Algebra: Unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether PDF
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DIE GRUNDLEHREN DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER BERÜCKSICHTIGUNG DERANWENDUNGSGEBIETE HERAUSGEGEBEN VON R. GRAMMEL· F. HIRZEBRUCH . E. HOPF H. HOPF . W. MAAK . W. MAGNUS . F. K. SCHMIDT K. STEIN· B. L. VAN DER WAERDEN BAND 34 ALGEBRA II VON B. L. VAN DER WAERDEN VIERTE AUFLAGE DER MODERNEN ALGEBRA SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH 1959 ALGEBRA VON DR. B. L. VAN DER WAERDEN PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER UNIVERSITÄT ZURICH UNTER BENUTZUNG VON VORLESUNGEN VON E. ARTIN UND E. NOETHER VIERTE AUFLAGE DER MODERNEN ALGEBRA ZWEITER TEIL SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH 1959 ISBN 978-3-662-21601-9 ISBN 978-3-662-21600-2 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-21600-2 ALLE RECHTE, INSBESONDERE DAS DER ÜBERSETZUNG IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN OHNE AUSDRÜCKLICHE GENEHMIGUNG DES VERLAGES IST ES AUCH NICHT GESTATTET, DIESES BUCH ODER TEILE DARAUS AUF PHOTOMECHANISCHEM WEGE (PHOTOKOPIE, MIKROKOPIE) ZU VERVIELFÄLTIGEN COPYRIGHT 1936 AND 1950 BY SPRINGER-VERLAG OHG., BERLIN . GÖTTINGEN . HEIDELBERG © BY SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG 1955 AND 1959 URSPRüNGLICH ERSCHIENEN BEI SPRINGER-VERLAG OHG., BERLIN . GÖTTINGEN . HEIDELBERG 1959. SOFTCOVER REPRINT OF THE HARDCOVER 4TH EDITION 1959 BRÜHLSCHE UNIVERSITÄTSDRUCKEREI GIESSEN Vorwort zur vierten Auflage Am Anfang des zweiten Bandes sind zwei neue Kapitel hinzu gekommen, nämlich eines über algebraische Funktionen einer Variablen, das bis zum Riemann-Rochschen Satz für beliebige Konstantenkörper vorstößt, und eines über topologische Algebra, in dem hauptsächlich die Komplettierung der topologischen Gruppen, Ringe und Schiefkörper, sowie die Theorie der lokal beschränkten und der lokal kompakten Schiefkörper behandelt wird. Herrn Dr. H. R. FISCHER, der diese beiden Kapitel im Manuskript kritisch gelesen hat, danke ich für viele nützliche Bemerkungen. Das Kapitel "allgemeine Idealtheorie" wurde durch Aufnahme der wichtigen Sätze von KRULL über symbolische Potenzen von Primi dealen und über Primidealketten erweitert. Im Kapitel "ganze algebraische Größen" wurde der Zusammenhang der Idealtheorie der ganz-abgeschlossenen Ringe mit der Bewertungs theorie deutlicher hervorgehoben. Dem Kapitel "Lineare Algebra" wurde ein neuer § 140 über antisymmetrische Bilinearformen zugefügt. Im Kapitel "Algebren" wurden die Beispiele vermehrt, die Theorie des Radikals nach ]ACOBSON ohne Endlichkeitsbedingung entwickelt und die grundlegenden Ideen von EMMY NOETHER über direkte Summen und Durchschnitte von Moduln stärker betont. Durch Kombination der Methoden von ]ACOBSON mit denen von EMMY NOETHER konnten die Beweise der Hauptsätze stark vereinfacht werden. Im Kapitel Darstellungstheorie wurden § 163-165 im Interesse einer leichteren Verständlichkeit neu geschrieben. Durch Kürzungen habe ich versucht, den Umfang des Buches in annehmbaren Grenzen zu halten. So ist das Kapitel "Eliminations theorie" weggefallen. Der Satz von der Existenz des Resultanten systems für homogene Gleichungen, der früher mittels der Eliminations theorie bewiesen wurde, erscheint jetzt in § 121 als Folge des Hilbertschen N ullstellensa tzes. VI Vorwort zur vierten Auflage Den Herren W. BANDLER, Dr. J. J. BURCKHARDT, H. GROSS und Dr. H. KELLER danke ich für ihre wertvolle Hilfe beim Korrigieren des Manuskriptes und beim Lesen der Korrekturen. Zürich, im Juni 1959 B. L. VAN DER W AERDEN Inhaltsverzeichnis Elftes Kapitel Algebraische Funktionen einer Variablen § 83. Der Approximationssatz . . . . . . . . . . . § 84. Reihenentwicklungen nach Ortsuniformisierenden 4 § 85. Divisoren und ihre Multipla . 8 § 86. Das Geschlecht g . . . . . . . . . . . . 10 § 87. Vektoren und Covektoren. . . . . . . . . 14 § 88. Differentiale. Der Satz vom Spezialitätsindex 16 § 89. Der Riemann-Rochsche Satz ...... . 20 § 90. Separable Erzeugung von Funktionenkörpern . 23 § 91. Differentiale und Integrale im klassischen Fall. 24 Zwölftes Kapitel Topologische Algebra 92. Der Begriff topologischer Raum 28 93. Umgebungsbasen ......... . 30 94. Stetigkeit. Limites . . . . . . . . . 31 95. Trennungs- und Abzählbarkeitsaxiome 32 96. Topologische Gruppen ..... . 32 97. Die Umgebungen der Eins ... . 33 98. Untergruppen und Faktorgruppen 35 99. T-Ringe und T-Schiefkörper. 36 § 100. Gruppenkomplettierung. . 38 § 101. Topologische Vektorräume .. 42 § 102. Ringkomplettierung. . . . . 47 § 103. Komplettierung von Schiefkörpern 49 § 104. Durch Bewertungen definierte Topologien 51 § 105. Lokal bikompakte Schiefkörper 55 Dreizehntes Kapitel Allgemeine Idealtheorie der kommutativen Ringe § 106. Noethersche Ringe . . . . . . . . . 59 § 107. Produkte und Quotienten von Idealen 63 § 108. Primideale und Primärideale . 67 § 109. Der allgemeine Zerlegungssatz . . . . 71 § 110. Der erste Eindeutigkeitssatz . . . . . 75 § 111. Isolierte Komponenten und symbolische Potenzen 78 § 112. Theorie der teilerfremden Ideale 80 § 113. Einartige Ideale 83 § 114. Quotientenringe . . . . . . . 85 VIII Inhaltsverzeichnis § 115. Df'r Durchschnitt aller Potenzen eines Ideals . . . . . . . . . . . 87 § 116. Die Länge eines Primärideals. Primidealketten in Noetherschen Ringen 90 Vierzehntes Kapitel Theorie der Polynom ideale § 117. Algebraische Mannigfaltigkeiten 93 § 118. Universalkörper . . . . . . . 96 § 119. Die Nullstellen eines Primideals 97 § 120. Die Dimensionszahl . . . . . . 100 § 121. Der Hilbertsche Nullstellensatz. Resultantensysteme für homogene Gleichungen . . . . . 102 § 122. Die Primärideale. . . . . . . . . . . . . . . . . 105 § 123. Der Noethersche Satz. . . . . . . . . . . . . . . 107 § 124. Zurückführung der mehrdimensionalen Ideale auf nulldimensionale 111 Fünfzehntes Kapitel Ganze algebraische Größen § 125. Endliche ?\-Moduln. . . . . . . . . 115 § 126. Ganze Größen in bezug auf einen Ring . . . . . 117 § 127. Die ganzen Größen eines Körpers. . . . . . . . 120 § 128. Axiomatische Begründung der klassischen Idealtheorie 125 § 129. Umkehrung und Ergänzung der Ergebnisse . . . . . 129 § 130. Gebrochene Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . 132 § 131. Idealtheorie beliebiger ganz-abgeschlossener Integritätsbereiche 134 Sechzehntes Kapitel Lineare Algebra § 132. Moduln. Linearformen. Vektoren. Matrices . . . . . . . . 141 § 133. Moduln in bezug auf einen Schiefkörper. Lineare Gleichungen 146 § 134. Moduln in euklidischen Ringen. Elementarteiler 149 § 135. Der Hauptsatz über abelsche Gruppen 153 § 136. Darstellungen und Darstellungsmoduln . . . . 157 § 137. Normalformen für eine Matrix in einem kommutativen Körper. 160 § 138. Elementarteiler und charakteristische Funktion 164 § 139. Quadratische und Hermitesche Formen 166 § 140. Antisymmetrische Bilinearformen 173 Siebzehntes Kapitel Algebren § 141. Direkte Summen und Durchschnitte . 177 § 142. Kommutative Algebren . . . . . . . 180 § 143. Beispiele von nichtkommutativen Algebren 183 § 144. Produkte und verschränkte Produkte . . . 188 § 145. Algebren als Gruppen mit Operatoren. Moduln und Darstellungen 196 § 146. Das kleine und das große Radikal 200 § 147. Das Sternprodukt . . . . . . . . . . . . . 204 § 148. Ringe mit Minimalbedingung . . . . . . . . . 206 § 149. Zweiseitige Zerlegungen und Zentrumszerlegung 210 Inhaltsverzeichnis IX § 150. Einfache und primitive Ringe . . . . . . 212 § 151. Der Endomorphismenring einer direkten Summe . 216 § 152. Struktursätze für halbeinfache und einfache Ringe 218 § 153. Das Verhalten der Algebren bei Erweiterung des Grundkörpers . 220 Achtzehntes Kapitel Darstellungstheorie der Gruppen und Algebren § 154. Problemstellung . . . . . . . 225 § 155. Darstellung von Algebren . . . 226 § 156. Die Darstellungen des Zentrums 230 § 157. Spuren und Charaktere . . . . 232 § 158. Darstellung abelscher Gruppen. 234 § 159. Darstellungen endlicher Gruppen. 237 § 160. Gruppencharaktere . . . . . . . 241 § 161. Die Darstellungen der symmetrischen Gruppen. 246 § 162. Halbgruppen von linearen Transformationen. 249 § 163. Doppelmoduln und Produkte von Algebren . 252 § 164. Die Zerfällungskörper einer einfachen Algebra 258 § 165. Die Brauersche Gruppe. Faktorensysteme 260 Namen- und Sachverzeichnis ..... . 268 Leitfaden übersicht über die Kapitel der beiden Bände und ihre logische Abhängigkeit 1 Mengen 2 Gruppen 3 Ringe I 4 Polynome 13 6 5 Allgemeine Gruppen Körper Idealtheorie I I t 16 7 15 17 Lineare Galoissche Ganze algebr. Algebren Algebra Theorie Größen I I 18 10 8 Darstellungs- Bewertete Unendliche theorie Körper Körper 11 12 9 14 Algebraische Topologische Reelle Polynom- Funktionen Algebra Körper Ideale
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