Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica PDF
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ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA Universidad Nacional AAbierta y a Distancia FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA JORGE ELIÉCER RONDÓN DURÁN BOGOTÁ, D.C., 2006 1 UNAD COMITE DIRECTIVO Universidad Nacional Abierta y a Distancia Jaime Alberto Leal Afanador Rector Editorial UNAD, 2005 ' Roberto Salazar Ramos Vicerrector Académico Primera edición 2005 ISBN: Sehifar Ballesteros Moreno Vicerrector Administrativo Prohibida la reproducción parcial o Maribel Córdoba Guerrero total de esta obra sin autorización de la Secretaria General Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Edgar Guillermo Rodríguez Díaz Director Planeación La edición de esta guía estuvo a cargo de la Vicerrectoría Funcional de Medios para el Aprendizaje- Unidad de Publicaciones Ediciones Hispanoamericanas Diagramación y armada electrónica Bogotá, D.C. 2005 2 ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA Contenido INTRODUCCIÓN......................................................... 5 UNIDAD 1: ALGEBRA Y TRIGONOMETRÍA........ 9 INTRODUCCIÓN......................................................... 15 OBJETIVOS................................................................... 21 MAPA CONCEPTUAL................................................. 25 CAPITULO 1. ECUACIONES.................................... Introducción................................................................... 27 Ecuaciones de primer grado......................................... 29 Ecuaciones de primer grado con una incógnita......................................................................... 31 Método egipcio (la régula falsa).................................. 37 Método axiomático........................................................ 41 Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas....... 47 3 UNAD Ecuaciones Diofánticas................................................. Ejercicios: ecuaciones de primer grado..................... Solución general de ecuaciones Diofánticas.............. Dos ecuaciones simultáneas con dos incógnitas....... Método 1: método gráfico............................................. Método 2: método de eliminación............................... Reducción....................................................................... Igualación....................................................................... Sustitución..................................................................... Método 3: método por determinantes......................... Tres ecuaciones simultáneas con tres incógnitas...... Método 1: solución por eliminación........................... Método 2: solución por determinantes....................... Problemas con ecuaciones de primer grado.............. Ecuaciones de primer grado con una incógnita, problemas....................................................................... Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, problemas....................................................................... Ecuaciones de primer grado con tres incógnitas, problemas....................................................................... Ecuaciones de segundo grado...................................... Método axiomático........................................................ Técnica por factorización............................................. Técnica de completar cuadrados................................. Técnica por la fórmula cuadrática............................... Ecuaciones con radicales.............................................. Ecuaciones con fracciones............................................ Problemas con ecuaciones de segundo grado............ Ecuaciones de tercer grado......................................... Resolución moderna...................................................... Solución de ecuación de tercer grado......................... Ecuaciones polinómicas................................................ Ecuaciones racionales................................................... Fracciones parciales..................................................... 4 ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA CAPITULO 2: INECUACIONES................................ INTRODUCCIÓN......................................................... OBJETIVOS................................................................... Desigualdad................................................................... Propiedades de las desigualdades.............................. Operaciones con intervalos.......................................... Inecuaciones lineales.................................................... Inecuaciones lineales con una incógnita.................... Inecuaciones racionales............................................... Inecuaciones cuadráticas............................................. Inecuaciones mixtas..................................................... Problemas con inecuaciones de una variable............ Inecuaciones condos variables..................................... Sistema de inecuaciones, problemas.......................... Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.......... Ecuaciones con valor absoluto..................................... Inecuaciones con valor absoluto.................................. CAPITULO 3: FUNCIONES....................................... INTRODUCCIÓN......................................................... OBJETIVOS..................................................................: Sistema de coordenadas............................................... Coordenadas cartesianas............................................. Diagrama de Venn........................................................ Relaciones...................................................................... Funciones....................................................................... Funciones de valor real................................................ Las funciones según el tipo de relación..................... 5 UNAD Simetría de las funciones............................................. Descripción de una función.......................................... Clasificación de funciones............................................ Funciones especiales.................................................... Funciones algebráicas.................................................. Función cuadrática....................................................... Función cúbica............................................................... Función polinómica...................................................... Funciones racionales.................................................... Función radical............................................................. Funciones trascendentales.......................................... Función logarítmica...................................................... Funciones trigonométricas.......................................... Relaciones trigonométricas......................................... Función trigonométrica............................................... Función seno.................................................................. Función coseno.............................................................. Función tangente.......................................................... Funciones hiperbólicas................................................ Algebra de funciones.................................................... Composición de funciones........................................... Funciones inversas....................................................... Funciones algebráicas inversas.................................. Funciones trascendentales inversas.......................... Aplicación de las funciones......................................... Trigonométricas............................................................ CAPITULO 4: Trigonometría..................................... INTRODUCCIÒN......................................................... OBJETIVOS................................................................... 6 ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA Identidades trigonométricas....................................... Identidades básicas...................................................... Identidades de suma y diferencia.............................. Identidades de ángulo doble....................................... Identidades de ángulo mitad...................................... Identidades producto-suma........................................ Identidades de suma- producto.................................. Demostración de identidades trigomoétricas........... Ecuaciones trigonométricas........................................ Análisis de triángulos no - rectángulos..................... Teorema de coseno....................................................... Triángulos no rectángulos, problemas de aplicación....................................................................... Hipernometría.............................................................. Identidades hiperbólicas............................................. AUTOEVALUACIÓN UNIDAD 1.............................. UNIDAD 2: GEOMETRÍA ANALÍTICA................... INTRODUCCIÓN......................................................... OBJETIVOS.................................................................. MAPA CONCEPTUAL................................................ CAPÍTULO 1: LA RECTA.......................................... INTRODUCCIÓN......................................................... Distancia Euclidiana.................................................... La recta........................................................................... Ecuación de la recta..................................................... 7 UNAD La pendiente................................................................. El intercepto................................................................. Rectas paralelas............................................................ Rectas perpendiculares................................................ CAPÍTULO 2: LAS CÓNICAS.................................... INTRODUCCIÓN.......................................................... Circunferencia............................................................... La elipse......................................................................... Ecuación canónica con focos en y................................ Excentricidad................................................................. Parábola.......................................................................... Hipérbolas...................................................................... Asíntotas........................................................................ Traslación de ejes.......................................................... Circunferencia............................................................... Elipse.............................................................................. Parábola.......................................................................... Hipérbola....................................................................... Ecuación general de segundo grado........................... Circunferencia............................................................... Elipse.............................................................................. Hipérbola....................................................................... Aplicación de la geometría analítica.......................... UNIDAD 3: SUMATORIA Y PRODUCTORIAS....... INTRODUCCIÓN.......................................................... OBJETIVOS.................................................................. MAPA CONCEPTUAL................................................. 8 ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA CAPITULO 1: LAS SUMATORIAS............................ INTRODUCCIÓN.......................................................... Denotación de sumatorias............................................ Teoremas........................................................................ Propiedades................................................................... Operaciones de sumatorias......................................... La media aritmética...................................................... Dobles sumatorias......................................................... CAPITULO 2: PRODUCTORIAS............................... INTRODUCCIÓN.......................................................... La productoria................................................................ Cálculo de productorias............................................... Propiedades de productorias...................................... Ejercicios diversos........................................................ Factorial......................................................................... AUTOEVALUACIÓN UNIDAD 3............................... INFORMACIONES DE RETORNO........................... BIBLIOGRAFIA............................................................ 9 ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA I NTRODUCCIÓN E stimados estudiantes bienvenidos, al curso de álgebra y Trigonometría y Geometría Analítica. La matemática como ciencia a través de su historia ha buscado fundamentos sólidos que garanticen su validez absoluta y universal, dando así su gran forma de ser exacta y rigurosa, esto hace que presente diversas ramas, desde la aritmética, pasando por el álgebra, geometría; hasta temáticas avanzadas como la teoría de conjuntos, geometría diferencial y otros. Todo esto tiene como finalidad dar la sociedad una «herramienta formal» que le permite demostrar lo que está bien y lo que está mal. En este orden de ideas el curso que se presenta aquí, tiene diversas temáticas que de una u otra forma hacen parte de esta gran herramienta formal. Las temáticas presentadas son de interés para estudiantes de cualquier programa unviersitario, están desarrolladas en un lenguaje sencillo; pero con gran rigor matemático, ya que el propósito fundsamental es desarrollar en los estudiantes conocimientos sólidos en álgebra, trigonometría y geometría analítica. En curso está desarrollado en tres unidades a saber: La unidad uno, contempla lo referente al álgebra y Trigonometría, allí se presentan, los principios, teorías, propiedades, leyes y aplicaciones de las ecuaciones, 11
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