Algebra Superior II

185 Pages·2019·1.705 MB·Spanish

by  Antonio Lascuain Orive

Otros títulos de P rácticamente todas las áreas de la matemática involucran conjuntos con alguna e Antonio Lascurain Orive
v
Prensas de Ciencias: estructura algebraica, en este sentido el estudio del álgebra es fundamental Ori
n Es doctor en Matemáticas por la Universidad
para la ciencia en general. Este libro trata de algunos temas introductorios del ai
Álgebra superior. ur de Columbia, Nueva York. Realizó su tesis
Curso completo álgebra que se enseñan en el segundo semestre de la licenciatura de las carreras sc
a doctoral bajo la dirección de Troels Jørgensen.
Carmen Gómez Laveaga de Matemáticas, Matemáticas aplicadas, Actuaría y Ciencias de la Computación, de o L Desde1979 es profesor en las áreas de ál-
Álgebra superior I la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México. El texto ntoni Álgebra gebra, análisis, geometría y topología en
es la segunda parte del libro Álgebra superior I, de mi autoría, publicado en esta A
Antonio Lascurain Orive la Facultad de Ciencias de la Universidad
colección. El primer capítulo trata de los fundamentos de la teoría de números, en Nacional Autónoma de México. Ha impartido
Cálculo diferencial particular se usa el algoritmo de Euclides para resolver las ecuaciones diofantinas, superior II las materias Álgebra superior I y II en múlti-
de varias variables
se prueba y se aplica el teorema fundamental de la aritmética y se resuelven ples ocasiones y ha dirigido numerosas tesis
Javier Páez Cárdenas
ecuaciones de congruencias. En el segundo capítulo definiendo los números de licenciatura sobre geometría hiperbólica.
Cálculo integral reales como expansiones decimales infinitas sin colas de nueves, se prueba que Es autor de diversos artículos de investi-
de varias variables estos números constituyen un campo. El tercer capítulo presenta las propiedades
gación en prestigiosas revistas nacionales y
Javier Páez Cárdenas básicas del álgebra y la geometría de los números complejos, se define de manera I extranjeras. Miembro del Sistema Nacional
I

Un acercamiento a los correcta el argumento. Además, se calculan las raíces n-ésimas de los números r de Investigadores (SNI) desde 1992. Su prin-
o
fundamentos del cálculo. complejos. El cuarto capítulo trata de las propiedades básicas de los polinomios, ri cipal área de investigación es la geometría
e
El infinito y los números reales en particular se usan los teoremas del residuo y del factor, así como las derivadas, hiperbólica.
p
Javier Fernández García como herramientas para factorizarlos, además se aproximan raíces con distintos u
s Algunas de sus publicaciones son: “Some
métodos y se resuelven los polinomios de grado tres. En los últimos tres capítulos se
Una mirada al cálculo a Presentations for Γ o (Ν)”, en Conformal
a través de las sucesiones enfatiza en las relaciones con la geometría y el cálculo, incluyendo muchas figuras. br Geometry and Dynamics (2002), y “On Com-
Luis Briseño El texto está basado en el libro Álgebra superior, de Humberto Cárdenas, e mutators and Hyperbolic Groups in PSL(2,R)”,
g
Óscar Palmas Francisco Raggi, Emilio Lluis y Francisco Tomás. Ál en Journal of Geometry (2014).
Julieta Verdugo
Es autor, en esta misma serie, de los libros:
Una introducción a la geometría hiperbólica
ISBN: 978-607-30-1423-6 Antonio Lascurain Orive
bidimensional, Curso básico de variable com-
pleja y Álgebra superior I.
9 786073 014236
PANTONE 7453 C 90% PANTONE 7425 C PANTONE 7687 C
Antonio Lascurain Orive
Á II
LGEBRA SUPERIOR
Facultad de Ciencias, UNAM
2019
512.00711

Lascurain Orive, Antonio, autor,
Álgebra superior. II / Antonio Lascurain Orive. -- 1ª edición.
-- Ciudad de México : Universidad Nacional Autónoma de México, Fa-
cultad de Ciencias, 2019.
x, 175 páginas : ilustraciones ; 22 cm. -- (Temas de matemáticas)

Incluye índice
ISBN 978-607-30-1423-6

1. Álgebra--Estudio y enseñanza (Superior) I. Universidad Nacional
Autónoma de México. Facultad de Ciencias, editor.

Biblioteca Nacional de México No. de sistema[000709370]
Esta obra contó con el apoyo del proyecto PAPIME PE102716
Álgebra superior II
1a edición, 5 de enero de 2019
© DR. 2019. Universidad Nacional Autónoma de México.
Facultad de Ciencias
Ciudad Universitaria, Delegación Coyoacán.
C.P. 04510. Ciudad de México
[email protected]
tienda.fciencias.unam.mx
ISBN: 978-607-30-1423-6
Diseño de portada: Laura Uribe y Eliete Martín del Campo
Prohibida la reproducción total o parcial de la obra, por cual-
quier medio, sin la autorización por escrito del titular de los
derechos.
Impreso y hecho en México.
A Adda Stella

Pro´logo
A´lgebra superior II presenta temas introductorios de ´algebra que se ensen˜an
en el segundo semestre de las carreras de Matema´ticas, Actuar´ıa y Ciencias
de la Computacio´n de la Facultad de Ciencias de la UNAM. El texto es la
continuaci´on de A´lgebra superior I [9] de mi autor´ıa.
El libro cubre el programa vigente, es decir: la divisibilidad, el a´lgebra
y la geometr´ıa ba´sica de nu´meros complejos, y el anillo de los polinomios.
LosenterosylosanillosZ ,quetambi´encorrespondenaltemariodea´lgebra
m
superior II, fueron tratados en [9]. Se discuten tambi´en otros temas que no
son parte del temario, en particular, se prueba que los reales constituyen un
campo y se ampl´ıa la discusio´n sobre los polinomios.
La demanda por parte de muchos estudiantes de mis notas manuscritas
del curso A´lgebra superior II fue lo que motivo´ la elaboraci´on de este libro,
basado en buena medida en el Ca´rdenas et al. [4]. El objetivo es que los
alumnos cuenten con un texto claro, breve y formal del curso A´lgebra su-
perior II. Gran parte del texto conecta la discusi´on con otras a´reas como la
geometr´ıa y el c´alculo (incluyendo 46 figuras), con la perspectiva de que las
matema´ticas no son ramas aisladas, y que los estudiantes podr´an entender
mejorel´algebracuandoselerelacionaconotrasa´reas.Ellibronos´olocubre
el plan vigente (2005), adem´as toma en lo general la estructura del plan de
estudios de 1966. Tambi´en se desarrollan algunos buenos ejemplos que apa-
recen en [4], present´andolos sin embargo de manera m´as detallada, algunas
veces relacion´andolos con el c´alculo e incluyendo gra´ficas.
Enelprimercap´ıtulo,sedescribenel ma´ximocomu´n divisoryelm´ınimo
comu´n mu´ltiplo para dos o ma´s nu´meros; se resuelven para valores enteros
todaslasecuacionesdiofantinaslineales;sepruebaelteoremafundamentalde
laaritm´etica;seexhibendiversosm´etodospararesolvermu´ltiplessistemasde
congruencias;sepruebatambi´enquelosanillosZ ,pprimo,soncampos.Este
p
cap´ıtulopodr´ıallamarseintroducci´onalateor´ıadenu´meros,cabesen˜alarque
estaramadelamatem´aticaesdegranimportanciayserelacionaconmuchas
a´reas; en particular con la criptograf´ıa, v´ease por ejemplo [8]. La teor´ıa de
nu´meros tambi´en vincula la variable compleja, la geometr´ıa hiperbo´lica y la
topolog´ıa de las variedades de dimensi´on tres, como se puede apreciar en el
v
vi
libro de posgrado [10]. Asimismo, es un hecho notable que la conjetura de
Fermat (1637), que establece que la ecuacio´n an+bn = cn, donde a,b,c son
enteros positivos distintos a 1, se cumple solamente si n = 2, fue probada
por el matema´tico ingl´es Andrew Wiles en 1996, usando funciones el´ıpticas
y formas modulares, temas profundos de la matem´atica, que relacionan la
teor´ıadenu´merosconotrasramascomolageometr´ıaalgebraicaylavariable
compleja.
En el segundo cap´ıtulo, definiendo los reales como expansiones decimales
infinitas sin colas de nueves, se prueba de manera formal y detallada que
estos nu´meros reales son en efecto un campo. Considero que –aunque el tra-
tamiento de los reales con cortaduras de Dedekind es m´as elegante ([12])–
para un estudiante del primer an˜o de la carrera, ´este resulta ser menos na-
tural que el de las expansiones decimales infinitas. Asimismo, el m´etodo de
clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy no es muy apropiado para un
estudiante del primer an˜o de la carrera, quien puede identificar claramente
los puntos de la recta con las expansiones decimales infinitas, sin embargo
no tiene suficiente madurez matem´atica para pensar puntos como clases de
equivalencia.Sepruebantambi´enalgunosteoremasdedensidaddelosracio-
nales y que ´estos son exactamente los reales perio´dicos; se incluye tambi´en
unadiscusio´nsobreaproximaci´onysecomparaconelm´etododeNewton.La
razo´n principal de incluir este cap´ıtulo es probar de manera simple y r´apida
que los nu´meros reales tienen estructura de campo.
En el tercer cap´ıtulo se prueban e ilustran resultados b´asicos de la geo-
metr´ıa y el a´lgebra de los nu´meros complejos, poniendo ´enfasis en la parte
geom´etrica,yaquedeestaformasevuelvetransparentelaecuaci´oni2 =−1.
Adema´s, se define el argumento de un nu´mero complejo de manera multiva-
luada, lo cual prepara de manera correcta a los estudiantes para el aprendi-
zaje de la variable compleja b´asica, basta por ejemplo pensar en la funcio´n
logar´ıtmica compleja. Este enfoque tambi´en simplifica sustancialmente di-
versos c´alculos. Aunado a esto se incluyen muchas figuras y se mencionan
m´etodos del ca´lculo para aproximar funciones trigonom´etricas y argumen-
tos, como el teorema de Taylor. Los nu´meros complejos son esenciales en
pra´cticamente todas las ramas de la matem´atica y algunas de la f´ısica, por
ejemplo, permiten simplificar largos ca´lculos a cuentas ma´s simples, como
se puede constatar en las integrales impropias. Ma´s au´n, son una poderosa
herramienta en la geometr´ıa, como se observa con las funciones de Moebius,
es decir, las que van del plano en el plano, o m´as precisamente de la esfera
en la esfera, y que son de la forma
az+b
z (cid:2)−→ , ad−bc(cid:4)=0, a,b,c,d∈C.
cz+d
vii
El u´ltimo cap´ıtulo trata sobre algunos fundamentos del anillo de los po-
linomios, como son: el algoritmo de la divisio´n, los teoremas del factor y
del residuo, teoremas b´asicos sobre polinomios con coeficientes enteros, el
m´etodo de aproximacio´n de Horner, la factorizacio´n de polinomios usando
las derivadas y el m´aximo comu´n divisor. Se prueba tambi´en el teorema de
Sturm que permite aislar ra´ıces, y se encuentran las soluciones a las ecua-
ciones de grado 3 y 4, mediante el teorema de Cardano–Ferro–Tartaglia y el
m´etododeFerrari.Adema´s,sepruebanresultadossobrefraccionesparciales,
y se presentan polinomios sim´etricos en varias variables que describen a los
coeficientes de los polinomios en t´erminos de sus ra´ıces. Los polinomios son
fundamentalesenlasmatem´aticasysusaplicaciones,enparticularlosllama-
dos de Taylor han sido hist´oricamente una herramienta b´asica para conocer
el comportamiento de muchas funciones. Su utilidad e importancia aparece
en casi todas las ´areas, m´as au´n, constituye uno de los objetos de estudio
de ´areas como la variable compleja, la geometr´ıa algebraica, as´ı como varias
ramas del a´lgebra.
El texto contiene diversos ejercicios (algunos avanzados). La razo´n de
no incluir un nu´mero excesivo de ellos es proporcionar al estudiante una
gu´ıa m´ınima para dominar la materia de manera ra´pida. Los temas de este
libro pueden cubrirse en un semestre. Una posible distribuci´on podr´ıa ser
la siguiente: cuatro semanas para cubrir el cap´ıtulo de divisibilidad, tres
semanas para el cap´ıtulo de reales, dos semanas y media para los nu´meros
complejos, y cinco semanas y media para el cap´ıtulo de polinomios.
Otros libros de apoyo a los estudiantes de la materia A´lgebra superior II
son [1], [2] y [6].
AgradezcoespecialmenteaManuelFloresGaliciaporlacapturaenLatex
de mis notas para el curso A´lgebra superior II, y por la elaboracio´n de las
figuras;asimismomiagradecimientoaunodelos´arbitrosqueley´odemanera
cuidadosa el texto y sugiri´o muchas mejor´ıas a lo largo de todo el libro.
Migratitudtambi´enaloscolegasquemehanenriquecidoconsuscomen-
tarios sobre la ensen˜anza de esta asignatura, y a varios de mis alumnos por
suspertinentesintervenciones;alasautoridadesdelaFacultaddeCienciasy
alaDireccio´nGeneraldeAsuntosdelPersonalAcad´emico(DGAPA),queme
apoyan en la publicaci´on de este libro, con el proyecto PAPIME PE102716.

´
Indice general
1. Divisibilidad 1
1.1. Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. El algoritmo de la divisi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. El m´aximo comu´n divisor y el m´ınimo comu´n mu´ltiplo . . . . 7
1.4. Algoritmo de Euclides, Ecuaciones diofantinas . . . . . . . . . 13
1.4.1. Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.2. Ecuaciones Diofantinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5. Teorema fundamental de la aritm´etica . . . . . . . . . . . . . 18
1.6. Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.7. Los campos Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
p
2. El campo de los nu´meros reales 33
2.1. Los racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2. Los nu´meros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3. El supremo y el´ınfimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4. Los reales son un campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5. Racionales = reales perio´dicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.6. Exponentes fraccionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.6.1. Ra´ıces n-´esimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.6.2. Exponentes fraccionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.7. Aproximaci´on, m´etodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3. Los nu´meros complejos 71
3.1. Nociones b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1.1. Mo´dulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1.2. Argumento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2. Multiplicacio´n de complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3. Los complejos son un campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.4. Ra´ız cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.5. Ra´ıces n-´esimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
ix