SkriptzurVorlesung Algebraische Geometrie 1 Sommersemester 2013 Frankfurt am Main Prof.Dr.AnnetteWerner Inhaltsverzeichnis 1 Das Spektrum eines Ringes 1 2 Projektive Spektren 12 3 Garben 23 4 Schemata 39 5 Projektive Schemata 54 6 Faserprodukte 59 7 Eigenschaften von Schemata und ihren Morphismen 73 8 Separierte und eigentliche Morphismen 84 1 Das Spektrum eines Ringes Wir wollen nun für jeden Ring A einen topologischen Raum SpecA definieren, den wirspäterzueinem„affinenSchema“machenwerden.Esseidaranerinnert,dassalle unsereRingekommutativmit1sind. Definition1.1 SeiAeinRing. i) DasSpektrumvonAistdefiniertals SpecA = p : p APrimideal . { ⊂ } ii) FürjedesIdeala Asei ⊂ V(a) = p : p APrimidealmita p SpecA. { ⊂ ⊂ } ⊂ Beispiele: i) IstK einKörper,soistSpecK = 0 eineEinpunktmenge. { } ii) FürA = Zgilt SpecZ = 0 (p) : pPrimzahl . { }∪{ } FürdasIdeal(n) = nZmitn Ngilt ∈ V((n)) = (p) : pPrimzahl,p n , fallsn = 0ist, { | } 6 sowieV((0)) = Z. DieMengeV(a)verhaltensichähnlichwiedieNullstellenmengenaus§3. Lemma1.2 FürIdealea,b,(a ) inA,I einebeliebigeIndexmenge,gilt i i I ∈ i) V((0)) = SpecA, V(A) = . ∅ ii) Ista b,sofolgtV(b) V(a). ⊂ ⊂ iii) V(a b) = V(a) V(b). ∩ ∪ iv) V( a ) = V(a ). i i i I i I ∈ ∈ P T Beweis: i) JedesPrimidealenthält0,keinPrimidealenthält1. ii) IstpinV(b),soistpeinPrimidealmitb p.Alsogiltaucha p,d.h.p V(a). ⊂ ⊂ ∈ iii) Ist p V(a) V(b), so ist p ein Primideal mit a p und b p. Somit ist auch ∈ ∪ ⊂ ⊂ a b p,alsop V(a b). ∩ ⊂ ∈ ∩ Ist umgekehrt p ein Primideal mit a b p und a p, so müssen wir b p ∩ ⊂ 6⊂ ⊂ zeigen.Esexistiertalsoeinf amitf / p.Seig beinbeliebigesElement.Dann ∈ ∈ ∈ istfg a b p.DapeinPrimidealist,folgtf p(wasausgeschlossenist)oder ∈ ∩ ⊂ ∈ g p.Alsoistg p,d.h.b p. ∈ ∈ ⊂ iv) Da für alle i I die Inklusion a a gilt, ist nach i) V( a ) V(a ). i i i i ∈ ⊂ ⊂ i I i I i I Ist umgekehrt p ein Primideal mit a P∈ p für alle i I, so foPl∈gt a T∈ p, d.h. i i ⊂ ∈ ⊂ i I p V( a ). P∈ i ∈ i I P∈ (cid:3) Definition1.3 WirnenneneineTeilmengeU SpecAoffen,wenneseinIdeala A ⊂ ⊂ gibtmit U = SpecA V(a). \ DieMengeSpecAzusammenmitdensodefiniertenoffenenTeilmengenisteintopolo- gischerRaum,dennnachLemma4.2gilt i) undSpecAsindoffen. ∅ ii) EndlicheSchnitteoffenerMengensindoffen. iii) BeliebigeVereinigungenoffenerMengensindoffen. DiesodefinierteTopologieaufSpecAheißtZariski-Topologie. Beispiel:DieoffenenTeilmengenvonSpecZsind , SpecZundalleMengenderForm ∅ SpecZ (p1),...,(pr) fürendlich viele Primzahlen p1,...,pr. Wir haben nämlich oben \{ } gesehen, dass die Mengen V(a) für ein Ideal a SpecZ gerade die folgenden sind: ⊂ V((0)) = SpecZ,V((1)) = undV((n)) = (p) : p n fürn ≧ 2. ∅ { | } Seite2 Jedenicht-leereoffeneMengeinSpecZenthältalsodenPunkt(0).Insbesondereistdie Zariski-TopologieaufSpecZnichtHausdorff’sch. Definition1.4 Fürjedesf Asei ∈ D(f) = p SpecA : f / p SpecA. { ∈ ∈ } ⊂ DieTeilmengeD(f) SpecAistoffen,dennesgilt ⊂ D(f) = SpecA V((f)), \ wobei(f)dasvonf erzeugteHauptidealinAist. DieoffenenMengenD(f)fürf AbildeneineBasisderZariski-TopologieaufSpecA, ∈ d.h. für jedes p SpecA und jede offene Teilmenge U SpecA mit p U gibt es ein ∈ ⊂ ∈ f AmitD(f) U.JedesoffeneU mitp U (d.h.jedeoffeneUmgebungU vonp)ist ∈ ⊂ ∈ nämlichvonderForm U = SpecA V(a) \ füreinIdeala A.Dap U ist,folgtnatürlichp / V(a),d.h.a p.Somitexistiertein ⊂ ∈ ∈ 6⊂ f a mit f / p. Also gilt p D(f). Wegen f a folgt außerdem V(a) V((f)), also ∈ ∈ ∈ ∈ ⊂ D(f) U. ⊂ Esseiϕ : A B einRinghomomorphismus.DanndefinierenwireineAbbildung → f = Specϕ : SpecB SpecA → durch f(p) = ϕ 1(p). Da für jedes Primideal p B das Urbild ϕ 1(p) A ein − − ⊂ ⊂ Primidealist(Übungsaufgabe),istf wohldefiniert. Lemma1.5 Esseiϕ : A B einRinghomomorphismusundf : SpecB SpecAdie → → zugehörigeAbbildung.Danngilt: i) f iststetig. ii) Ista AeinIdealinAundϕ(a)B dasvonϕ(a)erzeugteIdealinB,sogilt ⊂ f 1(V(a)) = V(ϕ(a)B). − Seite3 iii) Istg A,sogiltf 1(D(g)) = D(ϕ(g)). − ∈ iv) Istϕsurjektiv,soinduziertf einenHomöomorphismus(alsoeinebijektive,steti- geAbbildungmitstetigerUmkehrabbildung) f : SpecB V(Kernϕ). → Beweis: i) Folgt sofort aus ii), denn es genügt zu zeigen, dass Urbilder abgeschlossener Mengenabgeschlossensind. ii) Seia AeinIdeal.DanngiltfürjedesPrimidealpvonB: ⊂ p f 1(V(a)) ϕ 1(p) V(a) − − ∈ ⇔ ∈ a ϕ 1(p) − ⇔ ⊂ ϕ(a)B p ⇔ ⊂ p V(ϕ(a)B). ⇔ ∈ iii) f 1(D(g)) besteht aus allen Primidealen in B, so dass g / ϕ 1(p) gilt. Das ist − − ∈ äquivalentzuϕ(g) / p,alsozup D(ϕ(g)). ∈ ∈ iv) FürjedesPrimidealp B giltKernϕ ϕ 1(p),alsoistBild(f) V(Kernϕ). − ⊂ ⊂ ⊂ Seiq V(Kernϕ)einbeliebigesPrimideal.Daϕsurjektivist,istϕ(q)einIdealin ∈ B (Übungsaufgabe). Dies ist sogar ein Primideal. Gilt nämlich ϕ(f)ϕ(g) ϕ(q) ∈ für f,g A, so existiert ein h Kernϕ mit fg h q. Da Kernϕ q ist, folgt ∈ ∈ − ∈ ⊂ fg q,alsof qoderg q.Somitistϕ(f) ϕ(q)oderϕ(g) ϕ(q). ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ DieAbbildung f˜: V(Kernϕ) SpecB → q ϕ(q) 7→ isteineUmkehrabbildungzuf,wiemanleichtnachrechnet.Fernergilt f˜ 1(V(b)) = V(ϕ 1(b)), − − Seite4 also ist f˜ ebenfalls stetig. Damit ist f ein Homöomorphismus SpecB → V(Kernϕ). (cid:3) Beispiel:InSpecZgiltV((9)) = V((3)) = SpecZ 3 . \{ } Wir wollen jetzt analysieren, unter welchen Umständen verschiedene Ideale in A dieselbeabgeschlosseneTeilmengeinSpecAinduzieren.Dazubrauchenwirfolgendes Lemma. Lemma1.6 Es sei a A ein Ideal. Dann ist √a gleich dem Schnitt aller Primideale in ⊂ A,dieaenthalten. Beweis:Istf √a,soliegtfk afüreink ≧ 1.Istp AeinbeliebigesPrimidealmit ∈ ∈ ⊂ a p,sofolgtausfk a palsof p.Dahergilt√a p. ⊂ ∈ ⊂ ∈ ⊂ Seiumgekehrtf AeinElement,dasnichtin√aenthaltenist.Alsogiltfürallek ≧ 1, ∈ dassfk nichtinaliegt.WirbetrachtennundieMenge Σ = b : b AIdealmita b,sodassfürallek ≧ 1dasElementfk nichtinbliegt}. { ⊂ ⊂ DieseMengeenthälta,istalsoinsbesonderenichtleer. Wir betrachten eine bezüglich der Inklusion total geordnete Teilmenge b : i I i { ∈ } von Σ. Dann ist b ein Ideal in A, das a enthält, aber kein fk. Also ist b Σ i i ∈ i I i I eineobereSchrankS∈e.NachdemLemmavonZornhatΣsomiteinmaximalesES∈lementp. Wirzeigen,dasspeinPrimidealist.Angenommen,x / pundy / pfürElementex,y ∈ ∈ ∈ A.Dannsindp+(x)undp+(y)IdealeinA,dieechtgrößeralspsind.DapinΣmaximal ist,könnenwederp+(x)nochp+(y)inΣliegen.DabeideIdealeaenthalten,existieren k,l ≧ 1mitfk p+(x)undfl p+(y).Daheristfk+l (p+(x))(p+(y)) p+(xy). ∈ ∈ ∈ ⊂ Alsoistp+(xy) / Σ,worausxy / pfolgt.DaheristpinderTateinPrimidealinV(a) ∈ ∈ mitf / p.Daf dannnichtimSchnittallerPrimidealeseinkann,dieaenthalten,folgt ∈ dieandereInklusion. (cid:3) Seite5 Satz1.7 Es gilt V(a) V(b) genau dann, wenn b √a ist. Insbesondere ist V(a) = ⊂ ⊂ V(b)genaudann,wenn√a = √bist. Beweis:IstV(a) V(b),sofolgtb √b = p p = √a. ⊂ ⊂ ⊂ p V(b) p V(a) ∈ ∈ T T Umgekehrt folgt aus b √a = p, dass jedes Primideal, das a enthält, auch b ⊂ p V(a) ∈ enthält.AlsogiltV(a) V(b). T (cid:3) ⊂ NununtersuchenwirdieTopologieaufSpecA.DazubrauchenwirfolgendenBegriff. Definition1.8 EsseiT eintopologischerRaum.EinenichtleereTeilmengeZ T heißt ⊂ irreduzibel, wenn Z nur auf triviale Weise als Vereinigung von in Z abgeschlossenen Mengengeschriebenwerdenkann,d.h.aus Z = Z Z 1 2 ∪ mitZ ,Z Z abgeschlossenfolgt 1 2 ⊂ Z = Z oderZ = Z. 1 2 HierheißtZ Z abgeschlossen,fallsZ abgeschlosseninderRelativtopologievonZ 1 1 ⊂ ist,d.h.fallsZ = Z Y füreineabgeschlosseneTeilmengeY T gilt. 1 ∩ ⊂ Beispiel:EsseiZ SpecZeinebeliebigeTeilmenge.DadieabgeschlossenenTeilmen- ⊂ geninSpecZgeradedieMengenderForm ,SpecZ, (p1),...,(pr) sind,sindfolgende ∅ { } Mengenirreduzibel: SpecZ, , SpecZ (0) , (3) , (0),(3) . ∅ \{ } { } { } DieMengeV((10)) = (2),(5) istetwanichtirreduzibel. { } Lemma1.9 i) IstT eintopologischerRaumundZ T eineirreduzibleTeilmenge, ⊂ soistauchjedeTeilmengeU Z,dieoffeninZ ist,irreduzibel. ⊂ ii) IstZ T irreduzibel,soistauchderAbschlussvonZ,alsodieMenge ⊂ Z = Y, Y Tabgeschlossen ⊂ ZTY ⊂ Seite6 irreduzibel. Beweis: i) GiltU = U U mitMengenderFormU = U Y undU = U Y ,wobeiY 1 2 1 1 2 2 1 ∪ ∩ ∩ undY abgeschlossensind,sogilt 2 Z = (Z Y ) (Z (Y Z U)), 1 2 ∩ ∪ ∩ ∪ \ was man sich am besten an Hand eines Bildes klar macht. Da Z irreduzibel ist, folgtZ = Z Y oderZ = Z (Y Z U).DahergiltU = U Y oderU = U Y 1 2 1 2 ∩ ∩ ∪ \ ∩ ∩ undU istirreduzibel. ii) GiltZ = Y Y fürY ,Y Z,dieinZ,alsoauchinT abgeschlossensind,soist 1 2 1 2 ∪ ⊂ Z = (Y Z) (Y Z). 1 2 ∩ ∪ ∩ DaZ irreduzibelist,folgtZ = Y Z oderZ = Y Z,d.h.Z Y oderZ Y . 1 2 1 2 ∩ ∩ ⊂ ⊂ Da Y und Y abgeschlossen sind, folgt daraus Z Y oder Z Y und somit 1 2 1 2 ⊂ ⊂ Z = Y oderZ = Z .DaheristZ irreduzibel. 1 2 (cid:3) Beispiel:DieTeilmengeSpecZ (2),(3),(13) istoffeninSpecZ,daheristmitSpecZ \{ } auchSpecZ (2),(3),(13) irreduzibel. \{ } Proposition1.10 DieabgeschlosseneTeilmengeV(a) SpecAistgenaudannirredu- ⊂ zibel,wenn√aeinPrimidealist.DieZuordnung p V(p) 7→ istalsoeineinklusionsumkehrendeBijektion SpecA irreduzibleabgeschlosseneTeilmengenvonSpecA . → { } Beweis:Angenommen,V(a)istirreduzibel.Giltxy √afürx,y A,soist(xy) √a, ∈ ∈ ⊂ alsofolgtV(a) = V(√a) V((xy)). ⊂ Sei p V(a). Dann ist p V((xy)), also gilt xy p, woraus x p oder y p folgt. ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ Daheristp V((x))oderp V((y)).AlsogiltV(a) = (V(a) V((x))) (V(a) V((y))). ∈ ∈ ∩ ∪ ∩ Seite7 DaV(a)irreduzibelist,folgtV(a) = V(a) V((x))oderV(a) = V(a) V((y)), d.h.es ∩ ∩ giltV(a) V((x))oderV(a) V((y)).NachSatz4.7folgtdarausx √aodery √a, ⊂ ⊂ ∈ ∈ alsoist√aeinPrimideal. Ist umgekehrt √a ein Primideal, so sei V(a) = V(b ) V(b ) eine Darstellung von 1 2 ∪ V(a) als Vereinigung zweier abgeschlossener Teilmengen. Nach Lemma 4.2 ist also V(a) = V(b b ),worausmitSatz4.7√b b √afolgt. 1 2 1 2 ∩ ∩ ⊂ Angenommen V(b1) & V(a). Dann ist nach Satz 4.7 √a & √b1, d.h. es existiert ein x √b mitx / √a.Füralley b istdannxy √b b √b b √a.Da√aein 1 2 1 2 1 2 ∈ ∈ ∈ ∈ ⊂ ∩ ⊂ Primidealistundx / √a,folgty √a.Somitgiltb √a,worausV(a) V(b )folgt. 2 2 ∈ ∈ ⊂ ⊂ AlsoistV(a)irreduzibel. Der zweite Teil der Behauptung folgt mit Satz 4.7, wenn man beachtet, dass für jedes PrimidealpdieGleichungp = √pgilt. (cid:3) Korollar1.11 SpecAistgenaudannirreduzibel,wennNil(A) = √0einPrimidealist. Beweis:DaSpecA = V((0))ist,folgtdiesausProposition4.10. (cid:3) Definition1.12 EintopologischerRaumT heißtnoethersch,wennerfolgendeabstei- gendeKettenbedingungfürabgeschlosseneTeilmengenerfüllt: Für jede Kette Y Y ... Y Y ... abgeschlossener Teilmengen Y T 1 2 n n+1 n ⊃ ⊃ ⊃ ⊃ ⊂ gibteseinn0 ∈ Nmit Yn0 = Yn fürallen ≧ n0. Lemma1.13 Ist A ein noetherscher Ring, so ist SpecA ein noetherscher topologischer Raum. Beweis:EineabsteigendeKetteabgeschlossenerTeilmengeninSpecAistvonderForm V(a ) V(a ) ... V(a ) ... 1 2 n ⊃ ⊃ ⊃ ⊃ fürIdeale(a ) vonA.MitSatz4.7gilt n n N ∈ √a √a ... √a .... 1 2 n ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ Seite8