Algebraische Automatentheorie 001

53 Pages·2016·0.33 MB·German

Skript zur Vorlesung ”Algebraische
Automatentheorie”, WS 06/07
Lutz Priese
Fachbereich Informatik
Universita¨t Koblenz-Landau, Germany
[email protected]
1
Vorwort
DiesesSkriptgibtdiewesentlichenInhaltederVorlesung”AlgebraischeAutomatentheorie”
im WS06/07 wieder. Im Skript wird teilweise von der Reihenfolge des Stoffes der Vor-
lesung abgewichen. Auch worden in der Vorlesung deutlich mehr Beispiele aufgezeigt und
mehr Beweise ausgefu¨hrt.
2
1 Automaten u¨ber W¨orter
WirsetzenindiesemAbschnittKenntnisseu¨berendlicheAutomatenvorausundbenutzen
die Terminologie aus Erk, Priese [1]. Automaten sind hier stets endlich, vollsta¨ndig
und determiniert. Ziel ist es zu zeigen, wie nu¨tzlich die algebraische Auffassung der
Franzo¨sischenSchuleseinkann,indemwirAutomatenu¨berW¨orteralgebraischanalysieren.
Ein Alphabet Σ ist eine endliche, nicht-leere Menge, deren Elemente wir Buchstaben oder
¨ahnlich (z.B. Labels) nennen.
¨
Eine Aquivalenzrelation τ u¨ber einer Menge M ist eine reflexive, symmetrische, transitive
Relation τ ⊆ M ×M. τ saturiert eine ”Sprache” L ⊆ M, falls L die Vereinigung einiger
¨
Aquivalenzklassen von τ ist. Gleichwertige dazu ist, dass fu¨r τ gilt
∀w ∈ Σ∗ : [w] ∩L (cid:54)= ∅ =⇒ [w] ⊆ L, oder
τ τ
∀w ∈ Σ∗ : [w] ⊆ L∨[w] ⊆ Σ∗ −L.
τ τ
¨ ¨
Der Index einer Aquivalenzrelation ist die Anzahl der verschiedenen Aquivalenzklassen
dieser Relation.
Fu¨r den Begriff einer Kongruenz brauchen wir zus¨atzlich eine algebraische Struktur u¨ber
M. Es sei jetzt M = Σ∗ fu¨r ein endliches Alphabet mit der algebraischen Struktur eines
Monoids, d.h. M = (Σ∗,◦,ε), wobei ◦ die Konkatenation von W¨ortern und ε das leere
Wort ist. Statt u◦v wird nur uv geschrieben und Σ∗ bezeichnet u¨blicherweise sowohl das
Monoid M als auch dessen Tra¨germenge.
Definition 1.1 EineRechts-Kongruenzτ u¨berΣ∗ isteine A¨quivalenzrelationmit ∀u,v,w ∈
Σ∗ : (uτv =⇒ (uw)τ(vw)).
Eine Kongruenz ist eine Rechts-Kongruenz fu¨r die zus¨atzlich gilt:
∀u,v,w ∈ Σ∗ : (uτv =⇒ (wu)τ(wv)).
¨ ¨
Aquivalent fu¨r eine Kongruenz ist die Forderung, dass eine τ eine Aquivalenzrelation ist
mit
∀u,v,w,w(cid:48) ∈ Σ∗ : (uτv =⇒ (wuw(cid:48))τ(wvw(cid:48))).
Example 1.1 1.)Fu¨r einen Automaten A = (S,Σ,δ,s ,F) definieren wir eine Relation
0
≈ ⊆ (Σ∗)2 durch: ∀u,v ∈ Σ∗:
A
u ≈ v :⇐⇒ ∀s ∈ S : δ∗(s,u) = δ∗(s,v). Damit gilt offensichtlich:
A A A
≈ ist eine Kongruenz von endlichem Index, die L(A) saturiert.
A
2.) Fu¨r eine Sprache L ⊆ Σ∗ ist ∼ ⊆ Σ∗ ×Σ∗ definiert durch ∀u,v ∈ Σ∗ :
L
u ∼ v :⇔ ∀w ∈ Σ∗ : (uw ∈ L ↔ vw ∈ L).
L
Offensichtlich ist ∼ eine Rechts-Kongruenz auf Σ∗, und zwar die gr¨obste aller Rechts-
L
Kongruenzen u¨ber Σ∗, die L saturieren. Denn ist τ eine Rechtskongruenz u¨ber Σ∗, die L
saturiert, so folgt aus uτ v auch uwτ vw, und damit uw ∈ L ⇔ vw ∈ L fu¨r jedes w ∈ Σ∗,
also auch u ∼ v.
L
3
Definition 1.2 Es seien (M ,◦ ,1 ),1 ≤ i ≤ 2, zwei Monoide. Ein Monoidhomomor-
i i i
phismus h von M nach M ist eine Abbildung h : M → M mit h(1 ) = 1 und
1 2 1 2 1 2
h(a◦ b) = h(a)◦ h(b),∀a,b ∈ M .
1 2 1
Theorem 1 Folgende Aussagen sind fu¨r eine Sprache L u¨ber Σ ¨aquivalent:
1) L ist regul¨ar
2) ∃ endliches Monoid (M,◦ ,1 ) : ∃B ⊆ M : ∃h : Σ∗ → M Monoidhomomorphismus
M M
mit L = h−1(B)
3) ∃ Kongruenz mit endlichem Index, die L saturiert.
4) ∃ Rechts-Kongruenz mit endlichem Index, die L saturiert.
5) ∼ hat endlichen Index.
L
H¨aufignenntmaneineSprache,dieAussage2)erfu¨lltauchrational,die4)erfu¨llterkennbar,
und die von endlich Automaten akzeptiert werden auch akzeptierbar. Aber diese Begriffe
werden in der Literatur auch relativ willku¨rlich verwendet. Wir werden im Folgenden die
Begriffe ”regul¨ar”, ”rational”, ”erkennbar”, ”akzeptierbar” synonym verwenden.
Beweis:1) ⇐⇒ 5) siehe Buch Erk, Priese.
1) ⇒ 2): Sei L regul¨ar, so existiert ein endlicher Automat A = (S,Σ,δ,s ,F), der L
0
akzeptiert. Definiere
M := SS,◦ : SS ×SS → SS definiert als (f ◦g)(q) := g(f(q)),1 := id ,B := {f : S →
S
S | f(s ) ∈ F},h : Σ∗ → SS definiert als h(w)(q) := δ∗(q,w).
0
Damit ist (SS,◦,id) ein endliches Monoid und h ist ein Monoidhomomorphismus we-
gen h(uv) = λq.δ∗(q,uv) = λq.δ∗(δ∗(q,u),v) = λq.h(v)(h(u)(q)) = h(u) ◦ h(v) und
h((cid:178)) = λq.δ∗(q,(cid:178)) = id . Ferner gilt h−1(B) = {w ∈ Σ∗ | h(w)(s ) ∈ F} = {w ∈
S 0
Σ∗ | δ∗(s ,w) ∈ F} = L(A) = L.
0
2) ⇒ 3): Seien (M,◦,1),B,h gegeben wie in Aussage 2). Konstruiere τ ⊆ Σ∗ × Σ∗ als
¨
uτv :⇐⇒ h(u) = h(v). τ ist Aquivalenzrelation von endlichem Index mit uτv ⇒ h(u) =
h(v) ⇒ h(w )h(u)h(w ) = h(w )h(v)h(w ) ⇒ h(w uw ) = h(w vw ) ⇒ (w uw )τ(w vw ),
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
d.h. eine Kongruenz. Sei B = {x ,...,x }, so gilt L = h−1(B) = {w ∈ Σ∗ | h(w) ∈ B} =
1 k
{w ∈ Σ∗ | h(w) = x }∪...∪{w ∈ Σ∗ | h(w) = x } = [w ] ∪...∪[w ] fu¨r geeignete w
1 k 1 τ k τ i
mit h(w ) = x . τ saturiert also L.
i i
3) ⇒ 4) per Definition.
4) ⇒ 1): Sei τ wie in 4) gegeben. Konstruiere endlichen Automaten A := (S,Σ,δ,s ,F)
L 0
als
S := {[w] | w ∈ Σ∗},F := {[w] | w ∈ L},s := [(cid:178)] ,δ([w] ,a) := [wa] , wobei δ
τ τ 0 τ τ τ
unabh¨angig vom Repr¨asentanten ist: [w ] = [w ] =⇒ w τw =⇒ (w a)τ(w a).
1 τ 2 τ 1 2 1 2
Offensichtlich folgt δ∗([w] ,u) = [wu] . Damit gilt
τ τ
L(A ) = {u ∈ Σ∗ | δ∗(s ,u) ∈ F} = {u ∈ Σ∗ | [(cid:178)u] ∈ F} = {u ∈ Σ∗ | u ∈ L} = L.
L 0 τ
(cid:165)
Definition 1.3 Ein Automaten-Homomorphismus h : A → A von einem Automaten
1 2
A nach A mit A = (S ,Σ ,δ ,s ,F ) ist eine Paar h = (h ,h ) von zwei Abbildungen
i 2 i i i i i i s l
h : S → S ,h : Σ → Σ ,
s 1 2 l 1 2
4
die die ”Automatenstrukur” respektieren, d.h., fu¨r die gilt
h (s ) = s ,h (F ) ⊆ F ,h (S −F ) ⊆ S −F , und
s 1 2 s 1 2 s 1 1 2 2
∀s ∈ S ,a ∈ Σ : δ (h (s),h (a)) = h (δ (s,a)).
1 1 2 s l s 1
Man sieht unmittelbar
Corollary 1.1 Existiert ein Automaten-Homomorphismus (h ,h ) von A nach A , dann
s l 1 2
gilt bereits h (L(A)) = L(B).
l
Wir betrachten jetzt nur Automaten-Homomorphismen zwischen zwei Automaten mit
dem gleichem Alphabet Σ wobei wir stets h = id setzen. Existiert nun ein bijektiver
L
Automaten-Homomorphismus zwischen zwei Automaten, so heißen diese isomorh. Iso-
morhe Automaten enterscheiden sich also h¨ochstens in den Namen ihrer Zust¨ande. Ein
Automat heißt minimal, wenn es keinen Automaten mit weniger Zust¨anden gibt, der die
gleiche Sprache akzeptiert. Es gilt
Lemma 1.1 Es seien A ein Automat mit erreichbaren Zust¨anden, L := L(A) und A
L
der im Satz 1, 4)→ 1), konstruierte Automat zu ∼ . Dann existiert ein surjektiver
L
Automaten-Homomorphismus von A nach A . Ist A minimal, dann ist A bereits isomorph
L
zu A .
L
Beweis. Wir konstruieren h : S → K, wobei S die Zust¨ande von A und K :=
s A A
{[w] |w ∈ Σ∗} die Zust¨ande von A sind, fu¨r s ∈ S als
∼L L A
h (s) := [w] , fu¨r ein Wort w mit δ∗(s ,w) = s.
s ∼L o
Man sieht leicht, dass h wohl-definiert und ein surjektiver Automaten-Homomorphismus
s
ist. IstAzus¨atzlichminimal, somuss|S | ≤ |K|geltenundh istzus¨atzlichnochinjektiv.
A s
(cid:165)
5
2 Algebren und Graphen
2.1 Syntax: Signaturen
Definition 2.1 Ein Signatur S ist eine Paar
S = (S,Op),
- von einer Menge S, deren Elemente wir Sorten nennen, und
- einer Familie
Op = (Op )
w,s w∈S∗,s∈S
vonMengen Op vonElementen, diewirOperatorensymbolenennen, mit Op ∩Op =
w,s w,s w(cid:48),s(cid:48)
∅ fu¨r w = w(cid:48).
Die Mengen Op k¨onnen leer, endlich oder unendlich sein. Ein a ∈ Op heißt auch
w,s w,s
(|w|-stelliges) Operatorsymbol der Arit¨at w, der Sorte s und des Profils w → s und wird
auch als a geschrieben. Das leere Wort wird dabei weggelassen, d.h. a ist ein
w→s →s
nullstelliges Operatorsymbol der Sorte s vom Profil ε → s. Es ist nicht gefordert, dass
Op ∩Op = ∅ gilt fu¨r w (cid:54)= w(cid:48), d.h. das gleiche Symbol kann zwei Operatorensymbole
w,s w(cid:48),s(cid:48)
unterschiedlicher Arit¨at sein.
Definition 2.2 Eine Signatur mit Variablen oder Generatoren ist ein Paar
(S,X)
von einer Signatur S = (S,Op) und einer Familie (X = (X ) ) von eventuell leeren
s s∈S
Mengen X neuer Operatorensymbolen (die in Op nicht vorkommen) von einem Profil
s
ε → s. Ein Element in X heißt auch Variable oder Generator der Sorte s und wird meist
s
mit x oder nur x bezeichnet.
s
T(S,X) ist die Familie T(S,X) = (T (S,X)) aller Terme T (S,X) der Sorte s u¨ber
s s∈S s
(S,X). Sie ist induktiv definierbar als:
- ∀s ∈ S : Op ∪X ⊆ T (S,X),
→s s s
- ∀n ∈ N,s ,s ∈ S,t ∈ T (S,X), fu¨r 1 ≤ i ≤ n > 0,∀a ∈ Op : a(t ,...,t ) ∈
i i si s1...sn→s 1 n
T (S,X).
s
EineSignaturS mitVariablenX istnatu¨rlichselbsteineSignaturS ,inderalleVariablen
X
der Sorte s ∈ S als nullstelliges Operatorensymbol zu Op hinzugenommen werden. Die
ε,s
Schreibweise (S,X) dient nur der Verdeutlichung einer gewissen Sonderrolle der Symbole
in X, sei es als Variablen oder Generatoren in den sp¨ateren Theorien (Kapitel 4.1).
EinTermohnevorkommendeVariableheißtauchGrundterm. T(S) = (T (S)) bezeich-
s s∈S
net die Familie aller Grundterme, T (S) die Menge der Grundterme der Sorte s. Kommen
s
in einem Term t aus T(S,X) h¨ochstens die Variablen x ,...,x vor, so schreibt man auch
1 n
t(x ,...,x ). Sind t Grundterme der gleichen Sorte wie die Variable x , fu¨r 1 ≤ i ≤ n, so
1 n i i
bezeichnet t(t ,...,t ) den Term, der aus dem simultanen Ersetzen aller Vorkommen einer
1 n
Variablen x in t durch Et fu¨r 1 ≤ i ≤ n entsteht. Ein Term C in T(S,X) in dem nur eine
i i
einzige Variable an genau einer Stelle vorkommt, heißt auch Kontext. Ein Grundterm t
6
ist passend zum Kontext C, wenn die Sorte von t mit der der einzigen Variablen in C
u¨bereinstimmt. Wenn wir C(t) schreiben, impliziert dies stets, dass t zu C auch passt.
Jeder Term t ∈ T(S,X) besitzt kanonisch eine Struktur als angeordneter Baum, indem
wir in einem Term f(t ,...,t ) f als Knoten mit den angeordneten Unterba¨umen t ,...,t
1 n 1 n
auffassen. Bekannte Konzepte von B¨aumen lassen sich leicht auf Terme u¨bertragen.
Definition 2.3 Fu¨r Terme t ∈ T(S,X) definiert man induktiv:
Induktionsbeginn: t = a ∈ T (S,X), so ist a Wurzel und Blatt (im Term t),
0
Teilterm(t) := {a},Ast(t) := {(a,0)},Tiefe(t) := 0,|t| := 1,
Induktionsschritt: t = f(t ,...,t ), so ist f Wurzel von t und jedes Blatt von t ist auch
1 n i
Blatt von t, ferner ist f Vater von jeder Wurzel von t , und jede Wurzel von t ist (i-ter)
i i
Sohn von f, fu¨r 1 ≤ i ≤ n,
(cid:91)
Teilterm(t) := {t}∪ Teilterm(t ),
i
1≤i≤n
(cid:91)
Ast(t) := (f,i)◦Ast(t ),
i
1≤i≤n
(cid:88)
Tiefe(t) := 1+max Tiefe(t ),|t| := 1+ |t |.
1≤i≤n i i
1≤i≤n
Ein Ast ist also ein Wort u¨ber (Op∪X)×N), das einen Weg von der Wurzel zu einem
Blatt beschreibt. Ein Teilterm wird auch Unterbaum genannt.
Example 2.1 Es seien f 3-stellig, g 2-stellig, a und b 0-stellige Operatortensymbole
geeigneter Profile, so dass t = f(g(a,b),a,f(a,g(b,b),b)) ein korrekter Term ist. g(a,b)
oder f(a,g(b,b),b) sind dann Unterb¨aume und (f,3)(f,2)(g,2)(b,0) ist der Ast von der
Wurzel f zum Blatt b, der, von oben nach unten betrachtet, zuerst den 3., dann den 2.
und am Ende nochmals den 2. Sohn als Weg w¨ahlt. Es ist Tiefe(t) = 3 und |t| = 11.
2.2 Semantik: Algebren
Definition 2.4 Eine (S-) Algebra A zur Signatur S = (S,Op) ist ein Paar
A = ((A ) ,OpA),
s s∈S
- von einer Familie von nicht leeren Mengen A von Elementen der Sorte s, und
s
-einerFamilieOpA = (OpA ) vonMengen OpA vonAbbildungenmit |Op | =
w→s w∈S∗,s∈S w→s w,s
|OpA |, wobei jedem Operatorsymbol f ∈ Op mit w = s ...s genau eine Abbildung
w→s w,s 1 n
fA : A ×...×A → A
s1 sn s
in OpA zugeordnet ist.
w→s
7
Algebren zur Signatur S bilden die Semantik zur abstrakten Syntax S: ein Operatorsym-
bol a in Op , w = s ...s wird als die Abbildung aA : A ×...×A → A in OpA
w,s 1 n s1 sn s w→s
interpretiert. Nullstellige Operatorsymbole einer Sorte s werden damit als ein Elemente
aus A , Konstante der Sorte s, interpretiert. A ist die Tra¨germenge der Sorte s, die
s s
Tra¨germenge einer Algebra A ist die Vereinigung aller Tra¨germengen aller Sorten. Sie
wird meist auch mit A bezeichnet. Aus dem Zusammenhang sollte ersichtlich sein, ob
mit A gerade eine Algebra oder deren Tr¨agermenge gemeint ist. e bezeichnet stets ein
s
Element aus A .
s
Definition 2.5 Es seien A,B zwei Algebren zur gleichen Signatur S = (S,Op). Ein
(Algebra-)Homomorphismus h : A → B ist eine Familie
h = (h )
s s∈S
von Abbildungen h : A → B , so dass fu¨r alle n ∈ N,s ,s ∈ S,a ∈ A , fu¨r 1 ≤ i ≤ n ≥
s s s i i si
0 und a ∈ Op gilt:
s1...sn,s
h (aA(a ,...,a )) = aB(h (a ),...,h (a )).
s 1 n s1 1 sn n
Insbesondere gilt h (aA) = aB fu¨r ein nullstelliges Symbol a in Op der Sorte s. Fu¨r ein
s
Element e der Sorte s schreiben wir statt h (e) auch einfach h(e).
s
Definition 2.6 Es sei K eine Klasse von S-Algebren. A ∈ K heißt initial fu¨r K, falls
i
zu jeder Algebra A in K genau ein S-Algebra-Homomorphismus
i : A → A
i
existiert. i heißt dann der initiale Homomorphismus.
A heißt initial (u¨ber S), falls A initial bzgl der Klasse aller S-Algebren ist.
i i
Insbesonder ist die Identita¨t der einzige S-Algebra-Homomorphismus von A nach A .
i i
Zwei bzgl K initiale Algebren sind isomorph.
Example 2.2 Es sei S eine Signatur, in der zu jeder Sorte S mindestens ein nullstelliges
Operatorsymbol existiert. Die Familie der Grundterme einer Signatur S = (S,Op) bildet
kanonisch selbst eine S-Algebra T(S), n¨amlich
T(S) := ((T (S)) ,Op),
s s∈S
in der die Elemente der Sorte s gerade alle Grundterme der Sorte s bilden und die Be-
deutung eines Operatorsymbols a gerade die formale Anwendung von a auf n Terme
s1...sn,s
aus T (S)×...×T (S) ist.
s1 sn
T(S) ist die initiale Algebra u¨ber S. Die Evaluierung evalB ist der einzige Homomor-
pohismus von T(S) in eine S-Algebra B, in der alle Grundterme von S in B einfach
ausgerechnet werden.
8
Definition 2.7 Fu¨r eine S-Algebra B ist die Evaluierung der Homomorphismus von T(S)
nach B definiert durch
evalB(a) := aB
fu¨r alle nullstelligen Operatorsymbole, und
evalB(a(t ,...,t )) := aB(evalB(t ),...,evalB(t ))
1 n 1 n
fu¨r alle n-stelligen Operatorsymbole a angewendet auf Grundterme t der korrekten Sorten.
i
Es seien eine Signatur (S = (S,Op),X) mit Variablen und eine S-Algebra B gegeben, so
dass keine Variable ein Element von Op oder von B ist. Wir erweitern die Evaluierung
evalB auf Terme in T(S,X) indem wir
evalB(x) := x
setzen. Es sei t ∈ T (S,X) ein Term, und (x ,...,x ) ein Vektor von Variablen, so dass
s 1 n
alle Variablen in t in {x ,...,x } vorkommen. s sei die Sorte von x . Dann k¨onnen wir
1 n i i
t und (x ,...,x ) kanonisch als eine Abbildung
1 n
tB : B ×...×B → B
s1 sn s
auffassen, wobei fu¨r a ∈ B wir tB(a ,...,a ) als das Element in B definieren, indem
i si 1 n s
jedes Vorkommen von x durch a fu¨r 1 ≤ i ≤ n in tB ersetzt wird.
i i
Eine Abbildung σ : X → B mit σ(x ) ∈ B heißt auch Belegung. evalB erweitert evalB
s s σ
durch
evalB(x) := σ(x).
σ
Jedem Ast w einer L¨ange n in einem Term t ∈ T(S) kann man durch Induktion u¨ber
T(Σ) kanonisch eine Folge C ,...,C von Kontexten wie folgt zuordnen:
1 n
- Induktionsbeginn: t = a ∈ T (Σ). Dem einzigen Ast (a,0) wird C := x zugeordnet fu¨r
0 1
eine Variable x ∈/ T(Σ) der Sorte s,
- Induktionsschritt: t = f(t ,...,t ). Einem Ast (f,i)◦w, wobei w ein Ast einer L¨ange k
1 n
im Unterbaum t ist, dem bereits die Folge C ,...,C zugordnet ist, ordnen wir die Folge
i 1 k
C ,...,C ,C mit C := f(t ,...,t ,x,t ,...,t ) zu mit der Variablen an der i-ten
1 k k+1 k+1 1 i−1 i+1 n
Stelle, fu¨r 1 ≤ i ≤ n.
Offensichtlich gilt damit
Lemma 2.1 Fu¨r jeden Baum t und jeden Ast w mit Blatt a in t gilt fu¨r die w zugeordnete
Folge C ,...,C mit k = |w|:
1 k
t = C (C (...(C (a))...).
k k−1 1
Fu¨r jede S-Algebra A ist
evalA(t) = CA(...CA(eval(a)...).
k i
9
Example 2.3 (a(3),b(2),c(2),d(1),e(0),f(0),g(0)) sei ein gerangtes Alphabet, so erh¨alt der
Baum
t = a(b(c(d(f),e),d(b(g,f))),e,a(e,e,f))
die graphische Darstellung aus Figur 1. Dem Ast (a,1)(b,1)(c,2)(e,0) werden die Kon-
texte
C = x
1
C = c(d(f),x)
2
C = b(x,d(b(g,f)))
3
C = a(x,e,a(e,e,f)) zugeordnet. Damit ist t = C (C (C (C (e)))).
4 4 3 2 1
Figure 1: Der Baum t
Example 2.4 Wir betrachten die Signatur
Aut = ({l,s,b},{δ ,f ,s ,T }),
sl,s s,b ε,s ε,b
(genauer mu¨ssten wir Aut = ({l,s,b},{{δ },{f },{s },{T }}) schreiben, aber wir
sl,s s,b ε,s ε,b
fassen solch eine triviale endliche Familie von endlichen Mengen selbst als endliche Menge
auf)
bestehend aus drei Sorten (fu¨r letter, state, boolean). Es sei A eine Aut-Algebra. Wir
fassenA alsAlphabet, A alsZustandsmenge, A alsWahrheitsmenge, TA alsWahrheitswert
l s b
true, δA als Transitionsfunktion, sA als Startzustand und Zustande s ∈ A mit fA(s) = TA
s
als finale Zust¨ande in A auf. Damit definieren wir
- δ∗ : A ×A∗ → A induktiv durch δ∗(s,ε) := s und δ∗(s,wa) := δA(δ∗(s,w),a), und
A s l s A A A
- L(A) := {w ∈ A∗|fA(δ∗(sA,w)) = TA}.
l A
Es seien A,B zwei Aut-Algebren und h : A → B ein Homomorphismus. So gilt offen-
sichtlich
h (δ∗(sA,w)) = δ∗(sB,h (w)), und
s A B l
fA(δ∗(sA,w)) = TA =⇒ fB(δ∗(sB,h (w) = TB, also
B l
h (L(A)) ⊆ L(B). Wir k¨onnen im Gegensatz zu den Automaten-Homomorphismen in
l
Kapitel 1 nicht mehr h (L(A)) = L(B) erwarten. Der Grund ist, dass in Kapitel 1 finale
l
Zust¨ande auf finale und nicht-finale auf nicht.finale abgebildet werden mußten. In der Sig-
natur Aut ist aber nicht sichergestellt, dass die Sorte b auch tats¨achlich Wahrheitswerte
10