Algebraische Geometrie I WS 2008/2009

129 Pages·2009·0.78 MB·German

by  Uwe Jannsen

Algebraische Geometrie I
Prof. Dr. Uwe Jannsen
Wintersemester 2008/09
Inhaltsverzeichnis
0 Einfu¨hrung 1
1 Hilberts Nullstellensatz 3
Anhang 1.A Moduln und Algebren 11
2 Die Zariski-Topologie und regul¨are Abbildungen 17
Anhang 2.A Lokalisierungen 29
3 Garben und projektive Variet¨aten 33
Anhang 3.A Exakte Sequenzen 47
4 Dimension und irreduzible Komponenten 52
5 Das Spektrum eines Rings 57
6 Endliche und ganze Ringerweiterungen 68
7 Dimension von endlich erzeugten k-Algebren und Variet¨aten 74
Anhang 7.A Der Transzendenzgrad 81
8 Krulls Hauptidealsatz und lokale Dimensionstheorie 84
9 Schemata 92
Anhang 9.A Kategorien, Limiten und Funktoren 104
10 Beispiele und erste Eigenschaften von Schemata 113

0 Einfu¨hrung
Die lineare Algebra hat ihren Ursprung in der Betrachtung von linearen Gleichungssystemen
a x + ... + a x = b
11 1 1n n 1
. . .
. . .
. . .
a x + ... + a x = b
m1 1 mn n m
u¨ber einem K¨orper. Um die L¨osungsmengen zu studieren, ihre Eigenschaften, ihre Gr¨oße,
wird ein neues Konzept eingefu¨hrt: die Vektorr¨aume. Deren Gr¨oße wird durch die Dimension
bestimmt, hierfu¨r braucht man wiederum Basen. Außerdem braucht man geeignete Abbil-
dungen zwischen Vektorr¨aumen; insbesondere erh¨alt man so den Begriff der Isomorphie von
Vektorr¨aumen. Als sinnvolle Verallgemeinerung erh¨alt man die Theorie von Moduln u¨ber
Ringen, die auch fu¨r die Zahlentheorie wichtig ist.
Die algebraische Geometrie hat ihren Ursprung in der Betrachtung von polynomialen Glei-
chungssystemen
f (x ,...,x ) = 0
1 1 n
.
(0) ..
f (x ,...,x ) = 0
m 1 n
u¨ber einem K¨orper K. Hierbei sind f ,...,f ∈ K[X ,...,X ], also Polynome in mehreren
1 m 1 n
Variablen mit Koeffizienten in K. Die L¨osungsmengen sind im Allgemeinen keine Untervek-
torr¨aume in Kn mehr, aber es wird wieder ein neues Konzept entwickelt, um diese Mengen
zu verstehen: die algebraischen Variet¨aten. Fu¨r diese wird auch wieder ein Dimensionsbegriff
entwickelt, und zwar mit der Hilfe von Ringen und Idealen. Es werden auch wieder geeigne-
te Abbildungen zwischen Variet¨aten definiert, die sogenannten polynomialen Abbildungen,
mit deren Hilfe man sagen kann, wann zwei Variet¨aten isomorph sind. Als sinnvolle Ver-
allgemeinerung erh¨alt man die Theorie der Schemata, die unabdingbar ist, wenn man den
Grundk¨orper durch einen Ring ersetzt.
BetrachtetmanpolynomialeGleichungenu¨berQoderZ(oderu¨berZahlk¨orpern,Zahlringen,
endlichen K¨orpern), so spricht man von diophantischen Gleichungen, und man kommt zu
zahlentheoretischen Fragen und Methoden, z.B. bei der Fermat-Gleichung
xn +yn = zn (x,y,z ∈ Z).
Das Fermat-Problem wurde 1994 von Wiles und Taylor durch Anwendung der algebraischen
Geometrie in ihrer modernsten Form (kein Grundk¨orper, Theorie der Schemata) gel¨ost.
Die Verbindung von Algebraischer Geometrie und Zahlentheorie nennt man auch Arithme-
tische Geometrie. Aber die Algebraische Geometrie hat interessante Anwendungen in vielen
weiteren Gebieten, z.B. in der Algebra, der Topologie, der Gruppentheorie, der Kodierungs-
theorie, der mathematischen Physik und vielen anderen.
DiealgebraischeGeometrieverwendeteinegeometrischeSpracheundSichtweiseundbenutzt
die Theorie kommutativer Ringe – die sogenannte kommutative Algebra – um die geometri-
sche Anschauung in exakte Definitionen und S¨atze umzuwandeln. Dies beginnt im n¨achsten
1
Kapitel, in dem wir ein polynomiales Gleichungssystem (0) mit Ringtheorie in Verbindung
setzen.
Vereinbarung: Alle Ringe seien kommutativ mit Eins, wenn nichts anderes erw¨ahnt wird.
2
1 Hilberts Nullstellensatz
Der Zusammenhang zwischen dem polynomialen Gleichungssystem
f (X ,...,X ) = 0
1 1 n
.
(1) ..
f (X ,...,X ) = 0
m 1 n
und Ringen ist einfach: Man betrachtet den Ring
R = R(f ,...,f ) = k[X ,...,X ]/ < f ,...,f >,
1 m 1 n 1 m
wobei < f ,...,f > das von den Elementen f ,...,f in k[X ,...,X ] erzeugte Ideal
1 m 1 m 1 n
bezeichnet (in der Literatur wird oft die Bezeichnung (f ,...,f ) verwendet). Wir wollen
1 n
nun zeigen, dass es enge Beziehungen zwischen R und der Nullstellenmenge
Z(f ,...,f ) := {a = (a ,...,a ) ∈ Kn | f (a ,...,a ) = 0 ∀i = 1,...,m}
1 m 1 n i 1 n
der f gibt, d.h., der L¨osungsmenge der Gleichung (1).
i
Satz 1.1 (Hilberts Nullstellensatz, 1. Form) Sei k algebraisch abgeschlossen. Die maximalen
Ideale von k[X ,...,X ] sind die Ideale von der Form
1 n
m = < X −a ,...,X −a >
1 1 n n
mit a ,...,a ∈ k.
1 n
Wir leiten dies aus der folgenden Version her:
Satz 1.2 (Hilberts Nullstellensatz, 2. Form) Sei k beliebig. Ist m ⊆ R = R(f ,...,f ) ein
1 m
maximalesIdealundL = R/mderRestklassenk¨orper,soistLeineendlicheK¨orpererweiterung
von k.
Satz 1.1 folgt aus Satz 1.2: Zun¨achst beweisen wir, dass
m = < X −a ,...,X −a >
1 n
ein maximales Ideal ist. Sei a = (a ,...,a ) gegeben und
1 n
ϕ = ϕ : k[X ,...,X ] → k
a 1 n
f (cid:55)→ f(a ,...,a )
1 n
der Einsetzungshomomorphismus. Dieser ist surjektiv. Das Ideal m liegt offenbar im Kern,
und wir erhalten mit dem Homomorphiesatz eine Surjektion
ϕ : k[X ,...,X ]/m (cid:179) k.
1 n
Wir behaupten, dass ϕ ein Isomorphismus ist (Dann ist gezeigt, dass m maximales Ideal ist,
siehe Algebra I, 3.32 (b)). Wir konstruieren eine Umkehrabbildung ψ. Definiere
ψ : k → k[X ,...,X ]/m
1 n
b (cid:55)→ b = b mod m.
3
Offenbar ist ϕ ◦ ψ = id und daher ψ injektiv. Andererseits ist ψ surjektiv, da X ≡ a
i i
mod m fu¨r i = 1,...,n und damit f ≡ f(a ,...,a ) mod m fu¨r jedes f = f(X ,...,X ) ∈
1 n 1 n
k[X ,...,X ]. Es folgt, dass ϕ bijektiv ist.
1 n
Ist nun umgekehrt m ⊆ k[X ,...,X ] ein maximales Ideal, so ist L = k[X ,...,X ]/m ein
1 n 1 n
K¨orper und nach Satz 1.2 (fu¨r m = 1 und f = 0) eine endliche Erweiterung von k. Ist k
1
algebraisch abgeschlossen, so ist L = k. Dies bedeutet, dass die kanonische Abbildung
ϕ
k (cid:44)→ k[X ,...,X ] (cid:179) k[X ,...,X ]/m = L
1 n 1 n
einK¨orperisomorphismusist.Seia ∈ k dasElement,dasaufX = X mod minLabgebildet
i i i
wird. Dann liegt X −a ∈ kerϕ = m, also < X −a ,...,X −a >⊆ m. Da das linke Ideal
i i 1 1 n n
nach dem ersten Schritt maximal ist, folgt Gleichheit.
Bemerkung 1.3 Der Beweis zeigt, dass a ,...,a eindeutig durch m bestimmt sind.
1 n
Zum Beweis von Satz 1.2 benutzen wir:
Lemma 1.4 (Artin-Tate) Seien R ⊂ S ⊂ T Ringe, sei R noethersch und T als R-Algebra
endlich erzeugt. Sei weiter T als S-Modul endlich erzeugt. Dann ist auch S als R-Algebra
endlich erzeugt.
Definition 1.5 Seien R ⊂ S Ringe.
(a) S wird ein R-Modul durch die Multiplikation in S (rs = Produkt in S fu¨r r ∈ R,s ∈ S).
(b) S ist auch eine R-Algebra. Sind x ,...,x ∈ S, so sei
1 n
R[x ,...,x ] = {f(x ,...,x ) | f ∈ R[X ,...,X ]}
1 n 1 n 1 n
die Menge aller polynomialen Ausdru¨cke in den x mit Koeffizienten in R. Die ist die kleinste
i
R-UnteralgebravonS,diex ,...,x enth¨alt.R[x ,...,x ]istauchdasBilddesEinsetzungs-
1 n 1 n
morphismus
R[X ,...,X ] → S
1 n
f (cid:55)→ f(x ,...,x ).
1 n
(c) S heißt als R-Algebra endlich erzeugt – oder von endlichem Typ u¨ber R, wenn es end-
lich viele Elemente x ,...,x ∈ S gibt mit S = R[x ,...,x ]. Das heißt also, dass der
1 n 1 n
Einsetzungshomomorphismus in (b) surjektiv ist. A¨quivalent ist, dass es eine Surjektion
R[X ,...,X ] (cid:179) S von R-Algebren gibt.
1 n
(d) Allgemeiner heißt eine R-Algebra S u¨ber einem Ring R endlich erzeugt, oder von endli-
chem Typ u¨ber R, wenn es einen surjektiven R-Algebrenhomomorphismus R[X ,...,X ] (cid:179)
1 n
S gibt.
Beweis von Lemma 1.4 Sei T = R[x ,...,x ], und sei {w ,...,w } ein Erzeugendensy-
1 n 1 m
stem von T als S-Modul, welches x ,...,x enth¨alt. Dann gibt es aik ∈ S mit
1 n (cid:96)
(cid:88)m
(2) w ·w = aikw (i,k,(cid:96) = 1,...,m).
i k (cid:96) (cid:96)
(cid:96)=1
4
Fu¨r den Ring
S(cid:48) = R[aik | i,k,(cid:96) ∈ {1,...,m}] ⊆ S
(cid:96)
wird dann T als S(cid:48)-Modul von w ,...,w erzeugt. Denn es gilt x ∈ S(cid:48)w +...+S(cid:48)w und
1 m i 1 m
wegen (2) auch
x2,x3,...,xr ∈ S(cid:48)w +...+S(cid:48)w
i i i 1 m
fu¨r alle i = 1,...,m und alle r. Daher gilt T = R[x ,...,x ] = S(cid:48)w + ... + S(cid:48)w . Da
1 n 1 m
R noethersch ist, ist auch S(cid:48) noethersch, nach dem Hilbertschen Basissatz (Algebra I, 5.9,
5.10). Wegen S(cid:48) ⊂ S ⊂ T ist also auch S ein endlich erzeugter S(cid:48)-Modul, also eine endlich
erzeugte R-Algebra, da dies fu¨r S(cid:48) gilt (U¨bungsaufgabe).
Lemma 1.6 Der rationale Fuktionenk¨orper k(X) = Quot(k[X]) ist nicht endlich erzeugt als
k-Algebra.
Beweis Angenommen, k(X) = k[x ,...,x ] mit x ∈ k(X). Sei
1 n i
f (X)
i
x = mit f ,g ∈ k[X].
i i i
g (X)
i
Dann gilt fu¨r jedes Q ∈ k(X)
f(X)
Q = , f,g ∈ k[X],
g(X)
wobei der Nenner g(X) nur von den irreduziblen Polynomen p ,...,p geteilt wird, die eins
1 r
der g teilen. Dies sind nur endlich viele. Ist p(X) ein irreduzibles Polynom, das teilerfremd
i
zu allen p ist, so ergibt die Gleichung
i
1 f
=
p g
den Widerspruch g = p · f. Beachte: In k[X] gibt es unendlich viele irreduzible, paarweise
nicht-assoziierte Polynome, nach demselben Schluss mit dem man zeigt, dass es unendlich
viele Primzahlen p ∈ Z gibt (U¨bungsaufgabe).
Damit fu¨hren wir nun den
Beweis von Satz 1.2: Es genu¨gt zu zeigen
Satz1.7(HilbertsNullstellensatz,3.(k¨orpertheoretische)Form)IstL/k eineK¨orpererweiterung
und L = k[x ,...,x ] mit x ,...,x ∈ L, so ist L/k endlich.
1 n 1 n
Beweis Wir fu¨hren Induktion u¨ber n. Ist n = 1 und x transzendent u¨ber k, so ist k[x ]
1 1
isomorph zum Polynomring, also kein K¨orper (x ist nicht invertierbar). Also ist x algebra-
1 1
isch u¨ber k und damit k[x ] endlich u¨ber k. Ist nun die Behauptung fu¨r n−1 bewiesen und
1
L = k[x ,...,x ], so ist auch L = k(x )[x ,...,x ], und nach Induktionsvoraussetzung ist
1 n 1 2 n
L endlich u¨ber k(x ). Nach Lemma 1.4, angewendet auf k ⊆ k(x ) ⊂ L, ist k(x ) endlich er-
1 1 1
zeugte k-Algebra. Nach Lemma 1.6 kann x nicht transzendent sein. Also ist x algebraisch,
1 1
damit k(x )/k endlich, damit L/k endlich.
1
5
Wir leiten jetzt einige Folgerungen von Satz 1.1 ab.
Corollar 1.8 Sei k algebraisch abgeschlossen. Es gibt eine Bijektion
kn → Max(k[X ,...,X ])
1 n
(a ,...,a ) (cid:55)→ < X −a ,...,X −a >,
1 n 1 1 n n
wobei Max(R) die Menge der maximalen Ideale eines Rings R bezeichnet.
Dies folgt aus Satz 1.1 (Wohldefiniertheit und Surjektivit¨at) und Bemerkung 1.3 (Injekti-
vit¨at).
Corollar 1.9 Sei k algebraisch abgeschlossen, und seien f ,...,f ∈ k[X ,...,X ]. Die
1 m 1 n
Bijektion in 1.8 induziert eine Bijektion
Z(f ,...,f ) → Max(R(f ,...,f ))
1 m 1 m
(a ,...,a ) (cid:55)→ < X −a ,...,X −a > .
1 n 1 1 n n
Hierbei ist X −a = X −a mod < f ,...,f > das Bild von X −a in R(f ,...,f ) =
i i i i 1 m i i 1 m
k[X ,...,X ]/ < f ,...,f >. (Dies zeigt, dass die Nullstellenmenge der f nur von dem
1 n 1 m i
Ring R(f ,...,f ) abh¨angt).
1 m
Zum Beweis benutzen wir
Lemma 1.10 Sei A ein Ring und a ⊆ A ein Ideal. Dann hat man zueinander inverse
Bijektionen
ϕ
{Ideale von A(cid:48) := A/a} (cid:192) {Ideale b ⊆ A mit a ⊆ b}
ψ
b(cid:48) (cid:55)→ π−1(b(cid:48))
b/a ←(cid:112) b,
wobei π : A (cid:179) A(cid:48) = A/a die kanonische Surjektion ist. Hierbei entsprechen sich die Prim-
ideale auf beiden Seiten und die maximalen Ideale auf beiden Seiten.
Beweis Es ist klar, dass die Abbildungen wohldefiniert und zueinander invers sind. Weiter
gilt fu¨r b aus der rechten Menge und das zugeh¨orige b(cid:48) = b/a aus der linken Menge
A(cid:48)/b = (A/a)/(b/a) ←∼ A/b.
Dies zeigt die weiteren Behauptungen, da b genau dann Primideal (bzw. maximales Ideal)
ist, wenn A/b Integrit¨atsring (bzw. K¨orper) ist; entsprechend fu¨r b(cid:48).
Beweis von Corollar 1.9: Mittels 1.10 k¨onnen wir Max(R(f ,...,f )) mit der Menge
1 n
{m ∈ Max(k[X ,...,X ]) |< f ,...,f >⊆ m}
1 n 1 m
identifizieren. Sei nun m ∈ Max(k[X ,...,X ]). Nach 1.8 ist m =< X −a ,...,X −a >
1 n 1 1 n n
mit eindeutig bestimmten a ,...,a ∈ k. Weiter haben wir gesehen, dass m der Kern des
1 n
Einsetzungshomomorphismus
k[X ,...,X ] → k
1 n
f (cid:55)→ f(a ,...,a )
1 n
6
ist. Fu¨r f ∈ k[X ,...,X ] gilt also
1 n
f ∈ m ⇔ f(a ,...,a ) = 0.
1 n
Zusammen ergibt sich fu¨r a = (a ,...,a ) ∈ kn
1 n
< f ,...,f > ⊆ m
1 m
⇔ f ,...,f ∈ m
1 m
⇔ f (a) = ... = f (a) = 0
1 m
⇔ a ∈ Z(f ,...,f ).
1 m
Sind diese Bedingungen erfu¨llt, so gilt weiter, dass
< X −a ,...,X −a > = < X −a ,...,X −a > / < f ,...,f >
1 1 n n 1 1 n n 1 m
das maximale Ideal in R(f ,...,f ) ist, welches m unter der Bijektion 1.10 zugeordnet ist.
1 m
Dies zeigt die Behauptung von 1.9.
Zusammenfassend haben wir also ein kommutatives Diagramm (k algebraisch abgeschlosse-
ner K¨orper)
(3) kn 1.8 (cid:47)(cid:47)Max(k[X ,...,X ])
(cid:79)(cid:79) bij. 1(cid:79)(cid:79) n
1.10
(cid:194)(cid:63) (cid:194)(cid:63)
Z(f ,...,f ) 1.9 (cid:47)(cid:47)Max(R(f ,...,f ))
1 m bij. 1 m
(wobei 1.10 noch das Bild der rechten Injektion charakterisiert).
Corollar 1.11 (3. Version von Hilberts Nullstellensatz) Sei k algebraisch abgeschlossen und
seien f ,...,f ∈ k[X ,...,X ]. Dann hat das Gleichungssystem
1 m 1 n
f (x ,...,x ) = 0
1 1 n
.
.
.
f (x ,...,x ) = 0
m 1 n
genau dann eine L¨osung in k, wenn das Ideal < f ,...,f > nicht gleich k[X ,...,X ] ist.
1 m 1 n
Beweis Der Ring R(f ,...,f ) hat genau dann ein maximales Ideal, wenn er nicht der
1 m
Nullring ist, d.h., wenn < f ,...,f >(cid:36) k[X ,...,X ].
1 m 1 n
Bemerkung 1.12 Sei A ein Ring. Ein Ideal a ⊆ A ist genau dann gleich A, wenn 1 ∈
a. Also ist in der Situation von 1.11 das Gleichungssystem genau dann unl¨osbar, wenn es
g ,...,g ∈ k[X ,...,X ] gibt mit
1 m 1 n
1 = g f +...+g f .
1 1 m m
Fu¨r das Folgende bemerken wir, dass die Nullstellenmenge Z(f ,...,f ) von Polynomen
1 m
f ,...,f ∈ k[X ,...,X ] nur vom Ideal < f ,...,f > abh¨angt: Da jedes Element hieraus
1 m 1 n 1 m
(cid:80)m
von der Form f = g f mit g ∈ k[X ,...,X ] ist, gilt
i i i 1 n
i=1
(4) Z(f ,...,f ) = Z(< f ,...,f >),
1 m 1 m
7
wobei wir definieren:
Definition 1.13 Fu¨r ein beliebiges Ideal a ⊂ k[X ,...,X ] definiere seine Nullstellenmenge
1 n
in kn durch
Z(a) = {a = (a ,...,a ) ∈ Kn | f(a) = 0 fu¨r alle f ∈ a}.
1 n
Bemerkung 1.14 (a) Da nach Hilberts Basissatz jedes Ideal a ⊂ k[X ,...,X ] endlich
1 n
erzeugt ist, zeigt (4), dass wir keine neuen Nullstellenmengen erhalten.
(b) Aus a ⊆ a(cid:48) folgt offenbar Z(a(cid:48)) ⊆ Z(a).
(c) Der Ring k[X ,...,X ]/a ist eine endlich erzeugte k-Algebra. Ist umgekehrt A eine
1 n
endlich erzeugte k-Algebra, so gibt es eine Surjektion von k-Algebren ϕ : k[X ,...,X ] → A
1 n
∼
fu¨r geeignetes n. Mit a = kerϕ erh¨alt man eine Isomorphie k[X ,...,X ]/a → A. Die Ringe
1 n
R(f ,...,f ) sind also gerade (bis auf Isomorphie) alle endlich erzeugten k-Algebren.
1 m
Definition 1.15 Eine Teilmenge M ⊆ kn heißt algebraisch, wenn M = Z(a) fu¨r ein Ideal
a ⊆ k[X ,...,X ]ist(d.h.,nachBemerkung1.14(a),wennM = Z(f ,...,f )fu¨rPolynome
1 n 1 m
f ,...,f ∈ k[X ,...,X ] ist).
1 m 1 n
Umgekehrt k¨onnen wir zu jeder Teilmenge M ⊂ kn ein Ideal definieren:
Definition 1.16 Sei M ⊆ kn eine Teilmenge. Das Verschwindungsideal von M ist das Ideal
I(M) = {f ∈ k[X ,...,X ] | f(a) = 0 fu¨r alle a ∈ M}.
1 n
Dass dies ein Ideal liefert, ist offensichtlich. Weiter gilt offenbar:
(5) M ⊆ M(cid:48) ⇒ I(M(cid:48)) ⊂ I(M).
Wir haben also zwei Inklusions-umkehrende Abbildungen
Z
{Ideale von k[X ,...,X ]} (cid:192) {Teilmengen von kn}
1 n
(6) I
a (cid:55)→ Z(a)
I(M) ←(cid:112) M
Dabei gilt offenbar
M ⊆ Z(I(M))
(7)
a ⊆ I(Z(a)).
Das Bild von Z besteht per Definition aus den algebraischen Teilmengen. Wir untersuchen
nun das Bild von I.
Lemma/Definition 1.17 Sei R ein Ring (kommutativ, mit Eins).
(a) Fu¨r ein Ideal a ⊆ R ist
√
a := {f ∈ R | ∃ n ∈ N mit fn ∈ a}
ein Ideal und heißt das Radikal von a.
8