Algebraische Gruppen, WS 2011/2012 [Lecture notes]

54 Pages·2012·0.32 MB·German

by  Annette Werner

Skript zur Vorlesung
Algebraische Gruppen
Wintersemester 2011/2012
Frankfurt am Main
Prof. Dr. Annette Werner
Inhaltsverzeichnis
1 Einfu¨hrung 1
2 Grundlagen der algebraischen Geometrie 5
3 Liealgebren 19
4 Exkurs u¨ber Darstellungen 32
5 Unipotente und Borelgruppen 35
6 Der allgemeine Fall 48
1
1 Einfu¨hrung
IndieserVorlesungstudierenwirbestimmteUntergruppenderlinearenGruppeGL (K),
n
wobei K ein algebraisch abgeschlossener K¨orper ist. Die Gruppe GL (K) der inver-
n
tierbaren (n×n)−Matrizen u¨ber K enth¨alt viele interessante Untergruppen.
Es gibt in der Mathematik, aber auch ihren Anwendungsf¨achern, viele Situationen,
in denen eine Gruppe G auf einem endlich-dimensionalen K− Vektorraum V operiert.
Eine solche Gruppenoperation entspricht einem Gruppenhomomorphismus
G → End (V).
K
Nach Wahl einer Basis von V k¨onnen wir End (V) mit GL (K) identifizieren, wobei
K n
n = dim (V) gilt. Dann erhalten wir einen Gruppenhomomorphismus
K
ρ : G → GL (K).
n
Falls G treu auf V operiert, so ist ρ injektiv (falls man nicht weiß, was treu heißt, so
kann man dies als Definition nehmen). In diesem Fall ist ρ(G) eine Untergruppe von
GL (K).
n
Wir betrachten zun¨achst einige Beispiele fu¨r Untergruppen der GL (K).
n
Beispiele:
1. Sei S die Gruppe der Permutationen von {1,...,n}. Wir definieren fu¨r jede
n
Permutation σ eine (n×n)−Matrix P mit Eintr¨agen (P ) durch:
σ σ ij
1, falls σ(i) = j
(P ) =
σ ij 0, sonst.
(cid:26)
Dann liefert
ρ : S → GL (K)
n n
σ 7→ P
σ
einen injektiven Gruppenhomomorphismus. Daher ist ρ(S ), die Gruppe der Per-
n
mutationsmatrizen, eine Untergruppe von GL (K). Wir werden sp¨ater sehen,
n
dass dies ein Beispiel fu¨r eine sogenannte Weylgruppe ist.
2. Die Menge der Diagonalmatrizen
t 0
T = 1 ... : t ∈ K×
n i
( 0 t ! )
n
isteineUntergruppevonGL (K).SieheißtTorusinGL (K).SolcheToriwerden
n n
t 0
wirsp¨atergenauerstudieren.Wirschreibenauchdiag(t ,...,t ) = 1 ... .
1 n
0 t !
n
1
3. Die Menge der oberen Dreiecksmatrizen
B = {(a ) ∈ GL (K) : a = 0 fu¨r i > j}
n ij i,j n ij
ist eine Untergruppe von GL (K). Eine solche Untergruppe wird Borelgruppe
n
genannt. Auch diese Gruppen werden wir sp¨ater noch genauer studieren.
4. Die Gruppe B enth¨alt als Untergruppe die Gruppe
n
U = {(a ) ∈ GL (K) : a = 0
n ij ij n ij
fu¨r i > j und a = a = ... = a = 1}
11 22 nn
Falls D = diag(t ,...,t ) ∈ T und A ∈ U ist, so rechnen wir leicht aus, dass
1 n n n
DAD−1 ∈ U gilt. Ferner k¨onnen wir jede Matrix B = (b ) ∈ B durch Herausziehen
n ij n ”
der Diagonalelemente“ als Produkt
B = TU
mit T = diag(b ,...,b ) und U = (u ) ∈ U schreiben, wobei fu¨r i < j gilt u =
11 nn ij n ij
b /b . Daraus folgt, dass auch fu¨r beliebiges B ∈ B und A ∈ U
ij ii n n
BAB−1 ∈ U
n
gilt. Mit anderen Worten: U ist ein Normalteiler in B .
n n
Wir erinnern hier an einige Begriffe der Gruppentheorie. Ist G eine Gruppe und H
eine Untergruppe, dann ist
N (H) = {g ∈ G : g−1hg ∈ H fu¨r alle h ∈ H}
G
der Normalisator von H in G. Gilt N (H) = G, so heißt H Normalteiler in G. In
G
diesem Fall ist die Quotientenmenge G/H eine Gruppe.
Falls H ein Normalteiler in G und T eine weitere Untergruppe von G ist mit
G = TH und T ∩H = {e},
so heißt G semidirektes Produkt von T und H. Wir schreiben
G = T ⋉H.
In diesem Fall haben wir einen Gruppenisomorphismus
T ×H → G
(t,h) 7→ t·h,
wenn wir die linke Seite mit der Gruppenoperation
(t ,h )·(t ,h ) = t t ,(t−1h t )h
1 1 2 2 1 2 2 1 2 2
ausstatten. (cid:0) (cid:1)
In obigem Beispiel gilt
B = T ⋉U .
n n n
Wir interessieren uns außerdem fu¨r die sogenannten klassischen Gruppen, die wir
jetzt vorstellen wollen.
2
Definition 1.1 Es sei SL (K) die Gruppe aller invertierbaren Matrizen der Deter-
n
minante 1.
WirnennenSL (K)auch speziellelineareGruppe“.DannistT ∩SL (K)dieGruppe
n ” n n
der Diagonalmatrizen mit Determinante 1 und B ∩ SL (K) die Gruppe der oberen
n n
Dreiecksmatrizen mit Determinante 1.
Es gilt Z SL (K) = {diag(a,...,a) : an = 1}.
n
(cid:0) (cid:1)
Das Zentrum der Gruppe SL (K) ist also isomorph zur Gruppe der n−ten Ein-
n
heitswurzeln und insbesondere eine endliche Gruppe.
Hier schreiben wir wie u¨blich fu¨r jede Gruppe G
Z(G) = {g ∈ G : gh = hg fu¨r alle h ∈ G}.
Definition 1.2 Es sei q : Kn×Kn → K eine nicht ausgeartete symmetrische Biline-
arform auf K. Dann ist die zugeh¨orige orthogonale Gruppe O(q) definiert als
O(q) = {A ∈ GL (K) : q(Ax,Ay) = q(x,y) fu¨r alle x,y ∈ Kn}.
n
n
Falls q(x,y) = x y das kanonische Skalarprodukt ist, so gilt
i i
i=1
P
O(q) = {A ∈ GL (K) : AAt = E }.
n n
Wir definieren die spezielle orthogonale Gruppe SO(q) als
SO(q) = O(q)∩SL (K).
n
Analog k¨onnen wir die Untergruppen T ∩O(q) und B ∩O(q) von O(q) betrachten.
n n
Definition 1.3 Es sei 2n eine gerade Zahl und sei K2n der K−Vektorraum mit kano-
nischer Basis (e ,...,e ,f ,...f ). Wir betrachten die nicht-ausgeartete, alternierende
1 n 1 n
Bilinearform (symplektische Form)
ϕ : K2n ×K2n → K,
definiert durch
ϕ(e ,e ) = 0
i j
ϕ(f ,f ) = 0
i j
ϕ(e ,f ) = δ und ϕ(f ,e ) = −δ fu¨r alle i,j = 1,...,n.
i j ij i j ij
Dann ist die symplektische Gruppe definiert als
Sp (K) = {A ∈ GL (K) : ϕ(Ax,Ay) = ϕ(x,y) fu¨r alle x,y ∈ K2n}
2n 2n
Man kann zeigen, dass Sp (K) ⊂ Sl (K) gilt. Auch hier liefern T ∩Sp (K) und
2n 2n 2n 2n
B ⊂ Sp (K) wieder interessante Untergruppen.
2n 2n
3
Nachdem wir einige Beispiele linearer algebraischer Gruppen gesehen haben, wollen
wir definieren, was eine lineare algebraische Gruppe ist.
Wir setzen Ω = K[x ,...,x ]. Dies ist ein Polynomring in n2 Variablen. Wir
11 nn
k¨onnen jede Matrix A = (a ) in ein Polynom f ∈ Ω einsetzen, indem wir x durch
ij i,j ij
a ersetzen.
ij
Definition 1.4 Eine Untergruppe G ⊂ GL (K) heißt lineare algebraische Gruppe,
n
falls es endlich viele Polynome f ,...,f ∈ Ω gibt mit
1 r
G = {A ∈ GL (K) : f (A) = ...f (A) = 0}
n 1 r
Beispiele fu¨r lineare algebraische Gruppen:
1. SL (K) = {A ∈ GL (K) : det(A)−1 = 0
n n
2. B = {A ∈ GL (K) : x (A) = 0 fu¨r alle i > j}
n n ij
3. U = {A ∈ GL (K) : x (A) = 0 fu¨r alle i > j und x (A)−1 = 0,...,x (A)−
n n ij 11 nn
1 = 0}
4. T = {A ∈ GL (K) : x (A) = 0 fu¨r alle i 6= j}
n n ij
5. Z GL (K) = {A ∈ GL (K) : x (A) = 0 fu¨r alle i 6= j,x (A) − x (A) =
n n ij 11 22
0,x (A)−x (A) = 0,...,x (A)−x (A) = 0}.
22 33 n−1,n−1 nn
(cid:0) (cid:1)
6. Seiq einenicht-ausgeartetesymmetrischeBilinearform.Wirsetzenq = q(e ,e ).
ij i j
O(q) = A ∈ GL (K) : q(Ae ,Ae ) = q(e ,e ) fu¨r alle i,j ∈ {1,...,n}
n i j i j
= A ∈ GL (K) : x (A)x (A)q −q = 0 fu¨r alle i,j ∈ {1,...,n}
n ri sj rs ij
(cid:8) (cid:9)
r,s
(cid:8) P (cid:9)
0 E
7. Sp (K) = {A ∈ GL (K) : AtJA = J} fu¨r J = n , denn die
2n 2n −E 0
n
(cid:18) (cid:19)
Eintr¨age von J geben gerade die Werte der symplektischen Form ϕ auf der kano-
nischen Basis e ,...,e ,f ,...,f von K2n an. Die Bedingung AtJA = J kann
i n 1 n
man wieder in n2 Polynome in den Matrixeintr¨agen von A u¨bersetzen.
Lemma 1.5 JedeendlicheUntergruppevonGL (K)isteinelinearealgebraischeGrup-
n
pe.
Insbesondere ist also die zu S isomorphe Untergruppe der Permutationsmatrizen
n
eine lineare algebraische Gruppe.
4
Beweis : Es sei B = (b ) eine Matrix in GL (K). Dann l¨asst sich die Einpunktmenge
ij n
{B} als Nullstellenmenge von n2 Polynomen beschreiben: {B} = A ∈ GL (K) :
n
x (A)−b = 0 fu¨r alle i,j ∈ {1,...,n} .
ij ij
(cid:8)
(cid:9)
Jetzt sei G = {B ,...,B } ⊂ GL (K) eine endliche Untergruppe, und es seien
1 m n
(j) (j) (j) (j)
h ,...,h die Polynome mit {B } = {A ∈ GL (K) : h (A) = 0,...,h (A) = 0}.
1 n2 j n 1 n2
Nun betrachten wir die Teilmenge G′ = A ∈ GL (K) : h(1)·h(2)·...·h(m)(A) = 0
n i1 i2 im
fu¨r alle i ,i ,...,i ∈ {1,...,n2} .
1 2 m
(cid:8)
(cid:9)
G′ ist also die Nullstellenmenge aller Polynome, die man als Produkt gewinnt,
indem man fu¨r jedes B eines der definierenden Polynome als Faktor ausw¨ahlt.
j
OffenbaristG ⊂ G′,dennfu¨rjedesB verschwindeteinFaktoralldieserPolynome.
j
Angenommen, es gibt ein A ∈ G′\G. Dann ist A keine der Matrizen B , d.h. fu¨r
j
(j) (1) (m)
jedes j gibt es einen Index i mit h (A) 6= 0. Dann ist aber auch h ·...·h (A) 6= 0,
j ij i1 im
was im Widerspruch zu A ∈ G′ steht. Somit ist G = G′ eine lineare algebraische
Gruppe. (cid:3)
Beispiel: Wir betrachten nun fu¨r K = C die Untergruppe
t
U (C) = {A ∈ GL (C) : A ·A = E } von GL (C).
n n n n
U (C) ist keine lineare algebraische Gruppe in GL (C), denn die komplexe Kon-
n n
jugation l¨asst sich nicht durch ein Polynom u¨ber C beschreiben.
Trotzdem kann man U (C) mit Hilfe der Theorie der linearen algebraischen Grup-
n
penuntersuchen:DieseTheoriegibtesn¨amlichauchu¨bernichtalgebraisch abgeschlos-
senen K¨orpern, und U (C) ist eine lineare algebraische Gruppe u¨ber R.
n
2 Grundlagen der algebraischen Geometrie
Unsere Objekte, die linearen algebraischen Gruppen, haben wir im vergangenen Ab-
schnitt kennengelernt. Aber was sind die richtigen Abbildungen zwischen diesen Ob-
jekten? Dazu brauchen wir ein paar Grundbegriffe der algebraischen Geometrie.
Mit K bezeichnen wir wieder einen algebraisch abgeschlossenen K¨orper. Wir be-
trachten den Polynomring Ω = K[x ,...,x ] in n ≧ 1 Variablen u¨ber K. Jedes Poly-
1 n
nom f ∈ Ω definiert durch Einsetzen eine Funktion f : Kn → K :
a
.1
a = .. 7→ f(a1,...,an).
a !
n
5
Definition 2.1 Eine affine algebraische Menge ist eine Teilmenge X des Kn, so dass
endlich viele Polynome f ,...,f ∈ Ω existieren mit
1 r
X = {a ∈ Kn : f (a) = ... = f (a) = 0}.
1 r
X ist also die Nullstellenmenge endlich vieler Polynome.
Beispiel: Ist n = 1, so sind nur K selbst und alle endlichen Teilmengen von K
algebraische Mengen, da jedes Polynom in einer Variablen nur endlich viele Nullstellen
hat.
Definition 2.2 Es seien X ⊂ Km und Y ⊂ Km zwei algebraische Mengen.
i) Ein Morphismus ψ : X → Y von algebraischen Mengen ist eine Abbildung (von
Mengen) ψ : X → Y, zu der es Polynome f ,...,f ∈ K[x ,...,x ] gibt, so
1 m 1 n
dass
ψ(a) = f (a),...,f (a)
1 m
fu¨r alle a ∈ X ⊂ Kn gilt. (cid:0) (cid:1)
ii) Ein Morphismus ψ : X → Y von algebraischen Mengen heißt Isomorphismus,
wenn es einen Morphismus ϕ : Y → X von algebraischen Mengen mit ϕ◦ψ = id
X
und ψ ◦ϕ = id gibt.
Y
Vorsicht — ein bijektiver Morphismus algebraischer Mengen muss kein Isomorphismus
sein! Dazu betrachten wir die algebraischen Mengen X = C und Y = { x ∈ C2 :
y
x3 −y2 = 0}. Die Abbildung
(cid:0) (cid:1)
ψ : X → Y
t 7→ (t2,t3)
ist ein bijektiver Morphismus algebraischer Mengen. Die Umkehrabbildung ist jedoch
nicht durch Polynome beschreibbar.
UnsereDefinitionvonIsomorphismenalgebraischerMengenistalsonichtsoeinfach
zu handhaben. Wir suchen nach einer besseren Charakterisierung einer algebraischen
Menge bis auf Isomorphie.
Dazu betrachten wir eine algebraische Menge X ⊂ Kn und einen beliebigen Mor-
phismus ψ : X → K in die algebraische Menge K. Definitionsgem¨aß existiert ein
Polynom f ∈ K[x ,...,x ] mit ψ(a) = f(a) fu¨r alle a ∈ X. Ist g ∈ K[x ,...,x ] ein
1 n 1 n
weiteres Polynom mit ψ(a) = g(a) fu¨r alle a ∈ X, so folgt (f − g)(a) = 0 fu¨r alle
a ∈ X.
Zwei Polynome ergeben also genau dann denselben Morphismus X → K, wenn
ihre Differenz auf X verschwindet.
6
Definition 2.3 Fu¨r eine algebraische Menge X ⊂ Kn sei
I(X) = {f ∈ K[x ,...,x ] : f(a) = 0 fu¨r alle a ∈ X}.
1 n
I(X) heißt Verbindungsideal von X.
Wirk¨onnenleichtnachrechnen,dassI(X)wirklicheinIdealimPolynomringK[x ,...,x ]
1 n
ist, d.h. dass gilt
i) I(X) ist bezu¨glich der Addition eine Untergruppe von K[x ,...,x ].
1 n
ii) f ∈ I(X),h ∈ K[x ,...,x ] ⇒ hf ∈ I(X).
1 n
Definition 2.4 Der Quotientenring
O(X) = K[x ,...,x ]/I(X)
1 n
heißt Ring der regul¨aren Funktionen auf X oder auch Koordinatenring von X.
In der Literatur findet man auch die Bezeichnung K[X] statt O(X). Das haben wir
hier vermieden, da es zur Verwechslungsgefahr mit dem Polynomring fu¨hrt.
O(X) ist nicht nur ein Ring, sondern auch eine K−Algebra. Wie wir oben gesehen
haben, k¨onnen wir O(X) mit der Menge der Morphismen von algebraischen Mengen
X → K identifizieren.
Beispiel: Fu¨r X = Kn ist O(X) = K[x ,...,x ] der Polynomring.
1 n
Wir bekommen X aus O(X) wieder zuru¨ck, es gilt n¨amlich
Lemma 2.5 Es sei X eine affine algebraische Menge. Dann ist X = {a ∈ Kn : f(a) =
0 fu¨r alle f ∈ I(X)}.
Beweis : Da X eine affine algebraische Menge ist, gibt es endlich viele Polynome
f ,...,f ∈ K[x ,...,x ] mit X = {a ∈ Kn : f (a) = ... = f (a) = 0}. Diese Poly-
1 r 1 n 1 r
nome liegen in I(X), also folgt ⊃“. Die Inklusion ⊂“ folgt direkt aus der Definition
” ”
von I(X). (cid:3)
7
Ist X eine affine algebraische Menge und f ∈ O(X) ein Element des Koordinatenrings
O(X) = K[x ,...,x ]/I(X), so k¨onnen wir f als Funktion
1 n
f : X −→ K
auffassen, indem wir f = g + I(x) mit einem Vertreter g ∈ K[x ,...,x ] schreiben
1 n
und f(a) = g(a) setzen. Da alle Polynome in I(X) auf X verschwinden, h¨angt diese
Definition nicht von der Wahl des Verteters ab.
Wie verh¨alt sich der Koordinatenring von X unter Morphismen?
Dazu betrachten wir algebraische Mengen X ⊂ Kn und Y ⊂ Km sowie einen
Morphismus ϕ : X → Y. Dieser sei durch die Polynome f ,...,f ∈ K[x ,...,x ]
1 m 1 n
gegeben, d.h. es gelte
ϕ(a) = f (a),...,f (a)
1 m
fu¨r alle a ∈ X. Diese Polynome liefern einen K−Algebra-Homomorphismus
(cid:0) (cid:1)
ψ : K[x ,...,x ] → K[x ,...,x ],
1 m 1 n
der durch ψ(x ) = f (x ,...,x ) fu¨r alle i = 1,...,n gegeben ist.
i i 1 m
Ist nun g ∈ I(Y), d.h. ist g(b) = 0 fu¨r alle a ∈ Y, so ist ψ(g) = g(f ,...,f ) ein Po-
1 m
lynomink[x ,...,x ].Wirsetzena ∈ X einunderhaltenψ(g)(a) = g f (a),...,f (a) =
1 n 1 m
0, da f (a),...,f (a) = ϕ(a) ∈ X ist. Also folgt ψ I(Y) ⊂ I(X).
1 m
(cid:0) (cid:1)
(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
Daher vermittelt die Abbildung ψ einen K−Algebra-Homomorphismus
ϕ# : O(Y) = k[x ,...,x ]/I(Y) → K[x ,...,x ]/I(X) = O(X).
1 m 1 n
Definitionsgem¨aß gilt fu¨r alle g ∈ O(Y) und alle a ∈ X : ϕ#(g)(a) = g y(a) .
(cid:0) (cid:1)
Satz 2.6 Die Abbildung ϕ 7→ ϕ#, die jedem Morphismus algebraischer Mengen den
K−Algebren-Homomorphismus der Koordinatenringe zuordnet, ist eine Bijektion
{Morphismen ϕ : X → Y} −→ {K −Algebren-Homomorphismen O(Y) → O(X)}.
Beweis : WirkonstruiereneineUmkehrabbildung.DazustartenwirmiteinemK−Algebren-
Homomorphismus
α : O(Y) = K[x ,...,x ]/I(Y) → K[x ,...,x ]/I(X) = O(X)
1 m 1 n
Dieser bildet die Restklassen X +I(Y) auf Restklassen f +I(X) in O(X) mit Ver-
i i
tretern f ∈ k[x ,...,x ] ab. Jetzt betrachten wir
i 1 n
ψ : Mn −→ Km
a 7−→ f (a),...,f (a) .
1 n
Wir wissen, dass fu¨r jedes h ∈ I(Y) das(cid:0)Polynom h(f ,(cid:1)...,f ) in I(X) liegt. Also
1 m
ist h f (a),...,f (a) = 0. Nach Lemma 2.5 ist also ψ(a) = f (a),...,f (a) ∈ Y.
1 m 1 m
Somit ist ψ | : X → Y ein Morphismus algebraischer Mengen. Man rechnet leicht
X
(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
nach, dass wir so eine Umkehrabbildung zu ϕ 7→ ϕ# gefunden haben. (cid:3)
8