Algebra lineare ed equazioni differenziali ordinarie

223 Pages·2010·1.32 MB·Italian

by  Cesare Parenti

Alle nostrefamiglie
·
Cesare Parenti Alberto Parmeggiani
Algebra lineare
ed equazioni differenziali
ordinarie
CesareParenti AlbertoParmeggiani
DipartimentodiScienzedell’Informazione DipartimentodiMatematica
UniversitàdiBologna UniversitàdiBologna
ISBN978-88-470-1787-0 e-ISBN978-88-470-1788-7
DOI10.1007/978-88-470-1788-7
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Prefazione
Questolibroèfruttoinpartedellanostraesperienzadidatticaedellanostraesperienza
diricerca.Speriamocolganelsegnochecisiamopreposti:quellodicolmareun“gap”
tralapreparazionedibaseequellapiùavanzata, ediindicareallettoreunpossibile
percorsodiesplorazione didisciplinecosìimportantiqualisonol’algebralinearee
leequazionidifferenzialiordinarie.
DesideriamoringraziaregliamiciecolleghiCosimoSenniedAndreaTommasoli
perl’aiutofondamentalenelprepararelefigurepresentineltestoedipreziosiconsigli
sull’esposizione.
Ringraziamoinfine, anticipatamente, ognilettoreche vorràsegnalarci erroried
imprecisioni,cheuntestocomequestoinevitabilmentecontiene.
Bologna,maggio2010 CesareParenti
AlbertoParmeggiani

Indice
1 Introduzione .................................................... 1
ParteI AlgebraLineare
2 Diagonalizzabilitàeformenormali ................................ 5
2.1 Autovalori,autovettori,polinomiocaratteristico,molteplicità
algebricaegeometrica....................................... 5
2.2 Complessificazioneerealificazione ............................ 15
2.3 Prodottointernoe basiortonormali.Mappa trasposta,mappa
aggiuntaeloroproprietà ..................................... 21
2.4 Formequadratiche .......................................... 29
2.5 Trasformazioni normali,ortogonali,unitariee loroproprietà.
DecomposizionepolareeTeoremadiLyapunov ................. 36
2.6 Spaziodualeamappaduale .................................. 50
2.7 Trasformazioniematricinilpotenti.FormacanonicadiJordan:
Iparte .................................................... 53
2.8 TeoremadiHamilton-Cayley.FormacanonicadiJordan:IIparte... 58
3 Alcuneapplicazioniall’analisimatriciale ........................... 65
3.1 Funzionidimatricieditrasformazionilineari ................... 65
3.2 Equazionimatriciali.Crescitadelrisolvente..................... 77
3.3 Introduzionediparametriefibrativettoriali ..................... 85
4 Esercizi......................................................... 95
ParteII EquazioniDifferenziali
5 Equazionidifferenzialiordinarie .................................. 103
5.1 Preliminari ................................................ 103
5.2 Dipendenzadaidatiinizialiesueconseguenze .................. 112
VIII Indice
5.3 Sistemilineari.............................................. 129
5.4 Soluzioniperiodichedisistemilineari.TeoremadiFloquet ........ 138
5.5 Ilmetododellecaratteristiche.EquazionediHamilton-Jacobi...... 143
5.6 Stabilitàdeipuntidiequilibrio.FunzionediLyapunov............ 159
5.7 Stabilitàdelleorbiteperiodiche.MappaeTeoremadiPoincaré..... 171
5.8 ApplicazionidelTeoremadiPoincaré.Esistenzadiorbite
periodiche ................................................. 186
6 Esercizi......................................................... 203
Indice............................................................. 207