Álgebra y Geometría Analítica

186 Pages·2017·0.96 MB·Spanish

Álgebra y Geometría Analítica
Universidad Nacional de San Luis
Rector: Dr. Félix Daniel Nieto Quintas
Vicerrector: Dr. José Roberto Saad
Secretaría de Coordinación y de Planificación Institucional
CPN Víctor A. Moriñigo
Nueva Editorial Universitaria
Avda. Ejército de los Andes 950 - 2˚ Piso
Tel. [phone] Int. 5109/110
www.neu.unsl.edu.ar - e-mail: [email protected]
neu
Universidad

Nacional de San Luis
nueva editorial universitaria
Álgebra y Geometría Analítica
Facultad de Ciencias Físico, Matemá́ ticas
y Naturales
Departamento de Matemática
Patricia Galdeano, Jorge Oviedo y María Isabel Zakowicz
Universidad Nacional de San Luis
San Luis - Argentina - 2017
Álgebra y Geometría Analítica / Patricia Galdeano, Jorge Oviedo y María
Isabel Zakowicz. - 1a ed. - San Luis : Nueva Editorial Universitaria - U.N.S.L., 2017.
90 p. ; 30x21 cm.
ISBN : 978-987-733-094-6
1. Matemática. II. Título CDD 370.1 1. Álgebra. 2. Geometría Analítica. 3.
Educación Superior. I. Título. CDD 512.140711
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Edición 2017
Universidad Nacional de San Luis - San Luis - Argentina.
Impreso en Argentina - Printed in Argentina.
Queda hecho el depósito que marca la Ley 11723.
ISBN :978-987-733-094-6
© Nueva Editorial Universitaria. - Universidad Nacional de San Luis.
Avda. Ejército de los Andes 950 - San Luis - República Argentina.
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Indice general
1. Nu´meros Complejos 5
1.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Forma bin´omica o can´onica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1. Producto por un real k . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2. Suma y Resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3. Multiplicaci´on o producto . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.4. Conjugado de un nu´mero complejo . . . . . . . . . . . 7
1.2.5. Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Forma polar o trigonom´etrica de un nu´mero complejo . . . . . 10
1.3.1. Producto y cociente en forma polar . . . . . . . . . . . 13
1.3.2. Potencias de nu´meros complejos en forma polar . . . . 14
1.4. Forma exponencial de un nu´mero complejo . . . . . . . . . . . 15
1.5. Ra´ıces de un nu´meros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2. Lo´gica 26
2.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2. Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1. Proposiciones Compuestas y Conectivos L´ogicos . . . . 27
2.3. Operaciones con proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1. Negaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.2. Conjunci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.3. Disyunci´on y Diferencia Sim´etrica . . . . . . . . . . . . 30
2.3.4. Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.5. Bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4. Leyes Lo´gicas o Tautolog´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5. Funciones Proposicionales. Cuantificaci´on. . . . . . . . . . . . 38
2.6. Circuitos lo´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1
3. Razonamiento Deductivo y M´etodos de demostraci´on 47
3.1. Razonamiento Deductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2. M´etodos de demostracio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1. Forma directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.2. Demostraci´on por contrarrec´ıproco . . . . . . . . . . . 51
3.2.3. Demostraciones por reduccio´n al absurdo . . . . . . . . 51
3.3. Induccio´n Matem´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.1. Principio de Induccio´n Matema´tica . . . . . . . . . . . 53
3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4. Conjuntos 65
4.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2. Notaciones y Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3. Diagrama de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4. Conjuntos y Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.5. Operaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5.1. Complemento de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5.2. Uni´on, Interseccio´n, Diferencia y Diferencia Sim´etrica . 74
4.6. Conjunto de Partes. Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . 78
4.6.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.6.2. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5. Vectores 88
5.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2. Enfoque geom´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2.1. Definiciones y Notacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2.2. Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3. Enfoque Algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
´
5.4. Angulo entre dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.4.1. Vectores en R2 en t´erminos de su m´odulo, direcci´on y
sentido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.5. Producto escalar (o interno) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.5.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.5.2. Proyeccio´n de un vector sobre otro . . . . . . . . . . . 99
5.6. Producto vectorial de vectores en R3 . . . . . . . . . . . . . . 100
5.6.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2
6. Geometr´ıa Anal´ıtica 109
6.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.2. Ecuaciones de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.2.1. Ecuaci´on vectorial y param´etrica . . . . . . . . . . . . 110
6.3. Posiciones relativas de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
´
6.3.1. Angulo entre rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.4. Ecuaciones del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.4.1. Ecuaci´on vectorial y representacio´n param´etrica . . . . 115
6.4.2. Ecuaci´on Impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.5. Posiciones relativas de Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.6. Representaci´on gr´afica de rectas y planos . . . . . . . . . . . . 120
6.6.1. Representacio´n gra´fica de rectas en R3 . . . . . . . . . 120
6.6.2. Representacio´n gra´fica de Planos . . . . . . . . . . . . 122
6.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7. Sistemas de ecuaciones lineales 130
7.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.2. Sistemas de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.2.1. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . 132
7.2.2. M´etodo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.2.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8. Matrices 156
8.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.2. Definiciones y Consideraciones Generales . . . . . . . . . . . . 157
8.3. Operaciones con Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.3.1. Multiplicaci´on Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.3.2. Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.3.3. Producto de Matrices o Multiplicacio´n Matricial. . . . 159
8.3.4. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.4. Matrices Cuadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.4.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.5. Matrices Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.6. Forma matricial de un sistema de ecuaciones . . . . . . . . . . 170
8.6.1. Rango de una Matriz. Teorema de Rouche. . . . . . . . 172
8.7. Ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
A. Bibliograf´ıa 180
3
4
Pro´logo
La ensen˜anza de los contenidos fundamentales del a´lgebra y de la geo-
metr´ıa actual, y el uso de su particulares terminolog´ıas son una realidad en
todo curso ba´sico a nivel universitario. Creemos que hay dos razones prin-
cipales que dan cr´edito a esto: una asociada al progreso de las ciencias y a
la unidad conceptual; la otra vinculada estrechamente a sus aplicaciones en
casi todas las disciplinas de inter´es pr´actico y de vigencia cotidiana.
Como profesores pretendemos dar las bases para que los estudiantes tengan
´exito en cursos superiores. Adem´as tenemos como objetivo desarrollar dis-
´
tintas capacidades ba´sicas en Algebra, para que los alumnos logren realizar
razonamientos deductivos y demostraciones formales. Tambi´en damos algu-
nos conceptos b´asicos de Geometr´ıa en el plano y en el espacio; se espera que
los alumnos logren una interpretacio´n geom´etrica de las distintas ecuaciones,
sistemas de ecuaciones y sus respectivas soluciones. Por otra parte en algunos
temas se seleccionan ejercicios en base a las aplicaciones, a fin de despertar
el inter´es de los alumnos.
El material se organiza del siguiente modo: en el cap´ıtulo 1, comenzamos con
los nu´meros complejos, a pesar de ser parte de la trigonometr´ıa, el ´algebra
y la geometr´ıa, es muy poco estudiado en la escuela b´asica, por este moti-
vo, abordamos el tema dando los conceptos ba´sicos. Definimos los nu´meros
complejos en forma bin´omica, en forma trigonom´etrica y enunciamos sus pro-
piedades.
En los cap´ıtulos 2 y 3 se introducen las nociones ba´sicas de lo´gica, operacio-
nes entre proposiciones y relaciones entre ellas. Siendo estas herramientas las
bases para lograr el enunciado y aplicaci´on de m´etodos de demostracio´n.
El prop´osito del capıtulo 4 es el estudio de la teor´ıa intuitiva de conjuntos.
Se definen la inclusi´on y la igualdad, como tambi´en las operaciones entre
ellos pretendiendo mostrar un m´etodo adecuado de trabajo para demostrar
distintas propiedades.
En los cap´ıtulos 5 y 6 haciendo una introduccio´n al concepto de vectores y
sus operaciones, estos son utilizados para la obtencio´n de una representacio´n
vectorial tanto de rectas como de planos.
En el capitulo 7 se introduce el m´etodo de Gauss, uno de los mas usados para
la resolucio´n de sistemas de ecuaciones lineales. Se pone de manifiesto una
clara conexio´n entre el estudio geom´etrico de rectas y planos con los sistemas
de ecuaciones lineales.
En el cap´ıtulo final se introduce el concepto de matriz con sus operaciones
ba´sicas, las cuales se utilizan para la resoluci´on en forma matricial de los
sistemas de ecuaciones estudiados.
5
6