Algebra und diskrete Mathematik: Skriptum zur Vorlesung im Sommersemester 2019

130 Pages·2019·0.575 MB·German

by  Franz Pauer

Algebra und diskrete Mathematik
4. Auflage
Skriptum zur Vorlesung im
Sommersemester 2019
Franz Pauer
Institut fu¨r Mathematik
und
Institut fu¨r Fachdidaktik
Universita¨t Innsbruck
(cid:13)c 2019 FRANZ PAUER INNSBRUCK, O¨STERREICH
Vorwort
Das vorliegende Skriptum soll den Ho¨rerinnen und Ho¨rern der Vorle-
sung Algebra und diskrete Mathematik “ im Sommersemester 2019 das
”
Mitschreiben und Mitdenken in der Vorlesung erleichtern. Das Skriptum
entha¨lt alle Definitionen und Sa¨tze der Vorlesung, aber nur wenige Bei-
spiele dazu. In der Vorlesung werden die Definitionen und Sa¨tze motiviert,
deren Beweise (und damit der Zusammenhang mit fru¨heren Ergebnissen)
erla¨utertundvieleBeispielevorgetragen.
Im ersten Teil der Vorlesung geht es vor allem um das Rechnen mit
ganzenundrationalenZahlen(Kapitel1),sowiemitPolynomen,Polynom-
funktionen und rationalen Funktionen (Kapitel 2). Kapitel 3 befasst sich
mit dem rundungsfreien Rechnen mit algebraischen Zahlen (zum Beispiel
Wurzeln). Kapitel 6 geht kurz auf Polynome in mehreren Variablen und al-
gebraische Mengen ein. Die Kapitel 4 und 5 fu¨hren in die Graphentheorie
ein, es werden Minimalgeru¨ste bestimmt und das Problem des Brieftra¨gers
gelo¨st.Kapitel7fu¨hrtindieSchaltalgebraein.
Ichhabeversucht,mitBegriffenmo¨glichstsparsamumzugehenundnur
jene einzufu¨hren, die fu¨r die Resultate der Vorlesung von Bedeutung sind.
VieleSa¨tzederVorlesungko¨nntenallgemeinerformuliertwerden,ichhabe
jedochdaraufverzichtet,umdenBlickderStudierendennichtvomWesent-
lichenabzulenken.
Der Inhalt der Vorlesung Lineare Algebra, VO4, wird als bekannt vor-
ausgesetzt. Dieses Skriptum hat viel mit meinen Skripten Algebra (6. Auf-
lage2018)undGraphentheorie(5.Auflage2007)gemeinsam.
DieersteAuflage(2016)diesesSkriptumsistinzweiTeilenerschienen.
Diese wurden in dieser zweiten Auflage zusammengefu¨hrt. Florian Dreier
hatvieleZeichnungenundErga¨nzungenmitLaTeXerstelltundeingefu¨gt.
Die vierte Auflage (2019) dieses Skriptums unterscheidet sich von der
drittennurdurchkleineKorrekturen.
Innsbruck,Februar2019
ii
Inhaltsverzeichnis
Vorwort ii
Kapitel1. RechnenmitganzenundrationalenZahlen 1
§1. DivisionmitRest 2
§2. ZifferndarstellungvonZahlen 3
§3. Rechenverfahrenfu¨rZahleninZifferndarstellung 6
§4. RationaleZahlen 9
§5. ZifferndarstellungvonrationalenZahlen 12
§6. Dergro¨ßtegemeinsameTeiler 13
§7. Primzahlen 17
§8. Restklassen 19
§9. DasRSA-Verfahren 24
Kapitel2. PolynomfunktionenundPolynomeineinerVariablen 27
§1. Polynomfunktionen 27
§2. ModulnundAlgebren 28
§3. Polynome 32
§4. NullstellenvonPolynomen 36
§5. Interpolation 38
§6. Polynomringeu¨berKo¨rpern 41
§7. IrreduziblePolynome 46
§8. Polynomringeu¨berfaktoriellenRingen 49
§9. DieAnzahlderkomplexenNullstelleneinesPolynoms 52
§10. LineareDifferenzengleichungen 55
§11. Quotientenko¨rper 60
§12. RationaleFunktionen 62
Kapitel3. RechnenmitalgebraischenZahlen 69
§1. AlgebraischeElementeundMinimalpolynome 69
§2. Ring-,Modul-undAlgebrenhomomorphismen 72
§3. ExistenzvonNullstellen 74
§4. Irreduzibilita¨tskriterien 77
§5. DerKo¨rperderalgebraischenZahlen 78
Kapitel4. Graphentheorie 81
§1. GraphenundDigraphen 81
§2. GradvonEcken,Untergraphen 83
§3. Wege,KreiseundZusammenhang 85
§4. BewerteteGraphenundNetzwerke 86
iii
iv INHALTSVERZEICHNIS
§5. SpeicherungvonGraphen 88
§6. Verbindungsprobleme 90
§7. Ba¨ume 91
§8. DerAlgorithmusvonPrim 93
Kapitel5. DasProblemdesBrieftra¨gers 96
§1. Ku¨rzesteWege 96
§2. EulerscheTouren 103
§3. OptimaleTouren 106
Kapitel6. PolynomfunktionenundPolynomeinmehrerenVariablen 110
§1. PolynomeinmehrerenVariablen 110
§2. AlgebraischeMengen 113
§3. QuadratischeFunktionenundQuadriken 116
§4. DieAnzahlderPotenzprodukteinnVariablenvomGradd 118
Kapitel7. Schaltalgebra 121
§1. Boole’scheRinge 121
§2. Schaltalgebra 122
KAPITEL 1
Rechnen mit ganzen und rationalen Zahlen
Es sei N := {0,1,2,...} die Menge der natu¨rlichen Zahlen. Wir set-
zen die Menge Z := {...,−2,−1,0,1,2,...} der ganzen Zahlen mit den
RechenoperationenAddition
Z×Z −→ Z , (a,b)(cid:55)−→a+b,
undMultiplikation
Z×Z −→ Z , (a,b)(cid:55)−→a·b,
als bekannt voraus. Dabei gelten die folgenden Rechenregeln (kurz: Z mit
+und·isteinkommutativerRing):
Fu¨ralleganzenZahlena,b,cist
• (a+b)+c=a+(b+c)=:a+b+c( DieAdditionvonganzenZah-
”
lenistassoziativ“,dasheißt:aufKlammernkannverzichtetwerden).
• 0+a=a+0=a( DieZahl0istdasNullelementvon Z“).
”
• a+(−a)=(−a)+a=0(dabeiist−a:=(−1)·a)
• a+b=b+a( DieAdditionistkommutativ“).
”
• (a·b)·c=a·(b·c)=:a·b·c( DieMultiplikationistassoziativ“).
”
• 1·a=a·1=a( DieZahl1istdasEinselementvon Z“).
”
• a·b=b·a( DieMultiplikationistkommutativ“).
”
• (a+b)·c=(a·c)+(b·c)=:a·c+b·c( Distributivgesetz“)
”
Fu¨ra,b∈ Z folgtausa·b=0,dassa=0oderb=0ist.
Fu¨ra,b,c∈ Z mitc(cid:54)=0folgtausa·c=b·c,dass(a−b)·c=0unddaher
a−b=0.( In Z kanndurchZahlen(cid:54)=0geku¨rztwerden“).
”
AusdiesengrundlegendenRechenregelnfu¨rganzeZahlenko¨nnenleicht
weitereabgeleitetwerden,zumBeispieldie binomischenFormeln“:
”
Fu¨ralleganzenZahlenaundbist
• a2+2ab+b2 =(a+b)2
• a2−2ab+b2 =(a−b)2
• a2−b2 =(a+b)·(a−b)
Beachte: Statt 3 bzw. 2 Multiplikationen auf der linken Seite muss auf der
rechtenSeitenureineausgefu¨hrtwerden!
Die Subtraktion ist durch Z × Z −→ Z , (a,b) (cid:55)−→ a+(−b) =: a−b,
gegeben.
Fu¨r ganze Zahlen a,b schreiben wir a≤b genau dann, wenn b−a∈N ist
(Sprechweise: a ist kleiner oder gleich b). Wir schreiben a < b fu¨r: a ≤ b
unda(cid:54)=b(Sprechweise:aistkleineralsb).
1
2 1.RECHNENMITGANZENUNDRATIONALENZAHLEN
Eine ganze Zahl ist positiv bzw. negativ, wenn sie gro¨ßer bzw. kleiner als 0
ist.Esgilt:
fu¨ra,b,c∈ Z ista≤bgenaudann,wenna+c≤b+c
und
fu¨ra,b,c∈ Z mitc>0ista≤bgenaudann,wenna·c≤b·c.
Statta·bschreibtmanoftnurab.Statt(a·b)+cschreibtmanoftnura·b+c
( PunktrechnungkommtvorStrichrechnung“).
”
Das Vorzeichen vz(a) einer ganzen Zahl a ist 1, wenn a∈ N, und −1,
wenn a (cid:54)∈ N. Der Betrag |a| einer ganzen Zahl a ist vz(a)·a. Fu¨r Zahlen
a,b∈ Z ist|a·b|=|a|·|b|und|a+b|≤|a|+|b|.
§1. DivisionmitRest
Wenn Sie einen Sack mit a Euromu¨nzen haben, die Sie an b Personen
verteilen sollen (jede soll gleich viel bekommen), dann werden Sie wahr-
scheinlich zuerst jeder Person einen Euro geben und diesen Vorgang so-
lange wiederholen, bis im Sack weniger als b Euromu¨nzen sind. Sie haben
dannamitRestdurchbdividiert.
Der folgende Satz ist grundlegend fu¨r alle Rechenverfahren fu¨r ganze Zah-
len. Seine Bedeutung liegt darin, dass er die Beziehung zwischen den drei
Strukturen“ +,·und≤beschreibt.
”
Satz1: (DivisionmitRestvonganzenZahlen)
Zu je zwei ganzen Zahlen a und b mit b (cid:54)= 0 gibt es eindeutig bestimmte
ganzeZahlenmundr mitdenEigenschaften
a=m·b+r und 0≤r<|b|.
Die Zahlen m bzw. r heißen ganzzahliger Quotient von a und b bzw. Rest
vonanachDivisiondurchb.DieZahlenmundrko¨nnenmitdemfolgenden
Verfahren(Divisionsalgorithmus)berechnetwerden:
• Fallsaundbnatu¨rlicheZahlensind:
Setzem:=0undr:=a.
Solanger≥bist,ersetzer durchr−bundmdurchm+1.
( Subtrahiere b solange von a, wie die Differenz noch nicht negativ
”
ist.DerRestistdanndieletzteDifferenzundderganzzahligeQuoti-
entdieAnzahlderausgefu¨hrtenSubtraktionen“.)
• Fallsa<0oderb<0ist:
Berechnewieobennundsso,dass|a|=n·|b|+sund
0≤s<|b|ist.
Wenna≥0ist,dannsetzem:=−nundr:=s.
Wenna<0unds>0ist,dannsetzem:=−vz(b)·(n+1)und
r:=|b|−s.
Wenna<0unds=0ist,dannsetzem:=−vz(b)·nundr:=0.
3 1.RECHNENMITGANZENUNDRATIONALENZAHLEN
Beweis: Wennaundbnatu¨rlicheZahlensind,dannerhaltenwirbeijedem
Ersetzen von r durch r−b eine um mindestens 1 kleinere Zahl. Also tritt
nach ho¨chstens a Schritten der Fall r <b ein. Somit liefert das obige Ver-
fahren nach endlich vielen Schritten ein Ergebnis m,r. Mit Induktion u¨ber
a ist leicht nachzupru¨fen, dass diese Zahlen die angegebenen Bedingungen
erfu¨llen.
Wenn a oder b keine natu¨rliche Zahl ist: |a| mit Rest durch |b| dividieren
unddanndarausdiegesuchtenZahlenermitteln.
Esseienm ,m ,r ,r ganzeZahlenmit
1 2 1 2
a=m ·b+r =m ·b+r , 0≤r ,r <|b|
1 1 2 2 1 2
undo.E.d.A.( ohneEinschra¨nkungderAllgemeinheit“)r ≤r .Dannist
” 1 2
|b|>r −r =|m −m |·|b|.
2 1 1 2
Daraus folgt m =m und r =r , also sind der ganzzahlige Quotient von
1 2 1 2
aundbundderRestvonanachDivisiondurchbeindeutigbestimmt.
Beispiel2:
17=3·5+2, 0≤2<5
−17=(−4)·5+3, 0≤3<5
17=(−3)·(−5)+2, 0≤2<5
−17=4·(−5)+3, 0≤3<5
§2. ZifferndarstellungvonZahlen
Nehmenwiran,SiekommenmiteinemSackvollerEuromu¨nzenineine
Bank und wollen dieses Geld auf ihr Sparbuch einzahlen. Die Anzahl der
Euromu¨nzenimSackisteineeindeutigbestimmtenatu¨rlicheZahla.Bevor
diese Zahl in Ihr Sparbuch eingetragen werden kann, muss ihre Zifferndar-
stellung (zur Basis 10) berechnet werden. Eine Zahl ist also nicht immer
schon in Zifferndarstellung gegeben, sondern diese ist eine Zusatzinfor-
”
mation“ u¨ber die Zahl. Wie wird die Zifferndarstellung zur Basis 10 von
a ermittelt? Man bildet aus den Euromu¨nzen solange Zehnerstapel“, bis
”
nurnochwenigeralszehnMu¨nzenu¨brigbleiben,dasheißt:awirdmitRest
durch 10 dividiert. Die Anzahl der u¨briggebliebenen Euromu¨nzen ist dann
die Einerziffer“ von a. Macht man dasselbe nun mit den Zehnerstapeln
”
stattmitdenMu¨nzen,dannerha¨ltmandie Zehnerziffer“ vona,usw.
”
4 1.RECHNENMITGANZENUNDRATIONALENZAHLEN
Satz3: (DarstellungvonZahlendurchZiffern)
Es seien a und b natu¨rliche Zahlen mit a (cid:54)= 0 und b ≥ 2. Dann gibt es
eindeutigbestimmtenatu¨rlicheZahlenn,z ,z ,...,z so,dass
0 1 n
z (cid:54)=0, 0≤z ,z ,...,z <b
n 0 1 n
und
n
a=z bn+z bn−1+...+z b1+z = ∑zbi
n n−1 1 0 i
i=0
ist.
Wennbfestgewa¨hltist,dannistadurchdieZahlenn,z ,z ,...,z eindeutig
0 1 n
bestimmt.Manwa¨hltZeichenfu¨rdieZahlenvon0bisb−1undschreibt
n
z z ...z statt ∑zbi .
n n−1 0 i
i=0
Die Zahlen z ,z ,...,z heißen Ziffern von a zur Basis b (fu¨r b=2 bzw. 10:
0 1 n
Bina¨rziffern“ bzw. Dezimalziffern“).
” ”
Die Ziffern z von a (cid:54)= 0 zur Basis b ko¨nnen mit dem folgenden Verfahren
i
berechnetwerden:
• Setzei:=0undz :=RestvonanachDivisiondurchb.
0
• Solangeanicht0ist:Diei-teZifferz istderRestvonanachDivision
i
durch b. Ersetze a durch den ganzzahligen Quotienten von a und b.
Ersetzeidurchi+1.
Beweis: Induktionu¨bera:
Wenna=1ist,istn=0undz =1.
0
Fu¨ra>1seienmbzw.rderganzzahligeQuotientvonaundbbzw.derRest
vonanachDivisiondurchb.Wegenb>1istm<a,alsogibtesnachInduk-
tionsannahme eindeutig bestimmte Zahlen k,y ,y ,...,y so, dass y (cid:54)= 0,
0 1 k k
0≤y ,y ,...,y <bund
0 1 k
m=y bk+y bk−1+...+y b1+y
k k−1 1 0
ist.Dannist
a=m·b+r=y bk+1+y bk+...+y b2+y b+r ,
k k−1 1 0
und y ,...,y ,r sind die Ziffern von a. Aus der Eindeutigkeit von m und
k 0
r folgt aus der Induktionsannahme die Eindeutigkeit der Ziffern von a zur
Basisb.
Beispiel4: Esseia:=sechsundzwanzigundb:=zwei.Dann:
a=dreizehn·b+0,alsoz =0
0
dreizehn=sechs·b+1,alsoz =1
1
sechs=drei·b+0,alsoz =0
2
drei=1·b+1,alsoz =1
3
5 1.RECHNENMITGANZENUNDRATIONALENZAHLEN
1=0·b+1,alsoz =1
4
DieZifferndarstellungvonsechsundzwanzigzurBasiszweiistdaher11010.
Beispiel 5: Zeitangaben in Stunden, Minuten und Sekunden sind die Zif-
ferndarstellungzurBasis60dieserZeitinSekunden.
Wird fu¨r die Zifferndarstellung einer Zahl die Basis b gewa¨hlt, dann
ko¨nnenalleZahlendurchAneinanderreihenvonbverschiedenenSymbolen
angeschrieben werden. Eine kleine Basis (zum Beispiel 2) hat den Vorteil,
dass man nur wenige Symbole braucht und dass das kleine Einmaleins“
”
sehreinfachist.Allerdingsbrauchtmandannfu¨rgro¨ßereZahlensehrviele
Ziffern.
U¨blicherweise meint man mit runden Zahlen“ Zahlen mit der Eigen-
”
schaft, dass alle ihre Ziffern zur Basis zehn nach der (von links gelesen)
erstenZifferNullsind.RundzuseinistalsonichteineEigenschaftderZahl
allein,sondernihrerZifferndarstellungzurBasis10.Mankannnichtanneh-
men, dass unsere Art, die Zahlen darzustellen, sich auf Naturpha¨nomene
auswirkt. Daher sind z.B. Wettervorhersagen nach dem hundertja¨hrigen
”
Kalender“ oderWeltuntergangsprophezeiungenanla¨sslichderJahrtausend-
wendesehrfragwu¨rdig.
Definition6: Esseienv=(v ,...,v )undw=(w ,...,w )zweiverschie-
1 n 1 n
dene n-Tupel von ganzen Zahlen und j die kleinste Zahl in {1,...,n} mit
derEigenschaft,dassv (cid:54)=w ist.
j j
Dann ist v lexikographisch kleiner als w (Schreibweise: v < w), wenn
lex
v <w ist.
j j
Beispiel7: (1,2,3,4)< (1,2,4,3)< (2,−7,−3,−5)
lex lex
Satz 8: (Vergleich von zwei Zahlen, die durch Ziffern dargestellt sind) Es
seienb,x,ypositivenatu¨rlicheZahlen,b≥2und
x ,x ,...,x bzw. y ,y ,...,y
k k−1 0 (cid:96) (cid:96)−1 0
dieZiffernvonx bzw.ybezu¨glichb.
Dannistx genaudannkleineralsy,wenn
k<(cid:96) oder (k=(cid:96)und(x ,x ,...,x )< (y ,y ,...,y )) ist.
k k−1 0 lex (cid:96) (cid:96)−1 0
Beweis: Wennk<(cid:96)ist,dannist
k k k+1 k
x= ∑xbi ≤ ∑(b−1)bi = ∑bi−∑bi =bk+1−1<bk+1 ≤y.
i
i=0 i=0 i=1 i=0
6 1.RECHNENMITGANZENUNDRATIONALENZAHLEN
Es seien k =(cid:96) und j die gro¨ßte Zahl mit der Eigenschaft, dass x (cid:54)=y ist.
j j
Wennx <y ist,dannist
j j
j j
∑xbi ≤x bj+(bj−1)<(x +1)bj ≤y bj ≤ ∑ybi
i j j j i
i=0 i=0
und
k j k j
x= ∑ xbi+∑xbi < ∑ xbi+∑ybi =y.
i i i i
i=j+1 i=0 i=j+1 i=0
§3. Rechenverfahrenfu¨rZahleninZifferndarstellung
Es sei b eine natu¨rliche Zahl mit b ≥ 2. In diesem Abschnitt werden
Verfahren angegeben, mit welchen die Zifferndarstellung zur Basis b der
Summe,derDifferenz,desProduktes,desganzzahligenQuotientenunddes
Restes nach Divison zweier natu¨rlicher Zahlen, die durch Ziffern zur Basis
bgegebensind,berechnetwerdenkann.
Esseienb,x,y,k,(cid:96)natu¨rlicheZahlen,b≥2und
x ,x ,...,x bzw. y ,y ,...,y
k k−1 0 (cid:96) (cid:96)−1 0
die Ziffern von x bzw. y bezu¨glich b. O.E.d.A. sei (cid:96)≤k und wir definieren
y :=0,...,y :=0.
(cid:96)+1 k
Satz 9: (Addition von zwei Zahlen, die durch Ziffern dargestellt sind)
Fu¨r je zwei Zahlen in {0,...,b−1} sei die Zifferndarstellung ihrer Sum-
me( daskleineEinsplusEins“)bekannt.
”
Dann ko¨nnen die Ziffern von x+y mit dem folgenden Verfahren berechnet
werden:
• ErmittledieZiffern(x +y ) und(x +y ) vonx +y .
0 0 1 0 0 0 0 0
Setze(x+y) :=(x +y ) ,u :=(x +y ) undi:=0.
0 0 0 0 0 0 0 1
• Solangei<k ist,setzei:=i+1undermittledieZiffern
(x +y +u ) und(x +y +u ) vonx +y +u .
i i i−1 1 i i i−1 0 i i i−1
Setze (x+y) := (x +y +u ) und u := (x +y +u ) ( i-ter
i i i i−1 0 i i i i−1 1 ”
U¨bertrag“).
• Wennu (cid:54)=0ist,setze(x+y) :=u .
k k+1 k
Beweis: WirzeigendurchInduktionu¨beri,dassu ≤1und
i−1
(x +y +u )<2b ist (daher hat (x +y +u ) ho¨chstens zwei Ziffern).
i i i−1 i i i−1
Fu¨ri=1folgtausx <bundy <b,dass
0 0
x +y ≤(b−1)+(b−1)=2b−2ist.Somitistu ≤1und
0 0 0
x +y +u <2b−1.
1 1 0
Fu¨ri>1folgtausu ≤1,x <bundy <b,dass
i−2 i−1 i−1
x +y +u ≤(b−1)+(b−1)+1=2b−1undu ≤1ist.
i−1 i−1 i−2 i−1