Algebraic Surfaces

288 Pages·2011·13.496 MB·English

by  Arnaud Beauville (auth.), G. Tomassini (eds.)

G. Tomassini (Ed.)

Algebraic Surfaces

Lectures given at aSummerSchoolof the
Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.),
held in Cortona (Arezzo), Italy,
June 22-30, 1977
C.I.M.E. Foundation
c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini”
Viale Morgagni n. 67/a
50134 Firenze
Italy
[email protected]

ISBN 978-3-642-11086-3 e-ISBN: 978-3-642-11087-0
DOI:10.1007/978-3-642-11087-0
Springer Heidelberg Dordrecht London New York

©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010
Reprint of the 1ste d. C.I.M.E., Ed. Liguori, Napoli 1 981
With kind permission of C.I.M.E.

Printed on acid-free paper

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CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO
(c.I.M.E.)
SURFACES ALGEBRIQUES COMPLEXES
ARNAUC BEAUVILLE
SURFACESA LG~BIR Q UES COMPLEXES
ARNAUD BEAUVI
LLE
INTRODUCTION
Cet expos6 camprend deux parties. La premisre est un sumo1 assez rapide
de la classification d3Enriques des surfaces algdbriques. On s'est inspird,
bien entendu, Be la litt6rature classique sur le sujet, et en particulier du
s6minaire Chafarevitch [Ch.2]. On a essays d'ttre aussi 616mentaire que possi-
ble, en supposant toutefois connue la cohomologie des faisceaux cohgrents.
On renvoie 8 [Be] pour une exposition plus dBtaill6e ainsi que pour .des exem-
ples.
La seconde partie comprend des indications la d6monstration par
Chafarevitch et ~iatechki-~hapiidou th6orPme be Torelli pour les surfaces
K 3 3CtC.PPl.
$1. Notations et rappels.
Nous dirons sirdplement surface au lieu de surface projective et lisse
sur C.
.
Soit S une surface, D, D' deux diviseurs sur S On note :
-
D 3 D' si D et. D' sont lin6airemelrt Lquivalents !i.e. D-D' est le
.
diviseur d'une fonction rationnelle sur S)
.
-
BS(~)l e fais.ce au inversible associ6 b D
- H~ (s, bS(D)) ou simplement $(Dl s'il n'y a pas de confusion possible.
.
les espaces de cohomologie dufaisceau BS(?>
-
hl(~=) ahe H'(D)
- -
;((~,(DI)= hO(~j $(Dj + h2b)
-
D = espace projectif des diviseurs effectifs lindairement lquivalents
B D.
.
ts espace projectif associ6 H*(D)
(si h0(5) = 2 , on dit que ID \ est un @.';iceau).
- ou K = diviseur canonique = un diviseur tel qua eS( K) = nS2
KS
-
Pic(S) = groupe des diviseurs modulo dquivdence IinEaire
r=) groupe des classes d'isomorphisme de faisceaux inversibles
En vertu de th6orhes g6n€rawr,,on a :
g) HI^,^@:)
pic@) = ~'(6, 19 =
03 d6signe le faisceau des fonctions holoraorphes sur S , considbr6e
come vari6t6 anslytipue. Cette dernisre interpretation .permet de consid'e-
rer la suite exsctc! :
d'oa l'on d6duit la suite exacte importante :
0 -3 ~'(6.2)j H1(s, BS) ---9 P~C(S+)H 2(5J) -9 H2(S, oS) (a)
Posons : picO(s) = H' (s, es)/sl @,a)
EIS(S) = ~er(2H ( 6,~)- 4 H2 (s, 6S))
Le groupe Pic(S) spparait come une extension :
de dew groupes de nature diffgrente:
-
le groupe picO(s) est un groupe divisible; la th6orie de Hodge rnontre '
pue iI 1( S.1) esi un r6seau aana H'(s, Bs) , autrement dit pico(s) a
-
me structure naturelle de tore complexe et rnsme, en fait, de vari'et6
ab6lienne.
-. le groupe PJS(S)c H'(s,'B) est un groupe de type fini.
2
Le cup-produit sur H (s,z) indait sur NS(S) une fome bilin6aire
symEtrique 5 valeurs dans ZI , le produit d'intersection; si D et D'
sont dexx aibiseurs, on note (D-D') le prorluit de 'leurs classes dans NS(S).
On obtient ainsi une fome bilin6aire sym6trique sur le groupe des diviseurs
qui joue LIE r5le fondmental, dans la th'eorie des surfaces. Si C, C'
sont dew courbes irr6ductibles distinctes. on a :
,
(c.c' ) =' nanbre de points d'intersection de C et C' compt6s avec
leur multiplicitb.
Rappelons quelques th8orhes fondsmentaux :.
.
Dudit6 de Serre : hi(IC-I)) = , OSiL2
On utilisera trb souvent Riemm-Roch sous la forme suivante, qui
utilire 18 d ~ i t id,e Serre : ~O{D)+ ~P(K-D) 7 ( eS) + 1/2 ($ - D.K)
.
Formule du jzenre : Soit C m e courbe irr6ductible sur S
.
Ce ncmbre est le genre de C , not6 g(C) Si C est singulisre, son
genre est strictement plus grand que celui de sa nodis6e; en particulier,
on a &(c) = 0. si et seulement si Clf?1 .
Invariants num&riaues
On pose :
pg(~)= dim H'(s, BS) = dim H'(s, a:) = dim H'(K) (par dualit6 ds Serre)
On notera simplement q, pg, Pn s'il n'y a pas de confusion possible.
Tous ces invariants sont des invariants birationhels. On a :
-
T(e sl = 1 q + Pg
On pose bi 3 dimQ:H '(X,G) ; par dualit6 de Poincar6, on a
.
b4 = bo = 1 et b3 = b, De plus, il rgsulte de la thgorie ae Hoage
.
que b, = 2%
i -
On pose Jtop(S) ' Z (-1) bi 2 29 + b2
Ces invariants sont rdi6s par $18 :
Formule de N. Noether : 12 X( BS) = 8 '+ )! (s)
top
Mous utiliserons la varigtg d'Albanese d'kqe surface S ; rappelons ici
les propriSt6s. qui nous. intlressent :
,
I1 existe une varigti ebglienne Alb(S) ;de ahension p -e
morphisme d : S 4 ~lb(s)t els que :
- -Si a_ & 1 , d (s) n'est pas rBfiuit 2 un ooint;
- -Si d (s) est m e courbe B , cette,'courbe est lisse de' genre q e t
la fibration p : S --j, B a ses fibres ,connexes.
.
On dira que p est la fibration d'Albsnese de S
Nous utiliserons 6galement le thgorhe classique sdv& :
"ThdorZme debertini" : S e t S une surface, C une courbe, g : S --+ C
un morphisme surjectif. I1 existe une courbe lisse B et un dia~ramme
cornmutatif:
tel que le mo,+hisme p : S-+ B ait ses fibres connexes;
Notons o_ue la fibre g$n'eriqxe du morpbhme p est alors lisse et
irr&luctible, puisque la fibre gdndrique d'u-n morphisme ae vari6t6s lisses
.
sur E est toiSjours lisse (thgorhe ae Smd)
Enfin la rmarque suivate est triviale mais extrhement utile i
Remarque utile :
, 2 - ,
Soient C une courbe irrdductible sur S telle que C 0 D
.
aiviseur effectif. Alls (D.c)+O
D6monstration ; oli .&-it D = Dr + nC , oil D' ne contient pas C ,
.
2
et' nbO ; dors (D.,c) = (D'.c) + n ( ~)+ O
52. Applications birationnelles.
On peut classifier: les surfaces 8 isomorphisme prss, ou, plus grossibre-
ment, 8 isomorphisme birationnel prb. ~e'probl&e ne se pose pas pow les
courbes, puisque toute application birati6nneU.e drune courbe lisse dans une
autre est partout d6flnie. Pour les surfaces, on va voir,que toute application
birationnelle s'obtient 8 partir de trans,fomations "blbentaires", les &la-
.
tement s
.
Rappel : Soit S une surface, . pt S il existe une surface SA et un mor
phisme birationnel E : CS --$ S tels we :
-
£ restreint 8 £-'(~-p) est un isomorphisme sur S-p ;
-
p E est une courbe isonorphe 2 lp' , aui sridentiiie neturellenent
.
3 llensembl= des directions tangentes 1 S & p
On dit que E' est 1',8clatement de S .en p , et E la &mite excep-
a
tiomell? ae'lr6cla&ment. On :
ns(s") ns(s) c~ a [EJ (b1
La forme &'intersection sur SA &axit donde par les fonrmles :
.
(f* D t*D1) (D.D') D,D1 aiviseurs mr S
f
(L*D.E) = o
3
= -1