Kontrollmatrix ¨andert
zwar die Syndrome, aber nicht die Einteilung von Fn in Neben-
q
klassen aus Vektoren gleichen Syndroms; insbesondere ¨andert es
nichts an den coset leaders, sondern nur ihre Zuordnung zu den
einzelnen Syndromen.
b) Minimum-distance-Decodierung decodiert y als y − e (s), wo
H
s = s (y) = Hy das Syndrom von y bezu¨glich H ist. Ist der
H
coset leader von y + C nicht eindeutig, so erkl¨art man, es sei-
en r = w(e (s)) Fehler erkannt worden. Decodierung erfolgt
H
hier also nach Durchfu¨hrung der Matrixmultiplikation y 7−→ Hy
durch Nachschlagen in einer Tabelle (table-lookup) der Gr¨oße
|F /C| = qn−k. Das ist natu¨rlich (zumal fu¨r großes k) besser als
q
in einer Tabelle der vollen Gr¨oße qn nachschlagen zu mu¨ssen. Bei
Codes mit viel Struktur verfu¨gt man u¨ber Methoden, die Zu-
ordnung des coset leaders zum ermittelten Syndrom effizienter
vorzunehmen.
9
Die Codierung, aufgefasst als Abbildung C : Fk −→ C, ist
q
natu¨rlich als Multiplikation mit der Erzeugermatrix (bzw. de-
ren transponierter Matrix, je nach benutzter Konvention u¨ber
Zeilen- und Spaltenvektoren) ebenfalls leicht effizient zu imple-
mentieren.
Beispiel. Fu¨r unseren Code C ⊆ F6 sind die m¨oglichen Syndrome die
6 2
Elemente von F3. Wir haben die triviale Nebenklasse C, 6 Nebenklas-
2
sen, die von den Vektoren in F mit genau einer 1 repr¨asentiert werden,
2
unddieNebenklassezumSyndrom(1,1,1),dievon(1,0,0,1,0,0),aber
auch von (0,1,0,0,1,0) oder (0,0,1,0,0,1) repr¨asentiert wird: Diese
Nebenklasse hat keinen eindeutigen coset leader.
Die Decodierung in unserem Beispiel erfolgt also so: Ist das Syndrom
s von y nicht (1,1,1), so decodiere y als y − e (s) ∈ C, ist es gleich
H
(1,1,1), so decodiere als y −(1,0,0,1,0,0) (willku¨rliche Auswahl des
coset leaders) oder erkl¨are, dass bei der U¨bermittlung wenigstens zwei
Fehler aufgetreten sind (failure).
U¨bung.
a) Diese Decodierung ist in der Tat so, wie bei der Diskussion des
Beispiels behauptet.
b) Finde Kontrollmatrix, Syndrome und coset leaders fu¨r den im
Beispiel benutzten Code C ⊆ F6.
6 2
c) Zeige: Ist d(C) = 2t+1, so ist in jeder Nebenklasse von C h¨ochs-
tens ein Codewort vom Gewicht ≤ t, und letztere Eigenschaft
ist ¨aquivalent dazu, dass t Fehler von C korrigiert werden. Ist
d(C) = 2t, so werden t−1 Fehler korrigiert und t Fehler erkannt,
aber nicht mehr notwendig korrigiert. Es gibt dann Nebenklas-
sen von C, in denen alle coset leaders Gewicht t haben, der coset
leader aber nicht eindeutig ist.
Bemerkung. Der Code C ⊆ Fn hat Minimalabstand d(C) ≥ r+1, falls
q
in der Kontrollmatrix H ∈ M (F ) je r Spalten linear unabh¨angig
n−k,n q
sind. Projektiv gesehen heißt das:
Fu¨r die von den Spalten repr¨asentierten Punkte des Pn−k−1(F ) gilt: Je
q
r dieser Punkte liegen nicht gemeinsam in einem r −2-dimensionalen
Teilraum (also fu¨r r = 2: Je 2 Punkte sind verschieden, fu¨r r = 3:
Je drei Punkte sind nicht kollinear, fu¨r r = 4: Je 4 Punkte sind nicht
koplanar, etc.).
Offenbar geht das nur fu¨r r − 2 ≤ n − k − 2 oder r ≤ n − k, d(C) =
r+1 ≤ n−k +1.
Wir haben also gezeigt:
Lemma 1.17 (Singleton-Schranke). Ist C ein linearer [n,k,d]-Code,
so ist d ≤ n−k +1.
10
Bemerkung. a) (U¨bung) Die Schranke gilt auch fu¨r nichtlineare
Codes (Hinweis: Die Projektion des Codes auf Fn−d+1 ist injek-
q
tiv).
b) Gilt n−k +1 = d, so heißt C ein maximum-distance-separable
Code (MDS-Code) oder auch ein Code vom Geschlecht (genus)
0 (letztere Sprechweise wird sp¨ater verst¨andlich).
Gilt d ≥ n−k+1−g und d(C⊥) ≥ n+1−g−(n−k) = k+1−g,
so sagt man allgemeiner C sei ein Code vom Geschlecht ≤ g
(Ist d = n − k + 1, sind also je n − k Spalten der Kontrollma-
trix linear unabh¨angig, so ist d(C⊥) = k + 1, also je k Spalten
der Erzeugermatrix von C linear unabh¨angig. G¨abe es n¨amlich k
Spalten in der Erzeugermatrix, die linear abh¨angig w¨aren (o.E.
die ersten k Spalten), so g¨abe es (Zeilenrang = Spaltenrang)
x ,...,x ∈ F , so dass (mit Zeilen c ,...,c der Erzeugerma-
1 k q 1 k
trix) 0 6= Pk x c in den ersten k Spalten alle Eintr¨age gleich
i=1 i i
0 hat. Dieses Codewort h¨atte dann Gewicht ≤ n−k = d(C)−1,
was unm¨oglich ist).
Definition 1.18. Sei V ein k-dimensionaler F -Vektorraum. Ein n-
q
Tupel P = (P ,...,P ) von n Punkten aus V, fu¨r die
1 n
d(P) := n− max |P ∩H| ≥ 1
H Hyperebene
gilt (fu¨r die es also keine Hyperebene H ⊆ V gibt mit P ⊆ H), heißt
ein [n,k,d(P)] -System.
q
Zwei [n,k,d] -Systeme P,P0 in V bzw. V0 heißen ¨aquivalent, wenn es
q
einen Isomorphismus ϕ : V −→ V0 gibt mit ϕ(P) = P0.
Proposition1.19. EsgibteineBijektionzwischenKlassenvon[n,k,d] -
q
Systemen und linearen [n,k,d]-Codes u¨ber F .
q
Beweis. Sei P = (P ,...,P ) ⊆ V. Definiere
1 n
ϕ : V∗ −→ Fn durch
q
f 7−→ (f(P ),...,f(P )).
1 n
ϕ ist nach der Voraussetzung u¨ber P injektiv, setze C = ϕ(V∗). Dann
ist dim C = k. Ferner ist d(C) = d, denn w(ϕ(f)) ist gerade die Anzahl
der P ∈ P, die nicht in der Hyperebene Ker ϕ von V liegen.
i
Ist umgekehrt C ⊆ Fn, f die j-te Koordinatenfunktion auf Fn, so sei
q j q
V = C∗ und P = (f | ,...,f | ).
1 C n C
Die Elemente von P liegen offenbar in keiner gemeinsamen Hyperebene
(jede Linearform auf C l¨asst sich zu einer auf Fn fortsetzen), und die
q
obige Konstruktion bildet x ∈ V∗∗ = C auf ϕ(x) = (x ,...,x ) ∈ Fn
1 n q
ab, also ϕ(V∗) = C (und umgekehrt).
Die beiden Abbildungen sind also invers zueinander und fu¨hren die
Parameter ineinander u¨ber. (cid:3)