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A. L.Oni§éik R. Sulanke ALGEBRA UND - GEOMETRIE Eine Einffihrung A.L.0ni§éilu Sulanko Algebra and Goometrio l Hochschulbficher ffir Mathematik Gegriindet von H. Grell, K. Mamhn und W. Rinow Band 87 Algebra und Geometrie l. Eine Einfi'ihrung von A. L. Oniééik und R. Sulanke Mit 12 Abhildungen I VEB Deutscher Verlag derWissenschaften Berlin 1986 ISBN 3-326-00020-0 ISSN 0073-2842 Verlagslektor: Erika. Arndt Verlagshersteller: Sabine Ziebell, Norma Braun Umschlaggestaltung: Alfred Mahler © 1977 u_nd 1986 VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, DDR- 1080 Berlin, Postfach 1216 Lizenz-Nr. 206--435/65/86 Printed 1n the German Democratic Republic Gesamtherstellung: IV/2/14 VEB Druckerei ”Gottfried Wilhelm Leibniz“, 4450 Grafenhainichen- 6547 LSV 1024 Bestellnummer: 5714402 03600 Vorwort DieStrukturdesLehrbuchesblieberhalten,lediglichdieGliederungindieTeileI,II wurde aufgehoben. Im einzelnen wurden zahlreiche Verbesserungen ausgefiihrt; das betrifftbesondersdieUbungen. Gegeniiberdem1977erschienenenStudienbuch wurdenfolgendeErginzungenvorg’enommen:EswurdendierationalenFunktionen inmehrerenUnbestimmtenaufgenommen,diefiquiaffineGeometrieunddiespezielle lineare Gruppe kurz erwfihnt und die Beziehungen zwischen den Begriffen ”alter— nierend“ und ,,schiefsymmet-risch“ prizisiert. Ferner haben wir den Sturmsohen Satz fiber die Nulls’oellen reeller Polynome eingefiigt. Dagegen konnten wir uns nicht entschliefien, die Mengenlehre streng axiomatisch aufzubauen, wie es einer unser Kritiker forderte; wir betrachten sie als einen Bestandteil der ,,naiven“ Logik,dieWirwieinjederWissenschaftfiblichanwenden,ohnesienéherzu begriin- den. In diesel-n Sinne spielt das Kapitel0, die Einfiihrung, eine besondere Rolle gegeniiberdenanderen; esdient nurderPrfizisierungdesmathematischen Sprach- gebrauehsunderhebt nicht denAnsprucheinerstrengenEinffihrungindie Grund- lagen der Mathematik. Gleichfalls muBten wir uns aus Zeit- und Raumgriinden historischer Kommentare enthalten. Wenn mitunter einzelne Sfitze oder Begriffe nach einem Mathematiker'benannt werden, so geschieht das derTraditionfolgend und bedeutet keine Au‘ssage fiber die Quellen. SchlieBlich 'Wurde das Literatur- verzeichnis aktualisiert; dem Inhaltsverzeichnis wurden Angaben fiber die folgen- den Binde 2, ,,Moduln und Algebren“, und 3, ”Projektive und Cayley-Kleinsche Geometrien“ angeffigt, die in den nichsten Jahren erscheinen werden. W’ir danken Frau J. KERGER fiir die technische Vorbereitung des Manuskripts der zweiten Auflage und Fraulein E. ARNDTfiir die wiederum sehr prizise redaktionelle Bearbeitung herzlich. Frau I. GRéGER machte uns beim Lesen der Kor- rekturen auf eine Reihe von Druckfehlern aufmerksam und half, einige Fliichtig- keitenzukorrigieren, wofiir wiruns verbindliehst bedanken. Dem VEB Druckerei ,,Gottfried WilhelmLeibniz“ gebiihrtDank undAnerkennung fiir den sorgféltigen Sat-z und die ausgezeichnete Arbeit bei der Herstellung des Buehes. Berlin und Moskau, im Juni 1986 A. L. omen: R. SULANKE Vorwort zur Studienbuchausgabe Die Entwicklung derMathematik inder zweiten Hilfte unseresJahrhunderts'liBt nebeneinerimmerweitergehendenAufspaltunginanwendungsorientierte Spezial; gebiete zweifellos auch die Tendenz erkennen, die fiir die Vielfalt aller Anwendun- gengrundlegendenklassischenDisziplinenGeometrie,AnalysisundAlgebra.alseine Einheit zu betrachten und zu einer Synthese dieser Gebiete zu gelangen. Diese fiir die mathematische Forschung sehrfruchtbare Tendenz zu ftirdern und sie be- reits vom ersten Studienjahr an den Mathematikstudenten nahezubringen ist ein wesentliches Anliegen unseresLehrbuches. Es beginnt nach einerkurzenBeschreié bung dernotwendigen mengentheoretischenBegriffe miteinem algebraischenTeil, den Kapiteln 1 bis 3, in dem die wichtigsten Tatsachen iiber Gruppen, Binge und Kéirperdargestellt sind. DaraufaufbauendfiihrendieKapitel4 bis 6 vonderaxio- matischen Begriindung der Punkt- und Vektorréume fiber die affine zur euklidi- schenGeometric. Die BeziehungenzurAnalysiskommendirekt nurineinigenBeié spielen und Bemerkungen zur Sprache; wir waren jedoch bemiiht, durch Stoffa auswahlund ArtderDarstellung einengroBenTeil derfiir eine moderne Analysis.- Ausbildungben6tigtenalgebraischenundgeometrischenHilfsmittelbereitzustellen. Die Traditionenund Erfahrungeninder GrundausbildungderMathematikstudena ten an der Humboldt-Universitfit zu Berlin und der Staatlichen Lomonosov- Universitit in Moskau sind natfirlich in dieses Lehrbuch eingeflossen. Den Lei- tungen der genannten Universititen méchten wir herzlich dafiir danken, daB sie unser Vorhaben in ihren Freundschaftsvertrag aufnahmen und so unsere Zusam- menarbeit erméglichten. Fiir eine vielseitige und anwendungsbereite Darlegung der n-dimensionalen affinen Geometrie iiber einem beliebigen Kfirper sind natijrlich einige algebraische Kenntnisse notwendig. Daher ist der algebraische Teil dem geometrischen voran— gestellt. EinLeser, der schneller zurGeometrie vordringen méchte, brauchtjedoch nicht dasgesamtealgebraischeMaterialdurchzuarbeiten;esgenfigt,nebenderMen- genlehre (Kapitel0) die' §§ 1.1, 1.2, 1.4, 2.1, 2.2,2.9zulesen.DiefibrigenbeimAuf- bauderGeometrieben6tigtenalgebraischenHilfsmittelk6nnensp§ternachgeholtwer- den. DurchvieleVerweise,einausfiihrlichesRegisterundeinkurzesVerzeichnisihn- licher oder weiterfiihrender Literatur bemiihten wir uns, ein Lehrbuch zu schrei- ben, das zu recht unterschiedlich konzipierten Vorlesungen benutzt werden kann. Vorwort zur Studienbuchausgabe 7 Trotz verhiltnismfifiig knapper Darstellung waren der Stoffauswahl durch den vorgesehenenUmfangengeGrenzengesetzt.DieAnzahlderAbbildungenundmoti- vierenden einfachen Beispiele wurden auf ein Minimum beschrfinkt. Wir mfichten denLeser daher ermuntern, sich selbst Skizzen anzufertigen, einfache Beispiele zu bildenunddurchzurechnenundsichintensivmitdenzahlreicheingefiigtenUbungen zu beschfiftigen, die zum Teil spiterim Haupttext angewandt werden. Die Arbeit andenUbungenwirddurchHinweiseerleichtert.WirhabeneinenTeilderUbungen aueh dazu benutzt, inkurzerForm wichtigeserginzendesMaterial bereitzustellen. Fiir die sorgfiltige Ausfiihrung der miihevollen Schreibmaschinenarbeit danken Wir Frau BKRWOLF und Frau ROHDE. Unser Dank gebiihrt auch Herrn Prof. Dr. H. REICEABDT, der dasManuskript begutachtete und durch kritische und interes- sante Bemerkungen zu seiner Verbesserung beitrug. Den Herren Dr. H. GOLLEK undDr.J.LEHMANN danken wir fiir ihre sehr schnelle und wertvolleHilfe bei der Bogenkorrektur. Die sachkundige und prizise redaktionelle Bearbeitung des Manuskripts leistete Fraulein E. ABNDT, der Wir fiir za-hlreiche Ratschfige und Korrekturen herzlich danken. Berlin und Moskau, im Februar 1976 A. L. ONIééIK R. SULANKE