Algebra: Sommersemester 2019

104 Pages·2019·0.728 MB·German

by  Mohamed Barakat

Algebra
Sommersemester 2019
Mohamed Barakat
DEPARTMENT MATHEMATIK, UNIVERSITÄT SIEGEN
[email protected]
Stand:24.Juli2019
DerNachdruckdiesesTextes,auchvoneinzelnenTeilendaraus,istnichtgestattet.

Vorwort
Dies ist die geTEXte Version meiner Vorlesungsnotizen, die ich fortlaufend aktualisieren
werde.DerStandderNotizenistmindestensumeineWocheverzögert.Dahergilt:Kommt
zur Vorlesung und macht Eure eigenen Notizen. Die sind sowieso besser als jedes Skript. Die
Form eines Skriptes erreichen diese Notizen vermutlich erst gegen Ende der Vorlesung,
dies kann ich aber nicht garantieren. Die aktuelle Version ist unter der folgenden Adresse
zufinden:
https://algebra.mathematik.uni-siegen.de/barakat/Lehre/SS19/Algebra/
Skript/Algebra.pdf
DieSkriptederLinearenAlgebraI
https://algebra.mathematik.uni-siegen.de/barakat/Lehre/WS17/LAI/Skript/
LA_I.pdf
undderLinearenAlgebraII
https://algebra.mathematik.uni-siegen.de/barakat/Lehre/SS18/LAII/Skript/
LA_II.pdf
werdenvorausgesetzt.
DasSkriptderAlgorithmischenAlgebra
https:
//algebra.mathematik.uni-siegen.de/barakat/Lehre/WS18/AA/Skript/AA.pdf
wirdnichtvorausgesetzt.
AlsVorlagebenutz(t)eichdasonline-verfügbareSkriptvonProf.GabrieleNebe
http://www2.math.rwth-aachen.de:8085/algebra.pdf,
Prof. Wilhelm Pleskens Algebra Skript, sowie das auf beide Vorlagen aufbauende Skript
von PD Dr. Markus Kirschmer, welche sie mir freundlicherweise zur Verfügung gestellt
haben.
FürKorrektur-undVerbesserungsvorschlägebinichstetsdankbar
[email protected]
iii
Inhaltsverzeichnis
0 Preludium:Mengenlehre. 1
1 GrundlegendeAxiomederMengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 DasZorn’scheLemmaunddasAuswahlaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 BeweisdesHauptsatzes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 ElementareKörpertheorie. 7
1 Primkörper,KörpererweiterungenundGradsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 TranszendenteErweiterungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Zerfällungskörper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 DeralgebraischeAbschluss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5 EndlicheKörper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6 SeparableErweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
7 NormaleErweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Gruppentheorie 19
1 Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Gruppenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 KlassifikationtransitiverG-Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 DerBahnenalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5 FixpunktlemmavonBurnside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6 SylowsätzenachWielandt* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7 KompositionsreihenundderSatzvonJordan-Hölder . . . . . . . . . . . . . . 33
8 AuflösbareGruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
9 SemidirekteProdukte,KomplementeundderSatzvonSchur-Zassenhaus . . 41
10 FreieGruppenundPräsentationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Galoistheorie. 51
1 Galoiserweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2 Kreisteilungskörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3 NormundSpur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4 ZyklischeKörpererweiterungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5 AuflösbarkeitvonGleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6 KonstruktionenmitZirkelundLineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7 FundamentalsatzderAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4 StrukturtheorievonModuln 69
1 ArtinscheundnoetherscheModuln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2 IdempotenteundunzerlegbareModuln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3 HalbeinfacheModulnundderStruktursatzvonArtin-Wedderburn . . . . . . 76
5 Ganzheit 83
1 GanzeRingerweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
iv
INHALTSVERZEICHNIS v
6 DarstellungstheorieendlicherGruppen 87
1 GruppenalgebrenundDarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2 Charaktertheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3 DerSatzvonBurnside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
vi INHALTSVERZEICHNIS
Kapitel 0
Preludium: Mengenlehre.
Literatur:Halmos,NaiveMengenlehre.
1 Grundlegende Axiome der Mengenlehre
1. Elementbeziehung. Ist A eine Menge, so schreiben wir x ∈ A wenn x ein Element
vonAist,ansonstenx (cid:54)∈ A.
2. Extensionalitätsaxiom(bzw.Gleichheit).ZweiMengensindgenaudanngleich,wenn
siediegleichenElementeenthalten.
(Dass dies eine Forderung ist, veranschauliche man sich z.B. indem man alle Men-
schen betrachtet und x ∈ A schreibt, wenn x ein Vorfahr von A ist. Sind die beiden
Menschen gleich A = B, so haben sie dieselben Vorfahren (x ∈ A ⇔ x ∈ B), die
Umkehrunggiltjedochz.B.beiGeschwisterni.a.nicht.)
3. Aussonderungsaxiom. Ist A eine Menge und B eine Bedingung an die Elemente der
MengeA,soistauch{x ∈ A | B(x)}eineMenge.
4. Existenzaxiom.EsgibteineMenge.
DanngibtesauchdieleereMenge,∅ = {x ∈ A | x (cid:54)= x},diekeinElemententhält.Sie
istTeilmengejederanderenMenge.
5. Paarbildungsaxiom. Sind A, B Mengen so gibt es eine Menge M mit A ∈ M und
B ∈ M.
Mit Hilfe dieses Axioms haben wir aus der leeren Menge alle natürlichen Zahlen
konstruiert.0 = ∅,1 = {∅},2 = {∅,{∅}}undimallgemeinenn+1 = {∅,n}.
6. Vereinigungsaxiom. Zu jeder Menge von Mengen M gibt es eine Menge X, die alle
Elementeenthält,diezumindestenseinerMengevonMgehören.
DarauskannmandieVereinigungsmengebilden,alsdieMengeallderElementevon
X, die in einem M ∈ M liegen, indem man das Aussonderungsaxiom anwendet.
Zur Bildung des Durchschnitts A ∩ B (auch für beliebige Mengensysteme) benötigt
man kein weiteres Axiom, dies geht mit dem Aussonderungsaxiom alleine, ebenso
beiKomplementenA\B = {x ∈ A | x (cid:54)∈ B}.
7. Potenzmengenaxiom.ZujederMengeM existierteineMengeX,diealleTeilmengen
vonM alsElementeenthält.
DamitdefiniertmandannwiederdiePotenzmengevonM
Pot(M) := {x ∈ X | x ⊆ M}.
1
2 KAPITEL0. PRELUDIUM:MENGENLEHRE.
MitdiesenAxiomensystemhabenwirindenGrundlagengearbeitetohnedieseAxiome
alssolchezubezeichnen.Siesindanschaulich.WirkonntenmitihnenkartesischeProdukte,
RelationenundFunktionendefinieren.EinweitererBegriffistderderFamilievonMengen.
IstΛeineMengeundf : Λ → X eineFunktion,diejedemλ ∈ ΛeineMengef(λ) = X ∈ X
λ
zuordnet, so heißt der Wertebereich von f auch Familie von Mengen (X | λ ∈ Λ). Eine
λ
ausführlichere Darstellung finden Sie in dem (für Sie jetzt) schön zu lesenden Büchlein,
“NaiveMengenlehre”.
2 Das Zorn’sche Lemma und das Auswahlaxiom
Definition0.1.
• EinOrdnungaufeinerMengeM isteineRelation≤aufM mit
(i) a ≤ afürallea ∈ M.(reflexiv)
(ii) a ≤ bundb ≤ a⇒a = b.(antisymmetrisch)
(iii) a ≤ bundb ≤ c⇒a ≤ c.(transitiv)
• Eine geordnete Menge (M,≤) heißt vollständig geordnet, wenn für alle a,b ∈ M
entwedera ≤ boderb ≤ agilt.
• Eine geordnete Menge (M,≤) heißt wohlgeordnet, wenn jede nichtleere Teilmenge
von M ein kleinstes Element enthält. (∅ =(cid:54) N ⊂ M ⇒ ∃ n ∈ N, so dass n ≤ x für alle
x ∈ N.)
• (M,≤) heißt induktiv geordnet, wenn jede vollständig geordnete Teilmenge N ⊂ M
eineobereSchrankeinM besitzt,esalsox ∈ M gibtmitn ≤ xfürallen ∈ N.
• EinmaximalesElementvonM isteinm ∈ M mitm ≤ x ⇒ x = mfürallex ∈ M.
• Eine Teilmenge S von (M,≤) heißt Segment, falls für jedes m ∈ M gilt: ∃s ∈ S mit
m ≤ s⇒m ∈ S.
Beispiel0.2.
• (N,≤)istvollständiggeordnetundwohlgeordnet,jedochnichtinduktivgeordnet.
• (R ,≤)istvollständiggeordnet,jedochnichtwohlgeordnet.
>0
• (0,1]istvollständiggeordnetundinduktivgeordnet,jedochnichtwohlgeordnet.
• Sei M eine Menge und Pot(M) := {N ⊂ M} die Potenzmenge von M. Dann ist
Pot(M) durch die Relation X ≤ Y ⇔ X ⊆ Y eine geordnete Menge. Hat M mehr als
einElement,soistsienichtvollständiggeordnet.
Bemerkung0.3. Sei(M,≤)einegeordneteMenge.
1. IstM wohlgeordnet,soistsievollständiggeordnet.
(DieMenge{a,b} ⊂ M hateinkleinstesElement.)
2. Fürx ∈ M ist
M := S(M,<,x) := {m ∈ M | m < x}
<x
einSegment.
2. DASZORN’SCHELEMMAUNDDASAUSWAHLAXIOM 3
3. Ist M vollständig geordnet und S ⊂ M ein Segment, so gilt S ⊂ M für jedes x ∈
<x
M \S.
Hauptsatz0.4. FolgendeAussagensindäquivalent.
(A) (Auswahlaxiom) Sei Λ (cid:54)= ∅ und für jedes λ ∈ Λ eine nichtleere Menge X gegeben. Dann ist
λ
daskartesischeProdukt
(cid:89)
X = {(x ) | x ∈ X }
λ λ λ∈Λ λ λ
λ∈Λ
nichtleer.
(Mankannalsosimultanfürjedesλ ∈ Λeinx ∈ X auswählen.)
λ λ
(Z) (Lemma von Zorn) Sei (M,≤) eine nicht leere geordnete Menge. Ist (M,≤) induktiv geord-
net,sobesitzt(M,≤)maximaleElemente.
(Hat also jede Kette in M eine obere Schranke in M, so gibt es ein x ∈ M mit m ≥ x ⇒
m = xfürjedesm ∈ M.)
(W) (Wohlordnungssatz)JedeMengeM besitzteineOrdnung,bezüglichdersiewohlgeordnetist.
(A),(Z),(W)sindalsoäquivalenteAxiome,siefolgennichtausdenGrundaxiomender
Mengenlehre,manmusseines(undwegenderÄquivalenzsomitalle)vonihnenzusätzlich
fordern.
Bevor wir zum Beweis kommen wollen wir erstmal exemplarisch zwei wichtige An-
wendungenzeigen.
Satz0.5. JederVektorraumbesitzteineBasis.
Beweis. SeiV einVektorraumundB := {B ⊂ V | B linearunabhängig}.DannistB geord-
net durch B ≤ B ⇔ B ⊂ B . Ist nun K ⊂ B eine Kette, also eine total geordnete Menge,
1 2 1 2
soistdieVereinigung
(cid:91)
K := B
B∈K
eine linear unabhängige Teilmenge von V (beachten Sie, l.u. heißt dass jede endliche Line-
arkombinationder0trivialist)undsomiteinElementvonB.NachdemZorn’schenLemma
hatalsoB maximaleElemente,alsomaximallinearunabhängigeTeilmengenX ⊂ V.Jedes
solcheX isteinErzeugendensystem,dennfürv ∈ V \(cid:104)X(cid:105)istX∪{v}linearunabhängig.
Beachten Sie, dass man nicht unbedingt eine Basis von V angeben kann. Ist z.B. V =
K[x],soist(1,x,x2,...)eineunendlicheBasisvonV.JedochfürV = K[[x]],V = R[0,1] oder
V = {f : [0,1] → R | f stetig} kann man keine solche Basis angeben, glaubt man an das
Auswahlaxiom,wasdurchaussinnvollerscheint,sogibtesabereineBasis.
EineweitereAnwendungist
Satz0.6. SeiR einRing.DannliegtjedesechteIdealvonR ineinemmaximalenIdeal.
Beweis. Beachte: Ein Ideal I (cid:2) R heißt maximales Ideal, wenn I (cid:54)= R und I ⊆ M (cid:2) R
impliziert M = I oder M = R. Äquivalent dazu R/I ist ein Körper. Beweis. Sei I (cid:2)R ein
Ideal. Betrachte die durch Inklusion geordnete Menge M(I) aller Ideale R (cid:54)= J (cid:2) R, die I
enhalten. Diese Menge ist wieder induktiv geordnet, denn für jede total geordnete Menge
vonIdealenistihreVereinigungwiedereinIdeal.(BeweisanTafel).NachdemLemmavon
Zorn hat M(I) also maximale Elemente. Jedes maximale Element von M(I) ist aber ein
maximalesIdealvonR,dasI enthält.
4 KAPITEL0. PRELUDIUM:MENGENLEHRE.
3 Beweis des Hauptsatzes.
Dazu2Lemmata.
Lemma 0.7. Sei (X | λ ∈ Λ) eine Familie von Teilmengen einer Menge M und für jedes
λ
λ ∈ Λsei≤ eineWohlordnungaufX sodassfürX ⊆ X gilt:
λ λ µ λ
X isteinSegmentinX unddieOrdnung≤ istdieEinschränkungvon≤ aufX .
µ λ µ λ µ
Fallsfürjezweiλ,µ ∈ ΛstetsgiltX ⊆ X oderX ⊆ X soinduzierendieOrdnungen(≤ | λ ∈
µ λ λ µ λ
Λ)eineWohlordnungaufX := ∪ X .
λ∈Λ λ
Beweis. Sind x,y ∈ X, so gibt es λ,µ ∈ Λ mit x ∈ X , y ∈ X . Nun gilt entweder X ⊆ X
λ µ µ λ
oder X ⊆ X also nehmen wir an, dass x,y ∈ X . Dann erklärt man x ≤ y genau dann
λ µ µ
wenn x ≤ y. Dies definiert eine Ordnung auf X deren Einschränkung auf jedes X gleich
µ λ
≤ ist. Dies ist eine Wohlordnung auf X, denn sei ∅ =(cid:54) A ⊆ X. Dann gibt es ein λ ∈ Λ mit
λ
A∩X (cid:54)= ∅.Seia ∈ A∩X einkleinstesElement.
λ λ
Behauptung:aistaucheinkleinstesElementvonA.
Dennseix ∈ A.Istx ∈ X sogilta ≤ xnachKonstruktion.Ansonstenistx ∈ X mitµ (cid:54)= λ.
λ µ
Da x (cid:54)∈ X gilt nicht X ⊆ X und also nach Voraussetzung X ⊆ X und X ein Segment
λ µ λ λ µ λ
inX .Dannistabera ≤ xnachBemerkung0.3.
µ
Lemma 0.8. (Fundamentallemma von Bourbaki) Sei ∅ ∈ T ⊆ Pot(M) und p : T → M
eine Abbildung mit p(T) (cid:54)∈ T für alle T ∈ T . Dann gibt es eine Teilmenge X ⊆ M und eine
Wohlordnung≤aufX,sodassgilt:
1)Fürjedesx ∈ X istX ∈ T undp(X ) = x.
<x <x
2)X (cid:54)∈ T .
Beweis. SeiF = (X ,≤ )dieFamilieallergeordnetenMengenmit
λ λ
a) X ∈ T
λ
b) (X ,≤ )wohlgeordnet,
λ λ
c) Fürallex ∈ X liegtS(X ,< ,x) ∈ T undp(S(X ,< ,x)) = x.
λ λ λ λ λ
DannerfülltF dieVoraussetzungenvonLemma0.7:
Dennfürλ,µ ∈ Λsei
V := {x ∈ X ∩X | (S(X ,< ,x),≤ ) = (S(X ,< ,x),≤ )}.
λ µ λ λ λ µ µ µ
DannistV einSegmentvonX undauchvonX .(leichteÜbung.)
λ µ
Wirzeigenjetzt,dassV = X oderV = X gilt:
λ µ
SonstgäbeeseinkleinsteElementex ∈ X \V,x ∈ X \V.DannistV = S(X ,< ,x ) =
λ λ µ µ µ µ µ
S(X ,< ,x )undwegenc)daher
λ λ λ
x = p(V) = x ∈ X ∩X
µ λ λ µ
undsomitx = x ∈ V einWiderspruch.
µ λ
Setze nun X := ∪ X und ≤ die von ≤ , λ ∈ Λ nach Lemma 0.7 induzierte Wohlord-
X ∈F λ X λ
λ
nungaufX.Fürjedesx ∈ X gibteseinλ ∈ Λmitx ∈ X unddannist
λ
S(X,< ,x) = S(X ,< ,x) ∈ T
X λ λ
undsomitp(S(X,< ,x)) = x.DieMengeX erfülltalsodenPunkt1.derBehauptung.Gilt
X
X (cid:54)∈ T , so ist X die gesuchte Menge. Ansonsten ist X ∈ T und es gilt p(X) =: x (cid:54)∈ X.
0
BetrachtedieMenge
X := X ∪{x },x ≤ x fürallex ∈ X und ≤ =≤ aufX.
0 0 0 0 0 X