Algebraical and Topological Foundations of Geometry: Proceedings of a Colloquium, Utrecht, Germany, 1959

200 Pages·1962·14.286 MB·English

by  Hans (editor) Freudenthal

ALGEBRAICAL AND TOPOLOGICAL
FOUNDATIONS OF GEOMETRY
PROCEEDINGS OF A COLLOQUIUM
HELD IN UTRECHT, AUGUST 1959
Sponsored by the
INTERNATIONAL MATHEMATICAL UNION
Organized on behalf of the
NETHERLANDS MATHEMATICAL SOCIETY
by
HANS FREUDENTHAL
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1962
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III/18/203 .
PREFACE
Foundations of Geometry is the field from which in the beginning of this century
originated the axiomatic method that meanwhile has proved an indispensable tool
and a unifying factor in modern mathematics. Abstract algebra and topology,
anticipated in Hubert's work on foundations of geometry, developed from this root
to become impressive witnesses of the power of the axiomatic method, though
gradually their bonds with Foundations of Geometry slackened. New bonds were
tied through important discoveries in the thirties, and particularly since the Second
World War mutual influences have grown stronger and stronger.
The Colloquium on Algebraic and Topological Foundations of Geometry, held in
Utrecht in 1959, has been a review on recent discoveries in this border-land, at
a cross-road, as it were, where scientific traffic met from four directions : Algebra,
Topology, Foundations, and Geometry. Rather than being an instance of peaceful
coexistence of various tendencies in mathematical thought, this meeting has
resulted into a synthetic view on one subject with many aspects. It is the aim of
the present Proceedings ofthat Colloquium to record the variety of its achievements
and to reflect their unity.
Ilans Freudenthal
HJELMSLEVSCHE GEOMETRIE
REINHOLD BAER
MAN KANN aus jeder mathematischen Struktur auf mannigfache Art neue
Strukturen ableiten. Wir wollen uns hier mit einigen geometrisch interessanten ab­
geleiteten Strukturen befassen, zu denen man durch Betrachtung der zulässigen
Untergruppen einer abelschen Operatorgruppe geführt wird. Wir werden durch
Überkreuzung zweier Prinzipiengruppen zur Betrachtung von vier Klassen
abgeleiteter Geometrien geführt werden.
Ist A eine abelsche Gruppe mit Operatoren aus einem Ringe Λ, so sollen
projektiv-geometrische Strukturen, die wir von (A, Λ) ableiten, nur aus yl-zu-
lässigen Untergruppen von A bestehen. Jede derartige projektive Geometrie π
führt sofort zu einer zugehörigen affinen Geometrie: sie besteht aus allen Rest­
klassen nach Untergruppen aus π ; die Inzidenz wird in beiden Fällen durch Ent­
haltensein erklärt. Zwei Prinzipien der Bildung projektiver Geometrien wollen
wir erörtern: die vollständige projektive Geometrie ist einfach der Verband aller
zulässigen Untergruppen von A, während die Hjelmslevsche Geometrie aus den
sämtlichen zulässigen direkten Summanden besteht — sind A' und A!' zulässige
Untergruppen von A mit A = Α' + A" und 0 = A' Π Α!\ so sind A' und A"
zulässige direkte Summanden. Wir erhalten so vier abgeleitete geometrische
Strukturen, die aus dem folgenden Diagramm ersichtlich sind:
Projektiv Affin
Vollständig Gesamtheit der zulässigen Gesamtheit der Restklassen
Untergruppen nach zulässigen Unter­
gruppen
H jelmslev Gesamtheit der zulässigen Gesamtheit der Restklassen
direkten Summanden nach zulässigen direkten
Summanden
Wir wollen uns hier vorwiegend mit den gegenseitigen Beziehungen dieser
vier abgeleiteten Geometrien befassen; ihre axiomatische Charakterisierung in
der Kategorie der teilweise geordneten Mengen werden wir kaum streifen.
Zunächst jedoch ein paar Bemerkungen zur Rechtfertigung unserer Prinzipien :
Ist etwa A eine abelsche Gruppe mit Operatoren aus einem (nicht notwendig
kommutativen) Körper K, so ist der Verband der ϋΓ-zulässigen Untergruppen
von A genau die von dem Vektorraum getragene projektive Geometrie. Hat A
etwa noch den endlichen Rang n -f- 1 über K, so ist n die Dimension dieses
projektiven Raumes. Ebenso ist die Gesamtheit der Restklassen nach ^-zu­
lässigen Untergruppen genau die von dem Vektorraum A über K getragene affine
ATFG
1
2 ALGEBRAICAL AND TOPOLOGICAL FOUNDATIONS OF GEOMETRY
Geometrie; die Dimension dieses affinen Raumes ist aber n-\-\. Bekanntlich
ist jeder Unterraum eines Vektorraumes ein zulässiger direkter Summand, so
daß also vollständige und Hjelmslevsche Geometrie in diesem Falle zusammen­
fallen. Es ist klar, daß die affine Geometrie aus der zugehörigen projektiven
durch Erweiterung und wesentliche Bereicherung entsteht : ist etwa n = 1,
so haben wir es einerseits mit der strukturarmen projektiven Geraden, die ja
weiter nichts ist als eine Punktmenge, und andererseits mit der schon sehr reichen
Struktur einer affinen Ebene zu tun. Der geometrisch so einfache Übergang
vom m-dimensionalen affinen Raum zum m-dimensionalen projektiven Raum
durch Hinzufügen der unendlich fernen Elemente bedeutet eine fundamentale
Abänderung des tragenden Vektorraumes, dessen Rang um eins wächst. Der
für uns wichtigere Übergang vom (n -f- l)-dimensionalen affinen Raum zum
Ti-dimensionalen projektiven Raum ergibt sich durch die folgende allgemeine
Konstruktion, die auch noch brauchbar ist, wenn der Operatorenbereich kein
Körper ist: die projektive Geometrie ist im wesentlichen identisch mit der Ge­
samtheit der durch einen festen Punkt gehenden Unterräume der affinen Geo­
metrie. Diese Bemerkung zeigt, daß im allgemeinen Falle die vollständige wie
auch die Hjelmslevsche projektive Geometrie durch die zugehörige affine Geo­
metrie ganz und gar bestimmt ist. Das umgekehrte Problem ist viel schwieriger,
da ja die projektive Geometrie viel ärmer als die zugehörige affine Geometrie
ist; will man etwa aus dem ^-dimensionalen projektiven Raum den zugehörigen
n + 1-dimensionalen affinen Raum aufbauen, so ist das gleichwertig mit dem
Problem, den w-dimensionalen projektiven Raum in den (n -\- 1)-dimensionalen
einzubetten und hierfür existieren bisher nur äußerst komplizierte und lang­
wierige Konstruktionen (wenigstens wenn wir von Konstruktionen absehen >
die Einfachheit durch Unvollständigkeit und Lückenhaftigkeit vortäuschen).
Die vorstehenden Bemerkungen machen es deutlich, daß sowohl das projek­
tive wie auch das affine Geometriebildungsprinzip seit langem einen festen Platz
in unseren Überlegungen hat — es ist mathematisch-historisch vielleicht nicht
ohne Interesse, daß die von unserem Gesichtspunkt aus natürlichere Bildung,
nämlich die projektive, ein verhältnismäßig neues Glied der mathematischen
Gesellschaft ist: die projektive Geometrie ist keine 150 Jahre alt, während die
Geschichte der affinen Geometrie, je nach dem was man alles dazuzurechnen
bereit ist, hunderte oder sogar tausende von Jahren alt ist. Anders ist es mit dem
Übergang von der vollständigen zur Hjelmslevschen Geometrie: es ist eine schöne
und nicht allzu lange zurückliegende Entdeckung von Klingenberg, daß sich die
Hjelmslevschen projektiven Ebenen mit Nachbarelementen genau mit dem
decken, was hier im fraglichen Spezialfall als Hjelmslevsche projektive Ebene
bezeichnet würde. Wir werden dies weiter unten an einem typischen Beispiel
veranschaulichen. Es führt aber auch ein anderer vielleicht systematisch noch
wichtigerer Zugang zu den Hjelmslevschen Geometrien.
Ist A eine abelsche Gruppe über dem Operatorenring Λ, so ist ein Auto­
morphismus von (A, Λ) eine Permutation σ der Elemente aus A derart, daß
(a -f- b) σ = ασ -f- ba, (ra) σ =-■ r(aa) für a, b in A und r in Λ gilt. Diese linearen
Abbildungen liefern uns .eine besonders wichtige Gruppe projektiver Abbildungen;.
HJELMSLEVSCHE GEOMETRIE 3
sie ist nicht die größte zulässige Gruppe, aber die noch „fehlenden" sog. semi­
linearen Abbildungen werden wir vorläufig nicht brauchen. Unter den linearen
Abbildungen sind viele projektiv-trivial wie etwa die Abbildung: a^ —a,
die ja jede zulässige Untergruppe auf sich abbildet. Sie ist erst affin wichtig;
und affin wichtig sind auch die Translationen : x -> x -f-1 (mit festem t und
variablem x). Bei neueren Untersuchungen hat es sich nun als besonders fruchtbar
erwiesen, in das Zentrum der Überlegungen die sog. Spiegelungen zu stellen;
dies sind lineare Abbildungen der genauen Ordnung 2. Ist a etwa eine a2 = 1
erfüllende lineare Abbildung, ist weiter der Operatorenring A so beschaffen,
daß er \ enthält {\x ist die eindeutige Lösung y der Gleichung y -\- y = x), so
gehört zu a ein Paar von Unterräumen, nämlich die Gesamtheit J+ der xa = x
erfüllenden Elemente x aus A und die Gesamtheit J~ der xa = — x erfüllenden
Elemente x aus A. Man überzeugt sich leicht, daß J+ und J~ zulässige Unter­
gruppen sind, und daß aus der Existenz von \ auch J+ Π J~ = 0 folgt. Ist schließ­
lich x irgendein Element aus A so wird
x = \(x + xa) -j- \ (x — xa) ;
und aus a2 = 1 folgt die Zugehörigkeit des ersten Summanden zu J+, die des
zweiten zu J~, so daß also A = J+ -\- J~ gilt. Mithin sind J+ und J~ komplemen­
täre Elemente aus der Hjelmslevschen projektiven Geometrie, womit ein enger
Zusammenhang zwischen der Hjelmslevschen projektiven Geometrie und den
Spiegelungen aufgewiesen ist.
Schließlich noch zwei Bemerkungen, die belegen sollen, daß vollständige und
Hjelmslevsche Geometrie sich wesentlich unterscheiden, ein Beleg der dadurch
notwendig wird, daß im Falle der Vektorräume über Körpern diese beiden
Geometrien ja zusammenfallen. Es gibt direkt unzerlegbare abelsche Torsions-
gruppen positiven und sogar unendlichen Ranges; für diese ist die vollständige
projektive Geometrie sehr strukturreich, während die Hjelmslevsche trivial
ist (nur aus 0 und dem Universum besteht). Interessanter ist folgendes, das.
mancher Verallgemeinerung fähig ist. Es sei p eine Primzahl und n eine natür­
liche Zahl; weiter sei A eine direkte Summe dreier zyklischer Gruppen der Ord­
nung pn. Ist n = 1, so haben wir es genau mit der [klassischen] projektiven
Ebene über dem Primkörper der Charakteristik p zu tun ; ist aber 1 < n, so ist
die zugehörige vollständige Geometrie wesentlich von der zugehörigen Hjelmslev­
schen projektiven Geometrie verschieden; diese ist eine typische projektive
Ebene mit Nachbarelementen. Es sind nämlich die Punkte dieser Hjelmslevschen
Geometrie genau die zyklischen Untergruppen der Ordnung pn ; und ihre Geraden
sind die direkten Summen zweier zyklischer Untergruppen der Ordnung pn. Ist
also etwa a, 6, c eine Basis unserer Gruppe, so sind [a] und {a -\- ριο) mit 0 < i < n
zwei verschiedene Punkte, die etwa auf den folgenden zwei verschiedenen Geraden
liegen: {a, 6} und {a, b + pn~lc}. Man könnte sagen, daß sich diese Punkte nur
vom ,,Grade n — i" unterscheiden; sie sind ja gleich, wenn es aufs £>l-fache
nicht mehr ankommt.
Im folgenden wollen wir uns nur mit den projektiven, nicht mit affinen Fragen
beschäftigen. Es ist klar, daß die .Hjelmslevsche projektive Geometrie sich jeweils
1*
4 ALGEBRAICAL AND TOPOLOGICAL FOUNDATIONS OF GEOMETRY
durch eine Verarmung der zugehörigen vollständigen Geometrie ergibt, und
daß die Hjelmslevsche Geometrie ganz und gar durch die vollständige Geometrie
bestimmt ist. So entsteht die Frage, ob sich auch umgekehrt die vollständige
aus der Hjelmslevschen Geometrie gewinnen läßt. Daß dies im allgemeinen nicht
möglich sein wird, zeigen die oben erwähnten Beispiele, wo die Hjelmslevsche
Geometrie bis zur Trivialität entartet ist, während die vollständige Geometrie
eine reiche Struktur aufweist. Wir wollen deshalb schHeßlich noch eine Klasse
von abelschen Operatorgruppen angeben, für die sich eine solche Rekonstruktion
durchführen läßt.
Es sei R ein [nicht notwendig kommutativer] Ring mit Einselement, dessen
sämtliche Linksideale auch Rechtsideale sind, und dessen Rechtsideale auch
Linksideale sind. Weiter sei jedes Ideal ^R eine Potenz des Radikals P von R;
und wir wollen der Bequemlichkeit halber annehmen, daß P nilpotent sei. Weiter
sei A eine abelsche Gruppe, die R als Ring von Operatoren zuläßt, und die wenig­
stens den Rang 3 über R hat; d. h. es gebe Elemente a, b, e in A derart, daß
aus ra -f- sb -\- tc = 0 mit r, s, t aus R stets r = s = t = 0 folgt. Sei weiter R*
ein Ring mit entsprechenden Eigenschaften und A* eine abelsche i2*-Gruppe,
deren Rang über R* ebenfalls mindestens 3 ist. Dann und nur dann gibt es eine
eineindeutige, die Inklusion erhaltende Abbildung der Hjelmslevschen pro-
jektiven Geometrie von A über R auf die Hjelmslevsche projektive Geometrie
von A* über i?*, wenn es eine semi-lineare Abbildung von A auf A* gibt; und
alle projektiven Abbildungen der Hjelmslevschen projektiven Geometrie von A
über R auf die von A* über i£* werden durch semi-lineare Abbildungen von A
auf A* induziert. Hierbei ist eine semi-lineare Abbildung ein Paar von Isomor­
phismen oc, ß derart, daß oc ein Isomorphismus des Ringes R auf R* ist, die durch
die Beziehung
(ra)01 = rßaa für r in Jü und a in A
verbunden sind. Der Beweis dieses Satzes erfolgt durch eine mehr oder weniger
vollständige Rekonstruktion der vollständigen projektiven Geometrie innerhalb
«der Hjelmslevschen projektiven Geometrie; eine ausführliche Darstellung ist
in Vorbereitung begriffen.
ZUR GEOMETRISCHEN ALGEBRA
DER MÖBIUSEBENENt
WALTER BENZ
UNTER einer Kreisebene verstehen wir eine Menge ^ß = {A, B, C, . . .} von
Punkten A, B, C, . . ., in der gewisse Teilmengen a,b, c, . . . — genannt
Kreise — ausgezeichnet sind. Eine Kreisebene heißt Möbiusebene, kurz (M)-Ebene,
wenn — unter Benutzung üblicher Sprechweisen — die folgenden Eigenschaften
erfüllt sind:
(MI) Durch drei verschiedene Punkte geht mindestens ein Kreis. Sind a, b, c
verschiedene Kreise mit \ a Π b Π c | ^2, so gilt aPib = bC\c = cr\a.
(Mil) Zu P C k, Q (£ k gibt es genau einen Kreis k' 3 P, Q mit knk' = {P}.
(Mill) Jeder Kreis besitzt mindestens einen Punkt. Es gibt vier verschiedene Punkte,
die nicht gemeinsam auf einem Kreise liegen.
Möbiusebene im engeren Sinn, kurz [M]-Ebene, heißt eine Kreisebene, wenn
neben (Mil), (Mill) erfüllt ist
(MV) Durch drei verschiedene Punkte geht genau ein Kreis.
Jede [M]-Ebene ist (M)-Ebene; umgekehrt gibt es Möbiusebenen, in denen
nicht (MP) erfüllt ist.
Van der Waerden, Smid [12] bewiesen, daß die [M]-Ebenen, in denen der
volle Satz von Mi quel gilt, gekennzeichnet sind durch die folgenden Möbius-
geometrien: Ä sei ein quadratisch nicht abgeschlossener kommutativer Körper,
ρξ2 -\- rξ -{- q, p =\^ 0, sei ein festes irreduzibles Polynom im Polynomring £[£].
Als Punkte werden dann angesprochen neben einem Punkt oo die Punkte der
affinen Ebene i£(£) über §ί, als Kreise werden angesprochen neben den Punkt­
mengen y U {oo}, y Gerade von E($), die Punktmengen
K(a, b, c) = {(x, y) \ p x2 + r x y + q y2 + a x + b y + c = 0}, a,b,c£®,
die aus mindestens drei verschiedenen Punkten bestehen ff.
Neben [M]-Ebenen, die weiteren Inzidenzeigenschaften genügen, hat man
untersucht solche mit einer Orthogonalitätsrelation in gewisser Stärke und Gül­
tigkeit des Büschelsatzes (G.Ewald [4], [5], [6]) (hier kann der volle Satz von
Mi quel gefolgert werden, s. [1]), solche mit einer Orthogonalitätsrelation in
gewissen Stärken und Gültigkeit des vollen Satzes von Miquel [1]. Man hat
untersucht gewisse Kreisebenen mit eingeschränkter Automorphismengruppe
f Auszug der Arbeit „Über Möbiusebenen. Ein Bericht". Jb. Deutsche Math. Ver. 63,
1—27 (1960).
ff Andere (äquivalente) Definitionen dieser Geometrien wurden gegeben in Hoffman [7],
Benz [1].
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6 ALGEBRAICAL AND TOPOLOGICAL FOUNDATIONS OF GEOMETRY
(Süss [11], Petkantschin [8] — hier werden noch Anordnungseigenschaften be­
nutzt, Benz [3]), solche mit einer Winkelvergleichung (Süss [11], Benz [3]).
Ein allgemeines Studium der (M)-Ebenen wurde begonnen in [2]. Ein hierher
gehöriger Satz lautet: Nennt man den Durchschnitt zweier verschiedener Kreise,
die mindestens zwei verschiedene Punkte gemeinsam haben, Fährte, so bilden
alle Fährten, die einen vorgegebenen Punkt W enthalten, als ,Punkte' auf­
gefaßt und alle Kreise durch W als ,Geraden' aufgefaßt, eine affine Ebene bei
naheliegender Erklärung der Inzidenzrelation.
LITERATUR
1. W. BENZ, "Beziehungen zwischen Orthogonalitäts- und Anordnungseigenschaften in
Kreisebenen." Math. Ann. 134, 385-402 (1958).
2. W. BENZ, "Zur Theorie der Möbiusebenen I". Math. Ann. 134, 237-247 (1958).
3. W. BENZ, "Über Winkel- und Transitivitätseigenschaften in Kreisebenen". I, II.
/. Reine Angew. Math. 205, 48—74 (1960). Teil II erscheint demnächst.
4. G. EWALD, "Axiomatischer Aufbau der Kreisgeometrie". Math. Ann. 131, 354—371
(1956).
5. G. EWALD, "Über den Begriff der Orthogonalität in der Kreisgeometrie". Math. Ann.
131, 463-469 (1956).
6. G. EWALD, "Über eine Berühreigenschaft von Kreisen". Math. Ann. 134, 58—61 (1957).
7. A. J. HOFFMAN, "Chains in the projective line". Duke Math. J. 18, 827—830 (1951).
8. B. PETKANTSCHIN, "Axiomatischer Aufbau der zweidimensionalen Möbiusschen Geo­
metrie". Ann. Univ. Sofia II, Fac. Phys.-Math. 1, 219-325 (1940).
9. B. PETKANTSCHIN, "Über die Orientierung der Kugel in der Möbiusschen Geometrie".
Jb. Deutsch. Math. Ver. 51, 124-147 (1941).
10. L. J. SMID, Over Cirkelmeetkunden. Groningen (1928).
11. W. Süss, "Beiträge zur gruppentheoretischen Begründung der Geometrie, III". Tohoku
Math. J. 28, 228-241 (1927).
12. B. L. VAN DER WAERDEN, L. J. SMID, "Eine Axiomatik der Kreisgeometrie und der
Laguerregeometrie". Math. Ann. 110, 753—776 (1935).
THE THEORY OF PARALLELS WITH
APPLICATIONS TO CLOSED GEODESICS
HERBERT BUSEMANN
1. THE AXIOMS
THE THEORY of parallels used to be the central topic of what we now call the
foundations of geometry, but the interest in it ceased almost entirely after the
discovery of hyperbolic geometry, except for some isolated investigations as
those of Dehn on the relations of the angle sum in a triangle to parallels in non-
Archimedian geometries.
A second topic which has failed to attract attention in the foundations of
geometry is spaces with non-symmetric distances. Contributions to this subject
have come from the calculus of variations even when dealing with Hubert's
Problem IV f, which Hilbert himself conceived as part of the foundations of
geometry.
We want to show here that both subjects deserve interest, and that, in fact,
the concept of parallels yields or clarifies theorems on the behaviour in the large
of geodesies or extremals.
The space available here does not permit us to give proofs, but most of the
material is easily accessible : the symmetric case in the author's book [2] and the
extension of this theory to the non-symmetric case in [1] and in Zaustinsky's
Memoir [11].
We call a space R metric if a real valued function pq is defined on R x R
satisfying the conditions: (a) pp = 0, (b) pq > 0 for p Φ q, (c) pq-\- qr> pr,
(a) pq ->- 0 if and only if qp -> 0, (e) pq ->- oo if and only if qp -> oo.
v v v v
Whereas (d) is a natural condition preventing two distinct topologies, there
are interesting geometries not satisfjdng (e), in particular Funk's so-called "Geo­
metrie der spezifischen Maßbestimmung" ([6] and [11, Appendix I]) which is
closely related to the symmetric geometry discovered by Hilbert ([8, Anhang I]
and [2, Section 18]). We require (e) merely because a theory without (e) does
not yet exist.
Using (pqr) to indicate that p, q, r are distinct and satisfy pq + qr = pr,
we may formulate our axioms as follows :
I The space, R, is metric
II R satisfies the Bolzano-Weierstrass Theorem (i.e. if pq < ß, v = 1, 2, . . ,
v
then a subsequence {q } of {q} and a point q exist with q -+ q.
n v Uv
Ill For p ή= r a point q with (pqr) exists
t The problem asks for the study of the geometries in which the straight lines are the
shortest connections.
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