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Algebra lineare, per matematici Marco Manetti versione preliminare, a.a. 2018-19 Marco Manetti Dipartimento di Matematica “G. Castelnuovo” Sapienza Università di Roma In copertina: “Trasformazione del caffè in teoremi” (2017), creata usando il software libero disponibile all’indirizzo http://www.wordclouds.com. Avvertenza. La presente versione è ancora in forma preliminare e su certe parti ancora in forma sperimentale, ossia non sottoposta alla prova delle lezioni ed al feedback con gli studenti. Come conseguenza di ciò il numero di errori, di incongruenze e di argomenti trattati in maniera incompleta è ancora elevato: i lettori sono avvisati! Sarò naturalmente lieto di ricevere da chiunque commenti, suggerimenti e segnalazioni di errori. Esercizi. Alla fine di ogni sezione saranno proposti alcuni esercizi di diversa natura e difficoltà. Il simbolo (cid:75) indica gli esercizi ritenuti piu` difficili, il simbolo (cid:185) quelli per cui è riportatalasoluzionenell’ultimocapitoloedilsimbolo(cid:171)quellicherichiedononozioniimpar- titeusualmenteinaltriinsegnamentiuniversitari,tipicamenteinquellidiAnalisiMatematica. Questa versione contiene 681 esercizi. Complementi. Ogni capitolo si conclude con una sezione di complementi, ossia di argomenti che di norma non fanno parte del programma di algebra lineare e che possono essere omessi in prima lettura senza compromettere la comprensione generale del testo. Questo lavoro è rilasciato sotto la licenza Creative Commons Attribuzione - Non commerciale - Condividi allo stesso modo 4.0 Internazionale (CC BY-NC-SA 4.0). Ognuno è libero: • Condividere, riprodurre, distribuire, comunicare al pubblico, esporre in pubblico, rappresentare, eseguire e recitare questo materiale con qualsiasi mezzo e formato. • di creare opere derivate. Alle seguenti condizioni: Attribuzione: Di riconoscere il contributo dell’autore originario. In occasione di ogni attodiriutilizzazioneodistribuzione,bisognachiarireaglialtriiterminidellalicenza di quest’opera. Non commerciale: Di non usare quest’opera per scopi commerciali. Condividi allo stesso modo: Leoperederivatedevonoesseredistribuiteconlastes- sa licenza del materiale originario. Se si ottiene il permesso dal titolare del diritto d’autore, è possibile rinunciare ad ognuna di queste condizioni. Indice Capitolo 1. I sistemi lineari 1 1.1. Sistemi lineari 1 1.2. Sistemi ridondanti e rango 4 1.3. Il linguaggio degli insiemi 7 1.4. Brevi cenni sul metodo di Gauss 10 1.5. Alcune cose che si trovano nei libri di matematica 12 1.6. Prima esercitazione 15 1.7. Complementi: ulteriori nozioni base di logica matematica 18 Capitolo 2. Numeri interi e razionali 21 2.1. Numeri naturali, interi e razionali 21 2.2. Applicazioni tra insiemi 24 2.3. Il principio di induzione matematica 27 2.4. Il teorema fondamentale dell’aritmetica 32 2.5. Attenti all’errore! 34 2.6. Fattoriali e coefficienti binomiali 35 2.7. Il prodotto di composizione 40 2.8. Complementi: i numeri di Fibonacci e di Bernoulli 44 Capitolo 3. Numeri reali e complessi 49 3.1. I numeri reali 49 3.2. Estensioni quadratiche 53 3.3. I numeri complessi 56 3.4. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi 59 3.5. Potenze e radici di numeri complessi 62 3.6. Campi di numeri 64 3.7. Campi, polinomi e funzioni razionali 66 3.8. Complementi: la formula di Cardano 71 Capitolo 4. Spazi e sottospazi vettoriali 75 4.1. Spazi vettoriali numerici 75 4.2. Spazi vettoriali 77 4.3. Sottospazi vettoriali 80 4.4. Combinazioni lineari e generatori 82 4.5. Indipendenza lineare e teorema di scambio 85 4.6. Basi e dimensione 88 4.7. Semisemplicità e formula di Grassmann 90 4.8. Complementi: i numeri algebrici 92 Capitolo 5. Applicazioni lineari 97 5.1. Applicazioni lineari 97 5.2. Nucleo, immagine e teorema del rango 100 5.3. Matrici ed applicazioni lineari 104 5.4. Iperpiani e sistemi di coordinate 107 5.5. Spazi di applicazioni lineari 109 5.6. Complementi: successioni esatte e caccia al diagramma 111 Capitolo 6. Operazioni con le matrici 115 6.1. Traccia e trasposta 115 iii iv INDICE 6.2. L’algebra delle matrici 117 6.3. Matrici invertibili 122 6.4. Rango di una matrice 125 6.5. Matrici speciali 128 6.6. Complementi: attenti a chi si incontra in rete 131 Capitolo 7. Riduzione a scala ed applicazioni 135 7.1. L’algoritmo di divisione 135 7.2. Matrici a scala 138 7.3. Operazioni sulle righe e riduzione a scala 141 7.4. Il teorema di Rouché-Capelli 144 7.5. Equazioni parametriche e cartesiane 146 7.6. Riduzione di Gauss-Jordan e calcolo della matrice inversa 148 7.7. Prodotto scalare e proiezioni ortogonali 151 7.8. Complementi: matrici a coefficienti interi e riduzione di Smith 157 Capitolo 8. Il determinante 159 8.1. Una formula per il determinante 159 8.2. Segnatura delle permutazioni ed unicità del determinante 162 8.3. Incroci e segnatura 167 8.4. Sviluppi di Laplace 171 8.5. La matrice dei cofattori e la regola di Cramer 175 8.6. Complementi: lo Pfaffiano 178 Capitolo 9. Endomorfismi e polinomio caratteristico 181 9.1. Matrici simili 181 9.2. Spettro e polinomio caratteristico 184 9.3. Matrici compagne 187 9.4. Endomorfismi 189 9.5. Autovalori, autovettori e sottospazi invarianti 191 9.6. Endomorfismi triangolabili e nilpotenti 195 9.7. Endomorfismi diagonalizzabili 199 9.8. Il teorema fondamentale dell’algebra 203 9.9. Complementi: similitudine complessa di matrici reali 205 Capitolo 10. Polinomio minimo 207 10.1. Il polinomio minimo 207 10.2. Il teorema di Cayley-Hamilton 211 10.3. Polinomio minimo e diagonalizzazione 214 10.4. Matrici ed endomorfismi nilpotenti 216 10.5. Matrici simmetriche ed antisimmetriche reali 218 10.6. Criterio di Sylvester e regola dei segni di Cartesio 222 10.7. Complementi: il teorema di Cayley-Hamilton-Frobenius 225 Capitolo 11. Autospazi generalizzati e forma canonica di Jordan 227 11.1. La decomposizione di Fitting 227 11.2. Diagrammi di Young 230 11.3. Autospazi generalizzati 234 11.4. La forma canonica di Jordan 238 11.5. Complementi: la decomposizione di Dunford 241 Capitolo 12. Spazi duali 245 12.1. Spazi duali 245 12.2. Basi duali e sistemi di coordinate 248 12.3. Biduale e trasposta 250 12.4. Dualità vettoriale 252 12.5. Forme alternanti 255 12.6. Il principio del massimo 262 12.7. Complementi: la prova del principio del massimo 265 INDICE v Capitolo 13. Spazi quoziente 269 13.1. Relazioni di equivalenza 269 13.2. Spazi vettoriali quoziente 271 13.3. Triangolazione simultanea di endomorfismi nilpotenti 274 13.4. La costruzione dei numeri reali 275 13.5. Complementi: insiemi ordinati e lemma di Zorn 281 Capitolo 14. Fattorizzazione di polinomi e forma canonica razionale 285 14.1. Il massimo comune divisore di polinomi 285 14.2. Polinomi irriducibili e fattorizzazione unica 287 14.3. Decomposizione primaria ed endomorfismi semisemplici 289 14.4. Spazi ciclici, irriducibili e indecomponibili 290 14.5. La forma canonica razionale 293 14.6. Complementi: il risultante di due polinomi 295 Capitolo 15. Spazi e trasformazioni affini 299 15.1. Combinazioni baricentriche, spazi e sottospazi affini 299 15.2. Il rapporto semplice 303 15.3. Inviluppo affine, dimensione e formula di Grassmann 306 15.4. Polinomi di Bernstein e curve di Bézier 308 15.5. Complementi: spazi affini astratti e modellati 310 Capitolo 16. Complementi: le trascendenze famose 315 16.1. Irrazionalità di e ed l 316 16.2. L’operatore di derivazione 317 16.3. Irrazionalità di π 319 16.4. La trascendenza di l 320 16.5. La trascendenza di e 321 16.6. Polinomi simmetrici 324 16.7. La trascendenza di π 326 Capitolo 17. Note, commenti, curiosità e riferimenti bibliografici 329 Capitolo 18. Soluzioni e suggerimenti di alcuni esercizi 331 CAPITOLO 1 I sistemi lineari Per gli addetti ai lavori, l’algebra lineare è lo studio degli spazi vettoriali e delle applicazioni lineari. Per i novizi, e probabilmente per molti studenti appena iscritti all’università, la precedentedefinizionepuòsuonareunpo’troppoautoreferenziale.Obiettivodiquestocapito- loèdidare,inmanieramoltoinformaleeprivilegiandogliaspettiintuitivi,unprimoassaggio di algebra lineare rivisitando i ben noti sistemi di equazioni lineari, mentre spazi vettoriali ed applicazioni lineari verranno introdotti nei prossimi capitoli. E` bene precisare subito che l’algebra lineare non serve solo a studiare i sistemi lineari ma possiede innumerevoli legami e relazioni con quasi tutti gli ambiti e le aree matematiche. 1.1. Sistemi lineari Problema: un ragazzo vede conigli e polli in un cortile. Conta 18 teste e 56 zampe, quanti polli e conigli ci sono nel cortile? In tale problema abbiamo due quantità incognite, ossia il numero di polli ed il numero di conigli. Essendo questo un libro che vuole insegnare il mestiere di matematico, non perdiamo tempoinchiacchierefuoricontestoeindichiamoconleletterex,y lenostredueincognite,piu` precisamente chiamiamo x il numero di conigli ed y il numero di polli nel cortile. Quello che dobbiamo fare è trovare i valori di x,y che soddisfano entrambe le equazioni: (1) x+y =18 (equazione delle teste), (2) 4x+2y =56 (equazione delle zampe). Piu` in generale, quando abbiamo alcune equazioni e cerchiamo i valori che le risolvono tutte, parliamo di sistema di equazioni; generalmente i sistemi di equazioni si rappresentano solitamente con una parentesi graffa alla sinistra delle equazioni incolonnate in verticale. Nel nostro caso: (cid:40) x+y =18 . 4x+2y =56 Tale sistema si può risolvere usando il metodo di sostituzione: in tale metodo si suppone che il sistema abbia soluzioni e si utilizza un’equazione per calcolare il valore di un’incognita in funzione delle altre, poi si sostituisce tale valore nelle rimanenti equazioni ottenendo un sistema con un’equazione ed un incognita in meno. Nel nostro caso: (cid:40) (cid:40) (cid:40) x=18−y x=18−y x=18−y , , , 4x+2y =56 4(18−y)+2y =56 72−2y =56 (cid:40) (cid:40) (cid:40) x=18−y x=18−y x=10 , , −2y =−16 y =8 y =8 Abbiamo quindi dimostrato che il precedente problema dei polli e conigli ammette una unica soluzione, ossia x=10, y =8. Le cose però possono andare diversamente. Consideriamo per esempio il seguente problema:In un cortile ci sono conigli e polli, tutti integri e senza amputazioni. Sapendo che ci sono 10 teste e 20 orecchie, dire quanti sono i polli e quanti sono i conigli. In questo caso il sistema diventa (cid:40) x+y =10 2x+2y =20 1 2 1. I SISTEMI LINEARI Se proviamo a risolverlo con il metodo di sostituzione troviamo (cid:40) (cid:40) (cid:40) x=10−y x=10−y x=10−y , , 2x+2y =20 2(10−y)+2y =20 20=20 Mal’equazione20=20èsempresoddisfatta,noncidàalcunainformazionesupollieconiglie quindilapossiamoomettere.Dunqueilnostrosistemasiriduceallasolaequazionex=10−y che non ha una unica soluzione. Consideriamo adesso un altro problema: in un cortile ci sono conigli e polli, tutti integri ed in ottima salute. Sapendo che ci sono 10 teste e 21 orecchie, dire quanti sono i polli e quanti sono i conigli. In questo caso il sistema diventa (cid:40) x+y =10 2x+2y =21 e se proviamo a risolverlo con il metodo di sostituzione troviamo (cid:40) (cid:40) (cid:40) x=10−y x=10−y x=10−y , , . 2x+2y =20 2(10−y)+2y =21 20=21 In questo caso l’equazione 20 = 21 non è mai soddisfatta (è impossibile) e quindi l’ipotesi che il sistema abbia soluzioni porta ad una contraddizione. In tale caso non rimane quindi che dedurre che il sistema non ammette soluzioni. Un sistema di equazioni lineari che non ammette soluzioni viene anche detto inconsistente. Riepilogando, dato un sistema di equazioni lineari, la procedura di soluzione per sostituzione porta ad una delle seguenti tre conclusioni: (1) unica soluzione, (2) nessuna soluzione, (3) soluzioni multiple. Adessoperòcisorgeundubbio:nell’applicazionedelmetododisostituzioneabbiamoscel- to sia l’incognita da esplicitare sia l’equazione da utilizzare allo scopo. Diverse scelte portano a diversi procedimenti; ma chi ci assicura che diverse scelte portano alla stessa conclusione? Forse in questo caso la preoccupazione è eccessiva, in fin dei conti il metodo di sostituzione, qualunque strada percorra, porta sempre all’insieme delle soluzioni. Ci sono però altre importanti informazioni ottenibili dal metodo di sostituzione la cui indipendenza dalle scelte non è affatto chiara. L’algebra lineare nasce dall’esigenza di fornire un quadro teorico alla teoria dei sistemi di equazioni lineari, in grado di fornire la risposta al precedente dubbio (e non solo). Esempio 1.1.1. Cip e Ciop calcolano le soluzioni del sistema di due equazioni in tre incognite (cid:40) x+y+z =1 x−y+z =0 Applicando il metodo di sostituzione Cip trova: (cid:40) (cid:40) (cid:40) x=1−y−x x=1−y−z y = 1 , , 2 (1−y−z)−y+z =0 −2y =−1 x= 1 −z 2 Invece Ciop trova: (cid:40) (cid:40) y =1−x−z y =1−x−z , , x−(1−x−z)+z =0 2x+2z =1 (cid:40) (cid:40) (cid:40) y =1−x−z y =1−x−(1 −x) y = 1 2 2 z = 1 −x z = 1 −x z = 1 −x 2 2 2 Le due soluzioni sono entrambe corrette e solo apparentemente diverse. Infatti Cip trova che le soluzioni sono l’insieme delle terne (x,y,z) tali che y =1/2 e x=1/2−z, mentre Ciop trova che le soluzioni sono l’insieme delle terne (x,y,z) tali che y = 1/2 e z = 1/2−x. Tali insiemi chiaramente coincidono. 1.1. SISTEMI LINEARI 3 Esempio 1.1.2. Vogliamo trovare due numeri a,b tali che 1 a b = + . (t−1)(t−2) t−1 t−2 Eseguendo la somma del secondo membro mediante l’usuale regola di messa a denominatore comune si ha a b a(t−2) b(t−1) a(t−2)+b(t−1) + = + = t−1 t−2 (t−1)(t−2) (t−1)(t−2) (t−1)(t−2) e quindi i numeri a,b devono soddisfare l’uguaglianza 1=a(t−2)+b(t−1)=(a+b)t+(−b−2a). Equiparando i coefficienti delle potenze di t troviamo il sistema (cid:40) a+b=0 −b−2a=1 che ha come soluzione a=−1 e b=1. Esercizi. 1. Risolvere i seguenti sistemi di equazioni lineari:  (cid:40)3x+y =5 (cid:40)2x+7y =3 3x−2y+z =1 , , 12x−8y−z =4 . 3x+2y =4 6x+21y =4 x+y+z =1 2. Un contadino, avendo incontrato dei politici, voleva tirare 5 pomodori a ciascuno, ma per fare questo gli mancavano 2 pomodori. Allora egli tirò 4 pomodori a ciascuno e cos`ı gli rimasero 5 pomodori. Quanti erano i politici? 3. Batman, Robin e Catwoman corrono per le strade di Gotham City con le loro potenti moto. La moto di Batman viaggia a una velocità doppia di quella di Catwoman e il tempo che impiega Robin per attraversare il Robert Kane Memorial Bridge è uguale alla somma dei tempi che impiegano Batman e Catwoman per percorrere il medesimo ponte. Ad uno stesso istante Batman e Robin imboccano i due estremi dell’Old Steam Tunnel, lungo 736 metri. Quanti metri percorre Batman prima di scontrarsi con Robin? (Si suppone che tutti viaggiano a velocità costante.) 4. Determinare quattro numeri sapendo che le loro somme a tre a tre sono 9,10,11 e 12. 5 ((cid:185)). Francesca ha 26 anni, ama disegnare paesaggi e leggere poesie. A 18 anni si è iscrittaalWWFedhapartecipatoattivamenteadiniziativecontrolavivisezione.Possiedeuna forte personalità ed ama gli abbigliamenti etnici. Quale tra le seguenti affermazioni ritenete sia la meno probabile? (1) Francesca lavora in banca; (2) Francesca è vegetariana; (3) Francesca è vegetariana e lavora in banca. 6. Dei seguenti tre sistemi lineari, solamente uno è inconsistente. Senza fare i conti, ma solamente guardandoli, dire quale:  (cid:40)3x+2y+z =1 (cid:40)2x+4y+3z =1 3x+2y+z =1 2x+4y+3z =1 2x+4y+3z =1 , x−2y−2z =1 , x−2y−2z =1 . 7 (Eureka!). Una moneta del peso 16 grammi è fatta di oro e piombo ed il suo peso in acqua è di 15 grammi. Sapendo che il peso specifico dell’oro è 19,3 volte quello dell’acqua e quello del piombo 11,3 volte, calcolare quanti grammi di oro contiene la moneta. 8. Trovare tre numeri a,b,c tali che 2 a b c = + + . t3−t t−1 t+1 t 4 1. I SISTEMI LINEARI 9. Per quali valori del parametro k il sistema lineare  (k−1)x+(3k+1)y =2k  (k−1)x+(4k−2)y =(k+3) 2x+(3k+1)y =k−3 possiede soluzioni. 1.2. Sistemi ridondanti e rango Domanda: che cosa hanno in comune i seguenti sistemi di equazioni lineari?    x+y =1 x+y =1 x+y =1    (A) 2x−y =3 , (B) 2x−y =3 , (C) 2x−y =3 . 0=0 x+y =1 3x=4 Risposta: hanno tutti piu` equazioni del necessario. Spieghiamo caso per caso la risposta. Il sistema (A) contiene come terza equazione 0=0 che è sempre verificata, non influisce sul sistema e può essere tolta. Nel sistema (B) la terza equazione è uguale alla prima: in particolare se una coppia di numeri x,y soddisfa le prime due equazioni di (B) allora soddisfa anche la terza. Dunque anche in questo caso la terza equazione è ridondante e può essere tolta. Nel sistema (C) le tre equazioni sono diverse tra loro, tuttavia è facile osservare che la terzaè la somma delle prime due: infatti (x+y)+(2x−y)=3x e 1+3=4. Ne segue che se x,y soddisfano le prime due equazioni, allora 3x=(x+y)+(2x−y)=1+3=4 equindisoddisfanoanchelaterza:ancheinquestocasolaterzaequazionenonaggiungealcuna ulterioreinformazioneepuòesseretolta.Vediamoadessouncasoleggermentepiu` complicato:  x+y =1  (D) 2x−y =3 . 3y =−1 Siccome 2(x+y)−(2x−y)=3y e 2·1−3=−1, la terza equazioneè uguale al doppio della prima meno la seconda; dunque se x,y soddisfano le prime due equazioni allora 3y =2(x+y)−(2x−y)=2(1)−(3)=−1 e soddisfano anche la terza. Dunque la terza equazione si può omettere dal sistema senza alterare l’insieme delle soluzioni. Definizione 1.2.1. Diremo che un’equazione di un sistema è combinazione lineare delle altre se è la somma delle rimanenti equazioni moltiplicate per opportuni numeri. Esempio 1.2.2. Nel sistema  x+y+z =1 2x−y−z =3 x4y−+y7+z =2z−=30 la quarta equazione è combinazione lineare delle altre e piu` precisamente è la somma di 3 volte la prima, di −2 volte la seconda e della terza: 3(x+y+z)−2(2x−y−z)+(x−y+2z)=4y+7z, 3(1)−2(3)+(0)=−3. Osserviamo inoltre che ognuna delle quattro equazioni è combinazione lineare delle altre tre: ad esempio 2 1 1 2 1 1 x+y+z = (2x−y−z)− (x−y+2z)+ (4y+7z); 1= (3)− (0)+ (−3). 3 3 3 3 3 3