Algebraische Geometrie 003

85 Pages·2016·0.47 MB·German

Algebraische Geometrie
Vorlesung an der Universit(cid:127)at Fribourg, WS2005/06
Andreas Bernig
D(cid:19)epartement de Math(cid:19)ematiques
Chemin du Mus(cid:19)ee 23
CH-1700 Fribourg
e-mail: [email protected]
Version: 8. Februar 2006
1
Inhaltsverzeichnis
Kapitel I. A(cid:14)ne Variet(cid:127)aten 1
1. Motivation 1
2. De(cid:12)nition a(cid:14)ner Variet(cid:127)aten 3
3. Koordinatenringe, regul(cid:127)are Funktionen und Morphismen 4
Kapitel II. Kommutative Algebra und Zariski-Topologie 9
1. Noethersche Ringe und Moduln 9
2. Hilberts Basissatz 10
3. Noethersche topologische R(cid:127)aume 11
4. Zariskitopologie 12
Kapitel III. Hilberts Nullstellensatz 15
1. Ganze Elemente 15
2. K(cid:127)orpererweiterungen 18
3. Nullstellensatz 19
4. Grundideen der modernen Algebraischen Geometrie 22
5. W(cid:127)orterbuch Algebra-Geometrie 23
Kapitel IV. Gr(cid:127)obnerbasen 25
1. Univariater Fall: Euklidischer Algorithmus 25
2. Termordnungen 25
3. Gr(cid:127)obnerbasen 28
4. Buchbergeralgorithmus 31
5. Nulldimensionale Ideale 33
Kapitel V. Projektive Variet(cid:127)aten 35
1. Projektiver Raum 35
2. Projektive Variet(cid:127)aten 36
3. Grassmann-Variet(cid:127)aten 38
4. Projektiver Nullstellensatz 39
5. Regul(cid:127)are Funktionen 41
6. Projektionen 42
Kapitel VI. Dimension 47
1. Geometrische De(cid:12)nition der Dimension 47
2. Segre-Einbettung und generische Schnitte 49
3. Morphismen 49
4. Transzendenzgrad von K(cid:127)orpererweiterungen 52
5. Rationale Funktionen 54
-1
0 INHALTSVERZEICHNIS
6. Dimension von Variet(cid:127)aten 57
7. Das Hilbertpolynom 60
Kapitel VII. Bezouts Theorem 65
1. Grad von projektiven Variet(cid:127)aten 65
2. Bezouts Theorem 67
Kapitel VIII. Reelle algebraische Geometrie 69
1. Geordnete und reell abgeschlossene K(cid:127)orper 69
2. Semialgebraische Mengen 73
3. Tarski-Seidenberg-Prinzip 74
4. Z(cid:127)ahlen reeller Nullstellen 75
5. Hilberts 17. Problem 78
Literaturverzeichnis 81
KAPITEL I
A(cid:14)ne Variet(cid:127)aten
1. Motivation
Wie man in der Linearen Algebra lernt, lassen sich lineare Glei-
chungssysteme u(cid:127)ber einem K(cid:127)orper k immer explizit l(cid:127)osen. Abh(cid:127)angig
von einfach auszurechnenden Invarianten (Rang, Determinante usw.)
l(cid:127)asst sich entscheiden, ob eine L(cid:127)osung existiert und man kann alle
L(cid:127)osungen explizit angeben (eventuell von einem oder mehreren Pa-
rametern in k abh(cid:127)angig). Die Menge der L(cid:127)osungen bildet einen a(cid:14)nen
Unterraum eines endlich-dimensionalen k-Vektorraums.
LiegendieKoe(cid:14)zientenalleineinemfestenUnterk(cid:127)orperk kund
0
(cid:26)
gibt es L(cid:127)osungen in k, so auch in k . Ist z.B. k = Q, so kann man die
0 0
rationalen L(cid:127)osungen eines linearen Gleichungssystems mit rationalen
Koe(cid:14)zienten explizit bestimmen.
Denkt man beispielsweise an den Gauss’schen Algorithmus, so l(cid:127)ost
manGleichungendurchmehrereAdditionenundDivisionen.EinK(cid:127)orper
k erfu(cid:127)llt genau die dafu(cid:127)r notwendigen Axiome: man kann in ihm addie-
ren und dividieren. M(cid:127)ochte man lineare Gleichungssysteme u(cid:127)ber einem
Ring (z.B. Z) l(cid:127)osen, so wird die Theorie schon etwas schwieriger (ist
aber dennoch vollst(cid:127)andig).
Was passiert, wenn man nicht lineare, sondern polynomiale Glei-
chungssysteme betrachtet? Genau mit dieser Frage besch(cid:127)aftigt sich
die Algebraische Geometrie. Schon die einfache Gleichung x2 = 1
(cid:0)
hat u(cid:127)ber dem K(cid:127)orper R der reellen Zahlen keine L(cid:127)osung. Um beliebi-
ge Gleichungssysteme zu l(cid:127)osen, sollte man erst einmal Nullstellen von
Polynomen (cid:12)nden k(cid:127)onnen. Also ist es sinnvoll anzunehmen, dass der
K(cid:127)orper k algebraisch abgeschlossen ist. Hat man n Unbekannte, so ist
die L(cid:127)osungsmenge eine Teilmenge von kn, a(cid:14)ne Variet(cid:127)at genannt.
Im allgemeinen interessiert man sich nicht fu(cid:127)r die L(cid:127)osungen im al-
gebraisch abgeschlossenen K(cid:127)orper, sondern in einem gegebenen Un-
terk(cid:127)orper (z.B. R fu(cid:127)r reelle Probleme oder Q fu(cid:127)r zahlentheoretische
Probleme). Trotzdem ist es sinnvoll, sich zun(cid:127)achst alle L(cid:127)osungen in kn
anzuschauen, da diese geometrisch einfacher zu behandeln sind.
Beispiel: Man (cid:12)nde alle rechtwinkligen Dreiecke mit ganzzahligen
Seitenl(cid:127)angen.
Bezeichnet man die Seitenl(cid:127)angen mit a;b;c, so soll also a;b;c N
2
und a2 + b2 = c2 gelten. Mit p := a=c;q := b=c ist das (cid:127)aquivalent zu
p2+q2 = 1;p;q Q;p;q > 0. Betrachten wir die Gleichung p2+q2 = 1
2
1
2 I. AFFINE VARIETA(cid:127)TEN
zun(cid:127)achst als Gleichung u(cid:127)ber C. Fu(cid:127)r jeden Wert von p gibt es genau
zwei Werte von q, die die Gleichung l(cid:127)osen: q = 1 p2 (falls p = 1,
(cid:6) (cid:0) (cid:6)
so fallen diese L(cid:127)osungen zusammen). Fu(cid:127)r reelle L(cid:127)osungen ist es schon
p
etwas schwieriger: es muss p 1 sein, damit q reell wird. Die Menge
j j (cid:20)
(p;q) R2 : p2 +q2 = 1 ist natu(cid:127)rlich gerade der Einheitskreis in R2.
f 2 g
Jetzt wollen wir das urspru(cid:127)ngliche Problem l(cid:127)osen, d.h. alle ratio-
nalen Punkte auf dem Einheitskreis (cid:12)nden. Das kann man sehr an-
schaulich auf folgende Weise l(cid:127)osen: man nehme eine Gerade durch den
Punkt ( 1;0), deren Anstieg rational ist. Schneidet diese den Einheits-
(cid:0)
kreis ineinem weiteren Punkt, so hatdieser rationaleKoordinaten(das
beruht darauf, das ein quadratisches Polynom mit rationalen Koe(cid:14)zi-
enten und einer rationalen Nullstelle auch die andere Nullstelle rational
habenmuss). Ist(cid:11) QderAnstieg derGerade,soerh(cid:127)altmanp = 1(cid:0)(cid:11)2
2 1+(cid:11)2
und q = 2(cid:11) .
1+(cid:11)2
Beispiel: Es gibt keine ganzen Zahlen mit an + bn = cn;abc =
6
0;n 3. Diese Vermutung von Fermat hat wesentlich zur Entwicklung
(cid:21)
der Algebraischen Geometrie beigetragen. Wie im Fall n = 2 ist es
wieder (cid:127)aquivalent, rationale L(cid:127)osungen von pn +qn = 1 zu (cid:12)nden. Die
Menge der reellen L(cid:127)osungen ist eine geschlossene, kreis(cid:127)ahnliche Kur-
ve. Schon im Fall n = 3 versagt das obige Verfahren. Die Menge der
komplexen L(cid:127)osungen ist dann eine elliptische Kurve. Hat ein rationa-
les kubisches Polynom eine rationale Nullstelle, so mu(cid:127)ssen die beiden
anderen Nullstellen nicht auch rational sein. Allerdings ist es richtig,
dass die dritte Nullstelle rational ist, wenn es die beiden anderen sind.
Diese Idee benutzt man, um die Menge der rationalen L(cid:127)osungen mit
einer Gruppenstruktur zu versehen. Hat man zwei rationale L(cid:127)osungen,
so ist ihr Produkt (bzgl. dieser Gruppenstruktur) im wesentlichen der
dritte Schnittpunkt der Gerade durch diese beiden L(cid:127)osungen mit der
elliptischen Kurve.
Der allgemeine Fall n > 3 kann durch einen Trick ebenfalls auf das
Studium der rationalen Punkte einer elliptischen Kurve zuru(cid:127)ckgefu(cid:127)hrt
werden. Mit Hilfe sehr tie(cid:13)iegenden Argumente- aus der Algebraischen
Geometrie, aber auch der Darstellungstheorie- konnte A. Wiles die Fer-
mat’sche Vermutung 1994 beweisen.
Beispiel: Das Gleichungssystem x2+y2 = 1;x+y = 5 kann u(cid:127)ber C
schnell gel(cid:127)ost werden: x muss die Gleichung x2+(5 x)2 = 1 erfu(cid:127)llen-
(cid:0)
welchezweiL(cid:127)osungenhat.U(cid:127)berRgibtesaberu(cid:127)berhauptkeineL(cid:127)osung!
GeometrischistdieL(cid:127)osungsmengederDurchschnittdesEinheitskreises
x2 + y2 = 1 mit der Gerade x + y = 5. Die Anzahl der komplexen
L(cid:127)osungen ist gegeben durch den Grad der Gerade (1) multipliziert mit
dem Grad des Einheitskreises (2). Ein sehr allgemeines und wichtiges
Theorem- Bezout’s Theorem- kann benutzt werden, um die Anzahl der
(komplexen) L(cid:127)osungen eines polynomialen Systems auszurechnen.
DieseBeispielezeigenunszweiDinge.Erstensistesnu(cid:127)tzlich,sichal-
leL(cid:127)osungenineinem algebraisch abgeschlossenen K(cid:127)orperanzuschauen-
2. DEFINITION AFFINER VARIETA(cid:127)TEN 3
selbst wenn man L(cid:127)osungen in einem Unterk(cid:127)orper sucht. Zweitens sollte
man alle L(cid:127)osungen als geometrisches Gebilde verstehen. Das Zusam-
menspiel von geometrischen Eigenschaften einer solchen a(cid:14)nen Va-
riet(cid:127)at und den algebraischen Eigenschaften des Gleichungssystems ist
der zentrale Gegenstand der Algebraischen Geometrie.
2. De(cid:12)nition a(cid:14)ner Variet(cid:127)aten
Achtung: vari(cid:19)et(cid:19)e\ kann sowohl Variet(cid:127)at\ als auch Mannigfaltigkeit\ bedeu-
" " "
ten!
Sei k ein K(cid:127)orper. Fu(cid:127)r endlich viele Variable X ;:::;X bezeichnen
1 n
wir den Polynomring u(cid:127)ber k mit k[X ;:::;X ].
1 n
Sei S k[X ;:::;X ] eine beliebige (eventuell unendliche) Menge
1 n
(cid:26)
von Polynomen. Dann de(cid:12)nieren wir
(S) := x = (x ;:::;x ) kn : p(x ;:::;x ) = 0 p S
1 n 1 n
V f 2 8 2 g
Eine Teilmenge V kn, die sich in dieser Form darstellen l(cid:127)asst,
(cid:26)
heisst a(cid:14)ne Variet(cid:127)at oder algebraische Menge in kn. Besteht S nur aus
einem Element, so heisst (S) Hyper(cid:13)(cid:127)ache.
V
Lemma 2.1. Ist I k[X ;:::;X ] das von S erzeugte Ideal, so ist
1 n
(cid:26)
(I) = (S):
V V
Proof. I bestehtausallenendlichenLinearkombinationen k g p
j=1 j j
mit p S und g k[X ;:::;X ]. Da S I, gilt trivialerweise
j j 1 n
2 2 (cid:26) P
(I) (S). Ist x (S) und h = k g p I, so ist h(x) =
V (cid:26) V 2 V j=1 j j 2
k g (x)p (x) = 0. Also ist x (I). (cid:3)
j=1 j j 2 V P
P =0
In Kapit|e{lzI}I wird gezeigt, dass sich jede a(cid:14)ne Variet(cid:127)at darstellen
l(cid:127)asstalsDurchschnitt vonendlich vielen Hyper(cid:13)(cid:127)achen, alsoinderForm
( p ;:::;p ).
1 k
V f g
Beispiel:
Fu(cid:127)r jeden K(cid:127)orper k sind = (1) und kn = ( ) a(cid:14)ne Va-
(cid:15) ; V V ;
riet(cid:127)aten.
Ist k = Q, so ist die durch x2 = 2 de(cid:12)nierte a(cid:14)ne Variet(cid:127)at in k
(cid:15)
leer. Fu(cid:127)r k = R enth(cid:127)alt sie zwei Punkte.
Die durch x2 + x2 = 0 de(cid:12)nierte a(cid:14)ne Variet(cid:127)at in R2 ist der
(cid:15) 1 2
Einheitskreis. Fu(cid:127)r k = Q besteht sie genau aus den rationalen
Punkten des Einheitskreises.
Lemma 2.2. a) DerDurchschnittvonbeliebigvielena(cid:14)nenVa-
riet(cid:127)aten ist wieder eine a(cid:14)ne Variet(cid:127)at.
b) Die Vereinigung von endlich vielen a(cid:14)nen Variet(cid:127)aten ist wieder
eine a(cid:14)ne Variet(cid:127)at.
4 I. AFFINE VARIETA(cid:127)TEN
Proof. a) Fu(cid:127)rjedeIndexmengeJ undTeilmengenS k[X ;:::;X ]
j 1 n
(cid:26)
gilt
(S ) = S (1)
j j
V V
!
j2J j2J
\ [
woraus die Aussage folgt.
b) Es reicht zu zeigen, dass die Vereinigung von zwei a(cid:14)nen Va-
riet(cid:127)aten wieder eine a(cid:14)ne Variet(cid:127)at ist. Sei V = (S ) und
1 1
V
V = (S ) mit S ;S k[X ;:::;X ]. De(cid:12)niere
2 2 1 2 1 n
V (cid:26)
S := S S = p p : p S ;p S :
1 2 1 2 1 1 2 2
(cid:1) f 2 2 g
Dann ist V V = (S).
1 2
[ V (cid:3)
Beispiel: Fu(cid:127)r d N de(cid:12)nieren wir die Menge
2
V := (1;t;t2;:::;td) Cd+1 : t C
d
f 2 2 g
und behaupten, dass V eine a(cid:14)ne Variet(cid:127)at ist. Dazu betrachten wir
d
das polynomiale Gleichungssystem
X = 1;X = Xi; i = 2;:::;d
0 i 1
Mansieht sofort,dass dieL(cid:127)osungen genaudiePunkte vonV sind. Man
d
hat d Gleichungen in einem d+1-dimensionalen Raum und die entspre-
chende Variet(cid:127)at (d.h. V ) ist (komplex) 1-dimensional\. Wir werden
d "
sehen, dass dies das typische Verhalten ist, wenn der Grundk(cid:127)orper al-
gebraisch abgeschlossen ist.
Jetzt betrachten wir eine Hyperebene in Cd+1, d.h. eine Menge H
der Form
d
H = (x ;:::;x ) Cd+1 : a x = 0 ;a C;nicht alle a = 0:
0 d i i i i
f 2 g 2
i=0
X
DannsinddiePunktevonH V genaudiePunkte(1;t;t2;:::;td);t
d
\ 2
C mit d a ti = 0, stehen also in Bijektion zu den Nullstellen des
i=0 i
Polynoms d a Xi. Z(cid:127)ahlt man die Nullstellen mit Vielfachheiten, so
P i=0 i
sieht man, dass H V genau d Punkte enth(cid:127)alt. Das entspricht genau
d
P \
dem Grad von V (der d ist) multipliziert mit dem Grad von H (der
d
1 ist). Das stimmt allerdings nicht ganz: falls das Polynom d a Xi
i=0 i
konstant ist, so hat es keine Nullstellen. Dann schneiden sich H und
P
V allerdings im Unendlichen\mit Vielfachheit d. Das wird alles noch
d "
pr(cid:127)azise gemacht und fu(cid:127)hrt auf Bezout’s Theorem.
3. Koordinatenringe, regul(cid:127)are Funktionen und Morphismen
Sei V kn eine a(cid:14)ne Variet(cid:127)at. Eine Funktion f : V k heisst
(cid:26) !
regul(cid:127)ar, fallssie Einschr(cid:127)ankung einer polynomialen Funktion aufkn ist.
3. KOORDINATENRINGE, REGULA(cid:127)RE FUNKTIONEN UND MORPHISMEN 5
Bezeichnet man die Menge der regul(cid:127)aren Funktionen auf V mit (cid:0)(V),
so hat man also eine surjektive Abbildung
k[X ;:::;X ] (cid:0)(V)
1 n
!
p p
V
7! j
Der Kern dieser Abbildung ist das Ideal aller Polynome, die auf V
verschwinden und wird mit (V) bezeichnet. Es gilt also
I
(cid:0)(V) = k[X ;:::;X ]= (V)
1 n
I
Allgemeiner de(cid:12)niert man fu(cid:127)r eine beliebige Teilmenge X kn
(cid:26)
(X) := p k[X ;:::;X ] : p(x) = 0 x X
1 n
I f 2 8 2 g
Definition 3.1. Seien V kn;W km a(cid:14)ne Variet(cid:127)aten.
(cid:15) (cid:26) (cid:26)
Eine Abbildung (cid:30) : V W heisst regul(cid:127)ar (oder Morphismus),
!
wenn alle Komponenten von (cid:30) regul(cid:127)ar sind (d.h. (cid:25) (cid:30) (cid:0)(V),
i
(cid:14) 2
wobei (cid:25) : km k die Projektion auf die i-te Koordinate ist).
i
!
V und W heissen isomorph, wenn es regul(cid:127)are Abbildungen (cid:30) :
(cid:15)
V W und : W V mit (cid:30) = id und (cid:30) (cid:30) = id gibt.
V W
! ! (cid:14) (cid:14)
In der Algebraischen Geometrie betrachtet man isomorphe a(cid:14)ne
Variet(cid:127)aten als gleich \, d.h. eine abstrakte Variet(cid:127)at wird de(cid:12)niert als
"
A(cid:127)quivalenzklasse (bzgl. Isomorphie) von a(cid:14)nen Variet(cid:127)aten.
Betrachten wir die beiden Gleichungssysteme
x2 +x2 1 = 0
1 2 (cid:0)
und
y +y2 +2y = 0
2 3 3
y2 y = 0
1 (cid:0) 2
Die dadurch de(cid:12)nierten a(cid:14)nen Variet(cid:127)aten in R2 und R3 sind iso-
morph: die Abbildungen (x ;x ) (x ;x2;x 1) und (y ;y ;y )
1 2 7! 1 1 2 (cid:0) 1 2 3 7!
(y ;y +1) liefern einen Isomorphismus. Es ist also nicht schwerer, das
1 3
zweite Gleichungssystem zu l(cid:127)osen als das erste, alle L(cid:127)osungen ergeben
sich durch eine polynomiale Transformation der L(cid:127)osungen der ersten
Gleichung. Diese Strategie zum L(cid:127)osen von polynomialen Gleichungs-
systemen kann so beschrieben werden: gegeben ein polynomiales Glei-
chungssystem, dessen L(cid:127)osungen wir suchen. Es beschreibt eine a(cid:14)ne
Variet(cid:127)at V in einem Vektorraum kn. Suche eine dazu isomorphe a(cid:14)-
ne Variet(cid:127)at W in einem Vektorraum km, deren L(cid:127)osungen einfacher zu
(cid:12)nden sind. Dann ergeben sich die L(cid:127)osungen des gegebenen Systems
durch eine polynomiale Transformation. Man kann zum Beispiel ver-
suchen, eine zu V isomorphe Variet(cid:127)at W km mit m m(cid:127)oglichst klein
(cid:26)
zu (cid:12)nden, oder eine glatte\ Variet(cid:127)at W.
"
Ein konkretes Hilfsmittel, um W zu (cid:12)nden, stellen Gr(cid:127)obnerbasen
dar, siehe Kapitel IV.
Satz 3.2. Seien V kn und W km a(cid:14)ne Variet(cid:127)aten.
(cid:26) (cid:26)
6 I. AFFINE VARIETA(cid:127)TEN
a) Ist (cid:30) : V W regul(cid:127)ar, so gibt es einen induzierten k-Algebra-
Homomor!phismus (cid:30)(cid:3) : (cid:0)(W) (cid:0)(V).
!
b) Istumgekehrt(cid:11) : (cid:0)(W) (cid:0)(V)eink-Algebra-Homomorphismus,
so gibt es eine regul(cid:127)are A!bbildung (cid:30) : V W mit (cid:30)(cid:3) = (cid:11).
!
c) V und W sind isomorphe a(cid:14)ne Variet(cid:127)aten genau dann, wenn
(cid:0)(V) und (cid:0)(W) isomorphe k-Algebren sind.
Proof. a) Sei (cid:30) : V W eine regul(cid:127)are Abbildung. Nach
!
De(cid:12)nition gibt es Polynome p ;:::;p k[X ;:::;X ] mit
1 m 1 n
2
(cid:30)(x ;:::;x ) = (p (x ;:::;x );:::;p (x ;:::;x )).
1 n 1 1 n m 1 m
Wir behaupten, dass der k-Algebra-Homomorphismus
(cid:12) : k[Y ;:::;Y ] k[X ;:::;X ]
1 m 1 n
!
Y p
i i
7!
einen k-Algebra-Homomorphismus (cid:0)(W) (cid:0)(V) induziert.
!
Zun(cid:127)achst haben wir die natu(cid:127)rliche Projektionsabbildung
(cid:13) : k[X ;:::;X ] (cid:0)(V); (2)
V 1 n
!
die ebenfalls ein k-Algebra-Homomorphismus ist.
Sei jetzt f (W). Da (cid:12) ein Algebra-Homomorphismus ist,
2 I
gilt
(cid:12)(f)(X ;:::;X ) = f(p (X ;:::;X );:::;p (X ;:::;X )) (3)
1 n 1 1 n m 1 n
Setzt man einen Punkt aus V in die rechte Seite der Gleichung
ein, so ergibt sich 0, da das Bild von (cid:30) in W liegt und f
2
(W). Es folgt dass (cid:12)(f) (V) = ker(cid:13) ist. Also ist (W)
V
I 2 I I
im Kern von (cid:13) (cid:12). Daher gibt es einen induzierten k-Algebra-
V
(cid:14)
Homomorphismus von (cid:0)(W) = k[Y ;:::;Y ]= (W) nach (cid:0)(V).
1 m
I
b) Sei (cid:11) : (cid:0)(W) (cid:0)(V) ein k-Algebra-Homomorphismus. Da Ab-
!
bildung(2)surjektivist,gibteseinenAlgebra-Homomorphismus
(cid:12), so dass das folgende Diagramm kommutiert:
(cid:12)
k[Y ;:::;Y ] k[X ;:::;X ]
1 m 1 n
(cid:0)!
# #
(cid:11)
(cid:0)(W) (cid:0)(V)
(cid:0)!
Es reicht dazu, fu(cid:127)r i = 1;:::;m ein Polynom p k[X ;:::;X ]
i 1 n
2
zu nehmen, dessen Bild gleich (cid:11)(Y + (W)) (cid:0)(V) ist und
i
I 2
die Abbildung Y p zu einem Algebra-Homomorphismus zu
i i
7!
erweitern.
Jetzt de(cid:12)nieren wir
(cid:30) : V km;
!
(x ;:::;x ) (p (x ;:::;x );:::;p (x ;:::;x ))
1 n 1 1 n m 1 n
7!
O(cid:11)enbar ist (cid:30) eine regul(cid:127)are Abbildung. Da W eine a(cid:14)ne Va-
riet(cid:127)at ist, gilt W = ( (W)), wir mu(cid:127)ssen also zeigen, dass
V I
f (cid:30) = 0 ist fu(cid:127)r alle f (W).
(cid:14) 2 I