Algebra lineare ed equazioni differenziali ordinarie

234 Pages·2019·2.224 MB·Italian

by  Cesare Parenti, Alberto Parmeggiani

UNITEXT 117
Cesare Parenti · Alberto Parmeggiani
Algebra lineare
ed equazioni
diff erenziali
ordinarie
2a edizione
UNITEXT – La Matematica per il 3+2
Volume 117
Editor-in-Chief
AlfioQuarteroni,PolitecnicodiMilano,Italy;EPFL,Lausanne,Switzerland
Serieseditors
LuigiAmbrosio,ScuolaNormaleSuperiore,Pisa,Italy
PaoloBiscari,PolitecnicodiMilano,Milan,Italy
CiroCiliberto,UniversitàDegliStudidiRoma“TorVergata”,Rome,Italy
CamilloDeLellis, InstituteforAdvancedStudy,Princeton,USA
VictorPanaretos,InstituteofMathematics,EPFL,Lausanne,Switzerland
WolfgangJ.Runggaldier,UniversitàdiPadova,Padova,Italy
TheUNITEXT–LaMatematicaperil3+2seriesisdesignedforundergraduate
andgraduateacademiccourses,andalsoincludesadvancedtextbooksataresearch
level. Originally released in Italian, theseries nowpublishestextbooksin English
addressed to students in mathematics worldwide. Some of the most successful
booksintheserieshaveevolvedthroughseveraleditions,adaptingtotheevolution
ofteachingcurricula.
Moreinformationaboutthisseriesathttp://www.springer.com/series/5418
(cid:2)
Cesare Parenti Alberto Parmeggiani
Algebra lineare ed equazioni
differenziali ordinarie
2a edizione
CesareParenti AlbertoParmeggiani
DipartimentodiScienzedell’Informazione DipartimentodiMatematica
UniversitàdiBologna UniversitàdiBologna
Bologna,Italy Bologna,Italy
ISSN2038-5714 ISSN2532-3318(electronic)
UNITEXT–LaMatematicaperil3+2
ISBN978-88-470-3992-6 ISBN978-88-470-3993-3(eBook)
https://doi.org/10.1007/978-88-470-3993-3
SpringerItalia
©Springer-VerlagItaliaS.r.l.,partofSpringerNature2019
Quest’operaèprotettadallaleggesuldirittod’autoreelasuariproduzioneèammessasoloedesclu-
sivamenteneilimitistabilitidallastessa.Lefotocopieperusopersonalepossonoessereeffettuatenei
limitidel15%diciascunvolumedietropagamentoallaSIAEdelcompensoprevistodall’art.68.Le
riproduzioni per uso non personale e/o oltre il limite del 15% potranno avvenire solo a seguito di
specificaautorizzazionerilasciatada AIDRO, Corso di Porta Romana n. 108, Milano20122, e-mail
[email protected].
Tuttiidiritti,inparticolarequellirelativiallatraduzione,allaristampa,all’utilizzodi illustrazionie
tabelle,allacitazioneorale,allatrasmissioneradiofonicaotelevisiva,allaregistrazionesumicrofilmoin
database,oallariproduzioneinqualsiasialtraforma(stampataoelettronica)rimangonoriservatianche
nelcasodiutilizzoparziale.Laviolazionedellenormecomportalesanzioniprevistedallalegge.
L’utilizzoin questa pubblicazione di denominazioni generiche, nomi commerciali,marchi registrati,
ecc.anchesenonspecificatamenteidentificati,nonimplicachetalidenominazioniomarchinonsiano
protettidallerelativeleggieregolamenti.
ThisSpringerimprintispublishedbytheregisteredcompanySpringer-VerlagItaliaS.r.l.partofSpringer
Nature.
Theregisteredcompanyaddressis:ViaDecembrio28,20137Milano,Italy
Allenostrefamiglie
Prefazione
Questo libro èfrutto in partedella nostraesperienzadidattica e dellanostra espe-
rienzadiricerca.Speriamocolganelsegnochecisiamopreposti:quellodicolmare
un“gap”tralapreparazionedibaseequellapiùavanzata,ediindicareallettoreun
possibilepercorsodiesplorazionedidisciplinecosìimportantiqualisonol’algebra
lineareeleequazionidifferenzialiordinarie.
Desideriamo ringraziaregliamiciecolleghiCosimoSenniedAndreaTomma-
soliperl’aiutofondamentalenelprepararelefigurepresentineltestoedipreziosi
consiglisull’esposizione.
Ringraziamoinfine,anticipatamente, ognilettorechevorràsegnalarcierroried
imprecisioni,cheuntestocomequestoinevitabilmentecontiene.
Bologna CesareParenti
maggio2010 AlbertoParmeggiani
vii
Prefazione alla seconda edizione
Inquestasecondaedizione,oltreacorreggererefusied erroritipograficisegnalati
o danoiriscontrati, abbiamoprincipalmentereso più chiaralaprovadelTeorema
diPoincarésullastabilitàdelleorbiteperiodicheeaggiuntoalcuniesercizisianella
partedialgebralinearecheinquelladiequazionidifferenziali.Abbiamocomunque
volutomantenerel’impiantogeneraledellaprimaedizione.
Illettorepotràtrovareall’indirizzohttp://www.dm.unibo.it/~parmeggi/eventuali
ulterioriosservazioniecorrezioni.
Bologna CesareParenti
febbraio2019 AlbertoParmeggiani
ix
Indice
1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
ParteI AlgebraLineare
2 Diagonalizzabilitàeformenormali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 Autovalori,autovettori, polinomiocaratteristico, molteplicità
algebricaegeometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Complessificazioneerealificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Prodotto internoe basi ortonormali.Mappa trasposta, mappa
aggiuntaeloroproprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Formequadratiche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Trasformazioninormali,ortogonali, unitariee loro proprietà.
DecomposizionepolareeTeoremadiLyapunov . . . . . . . . . . . 40
2.6 Spaziodualeamappaduale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.7 Trasformazioniematricinilpotenti.FormacanonicadiJordan:
Iparte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.8 TeoremadiHamilton-Cayley.FormacanonicadiJordan:IIparte . 63
3 Alcuneapplicazioniall’analisimatriciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1 Funzionidimatricieditrasformazionilineari . . . . . . . . . . . . . 71
3.2 Equazionimatriciali.Crescitadelrisolvente . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3 Introduzionediparametriefibrativettoriali . . . . . . . . . . . . . . 93
4 Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
ParteII EquazioniDifferenziali
5 Equazionidifferenzialiordinarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.1 Preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.2 Dipendenzadaidatiinizialiesueconseguenze . . . . . . . . . . . . 124
xi
xii Indice
5.3 Sistemilineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.4 Soluzioniperiodichedisistemilineari.TeoremadiFloquet. . . . . 153
5.5 Ilmetododellecaratteristiche.EquazionediHamilton-Jacobi . . . 159
5.6 Stabilitàdeipuntidiequilibrio.FunzionediLyapunov . . . . . . . 176
5.7 Stabilitàdelleorbiteperiodiche.MappaeTeoremadiPoincaré . . 189
5.8 Applicazioni del Teorema di Poincaré. Esistenza di orbite
periodiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
6 Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Indiceanalitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227