Algebraische Geometrie nach den Vorlesungen von Prof. Dr. Uwe Nagel

170 Pages·2007·1.13 MB·German

by  Kai Gehrs

Universit¨at Paderborn
Fakult¨at fu¨r Elektrotechnik, Informatik und Mathematik
Institut fu¨r Mathematik
Algebraische Geometrie
nach den Vorlesungen von Prof. Dr. Uwe Nagel
Kai Gehrs
[email protected]
Paderborn, 9. Mai 2007

Inhaltsverzeichnis
1 Schemata 5
1.1 Affine Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Projektive Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Hilbert-Funktion, Hilbert-Polynom etc.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Moduln 11
2.1 Definition des Moduls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 R-Modulhomomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Faktormoduln und der Homomorphiesatz fu¨r Moduln. . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Erzeugendensysteme und Basen von R-Moduln etc. . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Noethersche Moduln 21
3.1 Erste Eigenschaften noetherscher R-Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Diagrammkalku¨l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Weitere Eigenschaften noetherscher R-Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Pr¨asentation von R-Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5 Freie Au߬osungen und der Hilbertsche Syzygiensatz . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.6 Das Schlangenlemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Assoziierte Primideale und Prim¨arzerlegung 29
4.1 Assoziierte Primideale, Nullteiler und M-regul¨are Elemente . . . . . . . . . . . 29
4.2 Prim¨are und irreduzible Untermoduln eines R-Moduls . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 Prim¨arzerlegung und Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.4 Krull-Dimension und H¨ohe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.5 Verallgemeinerung der Krull-Dimension fu¨r Moduln . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.6 Krullscher Hauptidealsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5 Graduierte Moduln 43
5.1 Definition graduierter Ringe und Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2 Einige Eigenschaften graduierter A-Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.3 Graduierte Homomorphismen und Gradverschiebungen. . . . . . . . . . . . . . 47
5.4 Hilbertfunktion, Hilbertpolynom etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1
6 Liieren von Schemata 53
6.1 Ungemischte und geometrisch liierte Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2 Liierte Schemata und Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.3 Liaison-Klassen von Schemata im Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7 Ein Exkurs u¨ber Gr¨obner-Basen 59
7.1 Gr¨obner-Basen, Standardausdru¨cke und der Divisionsalgorithmus . . . . . . . . 59
7.2 Berechnung von Syzygien mit Hilfe von Gr¨obner-Basen. . . . . . . . . . . . . . 60
7.3 Idealquotienten und Idealdurchschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.4 Deformation von Idealen und das generische Initialideal . . . . . . . . . . . . . 64
7.5 Stabile Ideale und Initialideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8 Charakterisierung von Hilbertfunktionen 69
8.1 Macaulay’s Charakterisierung von Hilbertfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.2 Gotzmann’s Charakterisierung von Hilbertfunktionen. . . . . . . . . . . . . . . 73
9 Minimale freie Au߬osungen 75
9.1 Minimale freie Au߬osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.2 Regul¨are Ringe und Cohen-Macaulay Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.3 Charakterisierung von Cohen-Macaulay Moduln. . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.4 Der Koszul-Komplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
10 Homologien von Komplexen 87
10.1 Funktoren und einige ihrer Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10.2 Homologien und Morphismen von Komplexen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
10.3 Einige Eigenschaften des Ext -Funktors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
R
10.4 Einige wichtige Resultate fu¨r die Liaison-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
11 Lokale Kohomologie 107
11.1 Injektive Au߬osungen und lokale Kohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
11.2 Lokale Kohomologie und kanonischer Modul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
12 Beziehungen zwischen liierten Schemata 113
13 Raos Korrespondenz 117
13.1 E-Typ- und N-Typ-Au߬osungen und der Abbildungskegel . . . . . . . . . . . . 117
13.2 Reflexivit¨at von R-Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
13.3 Stabile A¨quivalenz von Moduln und Raos Korrespondenz . . . . . . . . . . . . 128
14 Raos Korrespondenz fu¨r Schemata der H¨ohe 2 132
14.1 Der Rang eines R-Moduls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
14.2 Injektivit¨at der Rao-Korrespondenz: H¨ohe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
14.3 Surjektivit¨at der Rao-Korrespondenz: H¨ohe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
15 Die Lazarsfeld-Rao-Eigenschaft 144
16 Appendix I: Ausblick 154
2
17 Appendix II: Hilbertfunktionen etc. 156
Einleitung und Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Hilbertfunktionen und Hilbertpolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Macaulays Charakterisierung von Hilbertfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 162
Das Regularit¨atstheorem von Gotzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Literaturverzeichnis 168
3

Kapitel 1
Schemata
Es sei K ein K¨orper. Eine graduierte K-Algebra ist eine K-Algebra, die eine Zerlegung A =
L
[A] besitzt, wobei [A] K-Vektorr¨aume sind mit der Eigenschaft [A] ·[A] ⊆ [A] .
j∈N0 j j i j i+j
DieElementein[A] heißendiehomogenenElemente inAvomGrad j.Fernergelte[A] =K.
j 0
[A] wird die homogene Komponente vom Grad j von A genannt. Fu¨r A=R=K[x ,...,x ]
j 0 n
ist [R] die Menge aller homogenen Polynome vom Grad j. Ist a ⊆ R ein homogenes Ideal,
j
so ist A:=R/a eine graduierte K-Algebra mit der Graduierung [A] ={fmoda|f ∈[R] }.
j j
Umgekehrt l¨asst sich zeigen:
Ist a ⊆ R irgendein Ideal, so liefert [R/a] = {fmoda | f ∈ [R] } eine Gradu-
j j
ierung von R/a genau dann, wenn a ein homogenes Ideal von R ist.
1.1 Affine Schemata
Beispiel 1.1. Betrachte die Ideale a = (x·(x−y)) und a = (y) in R := K[x,y] sowie die
1 2
Variet¨aten V :=V(a ) und V :=V(a ) in A2. Dann gilt V ∩V ={(0,0)}, denn
1 1 2 2 1 2
I(V ∩V )=Rad(x2,y)=(x,y).
1 2
IntuitivsolltemanaberdenSchnittpunktdoppeltz¨ahlen.DieseTatsachewirddurchdasIdeal
(x2,y) viel besser beschrieben als durch (x,y).
Dies motiviert die folgende Definition:
Definition 1.2. Ein affines Unterschema X ⊆An ist gegeben durch einen Faktorring A von
R = K[x ,...,x ]. Der Ring A heißt der Koordinatenring von X. Ist A = R/a fu¨r ein Ideal
1 n
a ⊆ R, so heißt a das definierende Ideal von X und wir schreiben I = a. Sind X,Y ⊆ An
X
affineUnterschemata,soheißtX einUnterschema vonY,fallsgilt:I ⊆I (“inklusionsum-
Y X
kehrend”). X und Y heißen isomorph, falls R/I und R/I als K-Algebren isomorph sind.
X Y
Das reduzierte Schema X ist das durch das Ideal RadI definierte Unterschema. Ist K
red X
algebraisch abgeschlossen, so ist X die Variet¨at V(RadI ) (denn der Hilbertsche Nullstel-
red X
lensatzliefertindiesemFallI(V(RadI ))=RadI ,d.h.dasdefinierendeIdealderVariet¨at
X X
V(RadI ) ist RadI , was wiederum das Schema X definiert).
X X red
5
6 KAPITEL 1. SCHEMATA
Bemerkung 1.3. Statt Unterschema sagen wir in Zukunft immer Schema, obwohl die obige
DefinitionnureinSpezialfallderallgemeinenDefinitionvonSchemataist.DieIntuitionhinter
diesem neuen Begriff ist also
Intuition: Die Punkte des Schemas X sind die Punkte der Variet¨at X . Ihre
red
Vielfachheit wird in dem Ideal I wiedergespiegelt.
X
Beispiel 1.4. (i) Das Ideal a =(xj,y)⊆K[x,y] definiert ein Unterschema X ⊆A2. Es gilt
j j
I =Rad(xj,y)=(x,y). Man nennt X auch einen dicken Punkt.
(Xj)red j
(ii) Es ist X ein Unterschema von X , da (xj,y) ⊆ (xj−1,y). Ist Y ⊆ A2 der Punkt
j−1 j
(1,1), so sind X und Y isomorphe Schemata, da fu¨r ihre Faktorringe gilt: K[x,y]/(x,y) ∼=
1
K[x,y]/(x−1,y−1).
Definition 1.5. (i)SindX,Y ⊆An affineSchemata,soistderDurchschnitt X∩Y dasdurch
I +I definierte Schema und die Vereinigung X∪Y das durch I ∩I definierte Schema.
X Y X Y
(ii)DasSchemaX ⊆An heißtirreduzibel,fallsgilt:IstX =X ∪X fu¨raffineUnterschemata
1 2
X ,X ⊆An, so folgt stets X =X oder X =X oder X =(X ) =(X ) .
1 2 1 2 red 1 red 2 red
(iii) Das Schema X ⊆An heißt reduziert, falls gilt: X =X .
red
Lemma 1.6. Es sei X ⊆An ein Schema. Dann gilt:
(i) X ist irreduzibel genau dann, wenn I ein Prim¨arideal ist.
X
(ii) X ist irreduzibel und reduziert genau dann, wenn I ein Primideal ist.
X
Erinnerung 1. Ein Ideal q ( R heißt Prim¨arideal, wenn gilt: Ist f ·g ∈ q und f ∈/ q, so
existiert ein m ∈ N mit gm ∈ q. Radikalideale von Prim¨aridealen sind Primideale. Ein Ideal
p(R heißt Primideal, wenn gilt: Ist f ·g ∈p und f ∈/ p, so folgt g ∈p.
Beweis. (a) “⇒” Sei I = q ∩...∩q eine Prim¨arzerlegung von I und Ass (I ) =
X 1 s X R X
{p ,...,p } die assoziierten Primideale. Zu zeigen ist s=1.
1 s
Annahme:s>1.DannseienX ,X ⊆An diedurchq bzw.q ∩...∩q definiertenSchemata.
1 2 1 2 s
Nach Definition 1.5 gilt X = X ∪X , aber X 6= X und X 6= X . Angenommen, es gelte
1 2 1 2
X =(X ) =(X ) . Dann folgt:
red 1 red 2 red
RadI =RadI =p =RadI =p ∩...∩p ,
X X1 1 X2 2 s
d.h. p =p fu¨r ein j ∈{2,...,s}. Widerspruch!
1 j
“⇐”EsseiX =X ∪X undI einPrim¨arideal.NachVoraussetzungistalsop:=RadI =
1 2 X X
RadI ∩RadI ein Primideal. Ohne Einschr¨ankung du¨rfen wir p=RadI annehmen.
X1 X2 X1
1. Fall: p=RadI . Dann folgt sofort X =(X ) =(X ) .
X2 red 1 red 2 red
2. Fall: p ( RadI = p ∩ ... ∩ p fu¨r gewisse Primideale p ,...,p . Dann folgt
X2 1 s 1 s
p ( p ,...,p . Wegen p = RadI , hat I eine Prim¨arzerlegung mit einer einzigen
1 s X1 X1
isolierten Komponente q. Folglich ist q auch die einzige isolierte Komponente von I =
X
I ∩I .EsfolgtwegenderEindeutigkeitisolierterKomponenteninPrim¨arzerlegungen
X1 X2
und da I ein Prim¨arideal ist
X
q=I =I ∩I ⊆I ⊆q,
X X1 X2 X1
d.h. q=I , also I =q=I . Dies zeigt X =X .
X1 X X1 1
1.2. PROJEKTIVE SCHEMATA 7
Aus Fall 1 und Fall 2 folgt die Irreduziblit¨at von X. Teil (b) folgt aus (a).
Korollar 1.7. Jedes affine Unterschema X ⊆An l¨asst sich als endliche Vereinigung irredu-
zibler Unterschemata X ,...,X ⊆An schreiben.
1 s
Beweis. Die Prim¨arzelegung von I liefert die definierenden Ideale fu¨r die irreduziblen
X
Unterschemata X ,...,X .
1 s
1.2 Projektive Schemata
Wir wollen nun die analogen Begriffe im projektiven Raum Pn einfu¨hren. Mit m :=
(x ,...,x ) ⊆ R = K[x ,...,x ] bezeichnen wir das triviale, homogene maximale Ideal von
0 n 0 n
R. Fu¨r jedes m-prim¨are Ideal q⊆R ist V(q)=∅.
Definition 1.8. Es sei a ⊆ m ein homogenes Ideal von R. Dann heißt a saturiert, falls gilt:
m∈/ Ass (a). Das Ideal
R
[
asat := (a:mj)
j≥1
heißt die Saturierung von a.
Das Ideal asat ist in der Tat saturiert: Fu¨r homogene Ideale a,b,c⊆R gilt
(i) (a∩b):c=(a:c)∩(b:c)
(ii) Ist q prim¨ar und dimR/q>0, so gilt stets: q:m=q.
Teil(i)rechnetmanelementarnach.Teil(ii)siehtmanwiefolgtein:Esistklar,dassq⊆q:m,
also ist nur noch die andere Inklusion zu zeigen. Sei f ∈ q : m. Dann gilt f ·m ∈ q fu¨r alle
m ∈ m. W¨ahle m ∈ m\Radq =: p. Dann folgt mk ∈/ p fu¨r alle k ∈ N, da p ein Primideal
ist. Wegen f ·m ∈ q und m ∈/ q folgt fk ∈ q fu¨r ein k ∈ N, da q ein Prim¨arideal ist. W¨are
f ∈/ q, so folgte aber aus der Prim¨aridealeigenschaft die Existenz eines l ∈N mit ml ∈q⊆p.
Widerspruch! Also gilt f ∈q, was die behauptete zweite Inklusion beweist.
Ist nun a⊆R ein homogenes Ideal mit der Prim¨arzerlegung a=q ∩...∩q , so gilt zun¨achst
1 s
a:mj =(q :mj)∩...∩(q :mj) fu¨r alle j ∈N.
1 s
1. Fall: Radq ( m. Dann gilt dimR/q > 0, also q : m = q nach (ii). Insbesondere
i i i i
folgtausf·x ∈q bereitsf ∈q .Istf·xk ∈q ,d.h.f ∈q :mk,sofolgt(f·xk−1)·x ∈q
j i i j i i j j i
und damit f ·xk−1 ∈ q . Iteration des Argumentes liefert f ∈ q . Es folgt q : mk ⊆ q .
j i i i i
Die umgekehrte Inklusion gilt immer, d.h. q :mk =q fu¨r beliebige k ∈N.
i i
2. Fall: Radq =m. Dann folgt S q :mj =R, da es zu jedem m∈m ein k ∈N gibt
i j≥1 i
mit mk ∈q .
i
Aus Fall 1 und Fall 2 folgt, dass asat = S (a : mj) dasjenige Ideal ist, welches man aus a
j≥1
erh¨alt, wenn man in einer Prim¨arzerlegung von a die m-prim¨aren Komponenten entfernt.
8 KAPITEL 1. SCHEMATA
Beispiel 1.9. Betrachte das Ideal a=(x2,x2,x x ,x x )⊆K[x ,x ,x ]. Nach der Formel
0 1 0 1 0 2 0 1 2
a∩b+c=(a+c)∩(b+c)
fu¨r monomiale Ideale ergibt sich die Prim¨arzerlegung von a zu
a=(x )∩(x ,x )+(x2,x2)=(x ,x2)∩(x2,x ,x ),
0 1 2 0 1 0 1 0 1 2
| {z }
m−prim¨ar
d.h. a ist nicht saturiert. Es gilt asat =(x ,x2) (a ist ein stabiles monomiales Ideal, weswegen
0 1
man mit mehr Theorie zeigen kann, dass sich die Saturierung ergibt, indem man schlicht
x :=1 in a setzt).
2
Definition 1.10. (i) Ein projektives Unterschema X ⊆ Pn ist gegeben durch einen gradu-
ierten Faktorring A von R = K[x ,...,x ], der einen homogenen Nichtnullteiler positiven
0 n
Grades enth¨alt. Ist A = R/a, so nennt man a das homogene Ideal von X. Wir schreiben
I =a. Ferner wird A als homogener Koordinatenring bezeichnet.
X
(ii) Ist a⊆m ein homogenes Ideal, so definiert a das projektive Schema R/asat.
Dass diese Definition sinnvoll ist, zeigt das folgende Lemma:
Lemma 1.11. R/a besitzt einen homogenen Nichtnullteiler positiven Grades genau dann,
wenn a⊆R ein homogenes, saturiertes Ideal ist.
Beweis. “⇒” Sei f ∈ R Repr¨asentant einen homogenen Nichtnullteilers von R/a. Dann ist
die Abbildung
fmoda
ν :R/a −−−−−→ R/a, gmoda7→(f ·g)moda
injektiv. Wir zeigen, dass gilt: a : f = a. Klar ist a ⊆ a : f. Sei g ∈ a : f. Dann gilt:
f · g ∈ a. Es folgt: f · g ∈ a genau dann, wenn ν(g) = 0 genau dann, wenn gmoda =
0 genau dann, wenn g ∈ a. Dies zeigt die Behauptung. W¨are nun m ∈ Ass(a), so folgte
fmoda ∈ mmoda und f w¨are ein Nullteiler von R/a (sp¨ater l¨asst sich an dieser Stelle ein
eleganteresArgumentanwenden:DieMengederNullteilervonR/aistgeradedieVereinigung
der assoziierten Primideale von a. Dann folgt aus f ∈m und m∈Ass(R/a) sofort, dass f ein
Nullteiler sein muss.). Widerspruch!
“⇐” Es sei a = q ∩...∩q eine Prim¨arzerlegung und p = Radq , i = 1,...,s. Wegen
1 s i i
p ( m fu¨r i = 1,...,s liefert das Primvermeidungslemma die Existenz eines homogenen
i
f ∈m\Ss p . Dann ist f ein Nichtnullteiler von R/a.
i=1 i
Bemerkung 1.12. (i) Fu¨reinhomogenes Ideal a⊆R gilt: a ist m-prim¨ar genaudann, wenn
Rada=m.
(ii) Aus Lemma 1.11 und Definition 1.10 folgt die “Eins-zu-Eins”-Korrespondenz:
 
 projektive   gvroanduKie[xrt0e,.F.a.k,txonr]rimngite   K[wx0o,b.e.i.a,xenin]/a, 
Unterschemata ←→ einem homogenen ←→
homogenes, saturiertes
 von Pn   pNosiicthivtnenulGlterialderes   Ideal ist 
(iii) Ist a ein homogenes m-prim¨ares Ideal, so sagen wir, dass R/a das leere Schema definiert.