Algebra lineare e geometria analitica

106 Pages·2015·1.59 MB·Italian

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Algebra lineare e geometria analitica
L.Battaia
Vettori, matrici, rette e piani nello spazio
Algebra lineare
e geometria
analitica
Luciano Battaia
16 gennaio 2019
Indice
(cid:74)(cid:74) (cid:73)(cid:73)
(cid:74) (cid:73)
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Premessa
Questa nota contiene una introduzione alla geometria analitica delle rette e dei piani nel
L.Battaia
piano e nello spazio, utilizzando estesamente la teoria delle matrici e il calcolo vettoriale.
I destinatari sono principalmente studenti del triennio terminale del liceo scientifico, indi-
Algebra lineare rizzo sperimentale PNI o Brocca, ma l’introduzione può essere utile anche a chi si appresta
e geometria a affrontare il corso di geometria del primo anno universitario.
analitica Lo scopo di questi appunti è essenzialmente pratico e di riepilogo dei concetti fondamen-
tali: pertanto non sono inserite le dimostrazioni dei risultati via via ottenuti.
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Premessa 2
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1 Richiami sui sistemi lineari in due incognite 6
Algebra lineare 1.1 Equazioni lineari in una o due incognite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
e geometria 1.2 Sistemi di equazioni lineari in due incognite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
analitica 1.3 Il metodo di Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Matrici e operazioni tra matrici 13
2.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Indice
2.2 Operazioni tra matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Determinante di una matrice quadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Calcolo dell’inversa di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
(cid:74)(cid:74) (cid:73)(cid:73)
2.5 Rango di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
(cid:74) (cid:73)
3 Sistemi lineari 27
3.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Risoluzione del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
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3.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Vettori nello spazio ordinario 35
4.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Operazioni lineari tra vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Prodotto scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4 Prodotto vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
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4.5 Prodotto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.6 Parallelismo, perpendicolarità, complanarità . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5 Coordinate cartesiane, vettori e componenti 53
5.1 Coordinate cartesiane di punti nel piano e nello spazio . . . . . . . . . . . . 54
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5.2 Le formule fondamentali della geometria analitica del piano e dello spazio . 56
5.3 Componenti di vettori nel piano e nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Algebra lineare 5.4 Operazioni tra vettori, mediante le componenti . . . . . . . . . . . . . . . . 63
e geometria 5.5 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
analitica 5.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6 Rette nel piano, rette e piani nello spazio 69
6.1 Equazioni, sistemi di equazioni e loro grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.2 Grafici non cartesiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Indice
6.3 La retta nel piano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.4 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
(cid:74)(cid:74) (cid:73)(cid:73) 6.4.1 Condizioni di parallelismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.4.2 Condizione di perpendicolarità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.4.3 Retta per due punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
(cid:74) (cid:73) 6.4.4 Retta per un punto e parallela (o perpendicolare) a una retta data . 82
6.4.5 Distanza di un punto da una retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.5 Intersezioni di rette nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.6 Rette nel piano: esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
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6.7 Piani nello spazio cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.8 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.8.1 Condizioni di parallelismo e perpendicolarità . . . . . . . . . . . . . 93
6.8.2 Piano per tre punti non allineati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.8.3 Piano per un punto e parallelo a un piano dato . . . . . . . . . . . . 94
6.8.4 Distanza di un punto da un piano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
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6.9 Intersezione di piani nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.10 Rette nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.11 Esempi e applicazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.12 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.13 Un esercizio conclusivo risolto e commentato . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
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Algebra lineare
e geometria
analitica
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(cid:74) (cid:73)
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1 Richiami sui sistemi lineari in due
incognite
L.Battaia
Questocapitolohacarattereintroduttivoeservesoloarichiamareiconcettifondamentali
Algebra lineare relativi ai sistemi di equazioni in due incognite, argomento che dovrebbe essere già ben noto
e geometria al lettore.
analitica
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1.1. Equazioni lineari in una o due incognite
La più generale equazione lineare (cioé di primo grado) in un’incognita è del tipo
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ax = b , a (cid:54)= 0.
Essa ammette sempre una e una sola soluzione:
b
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x = .
a
Se si prescinde dalla condizione a (cid:54)= 0, occorre distinguere tre casi nella valutazione delle
Algebra lineare
soluzioni di un’equazione come quella considerata, e precisamente:
e geometria
analitica — a (cid:54)= 0: l’equazione ha, come già detto, solo la soluzione b/a;
— a = 0∧b (cid:54)= 0: l’equazione non ha alcuna soluzione;
— a = 0∧b = 0: l’equazione ammette infinite soluzioni (tutti i numeri reali).
È molto importante tenere conto dell’osservazione contenuta nelle righe precedenti, in
particolare nella risoluzione di equazioni parametriche. Chiariamo il concetto con un esem-
Indice
pio.
Discutere ed eventualmente risolvere l’equazione seguente:
(cid:74)(cid:74) (cid:73)(cid:73)
(a2−1)x = a+1.
(cid:74) (cid:73) Tenendo conto di quanto detto si conclude che:
— se a (cid:54)= ±1, l’equazione ha la sola soluzione x = (a+1)/(a2−1) = 1/(a−1);
— se a = −1, l’equazione ha come soluzioni tutti i numeri reali;
Pag. 7di106 — se a = 1, l’equazione non ha soluzioni.
La più generale equazione lineare in due incognite è del tipo
ax+by = c , (a,b) (cid:54)= (0,0).
La condizione sui parametri a e b si può leggere dicendo che essi non sono mai contempora-
neamente nulli. Un’equazione come questa ha sempre infinite soluzioni: si tratta di tutte le
coppie che si ottengono attribuendo ad una della due incognite un valore arbitrario e rica-
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vando l’altra dall’equazione in una incognita rimanente (purchè il coefficiente di quest’altra
incognita sia diverso da zero).
Per esempio l’equazione
2x+3y = 1
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ha come soluzioni le coppie (0,1/3), (1/2,0), (−1,1), ecc.
L’equazione, pensata in due incognite, con coefficiente della y uguale a 0,
Algebra lineare
3x = 1, ovvero 3x+0y = 1,
e geometria
analitica
ha come soluzioni le coppie (1/3,1), (1/3,2), (1/3,−5), ecc.
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(cid:74)(cid:74) (cid:73)(cid:73)
(cid:74) (cid:73)
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1.2. Sistemi di equazioni lineari in due incognite
Consideriamo ora un sistema di due equazioni lineari in due incognite:
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®
ax+by = p
.
cx+dy = q
Si dice soluzione del sistema una coppia di reali che sia soluzione comune della prima e
della seconda equazione. Un sistema come quello proposto può avere:
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— una sola soluzione (e allora si dice determinato);
— infinite soluzioni (e allora si dice indeterminato);
Algebra lineare — nessuna soluzione (e allora si dice incompatibile, anche se qualcuno usa il termine
e geometria impossibile, locuzione che mi pare impropria).
analitica I sistemi che hanno soluzioni (una o infinite) si dicono genericamente compatibili.
Consideriamo alcuni esempi.
®
2x+y = 1
— : il sistema è compatibile e determinato, e ha come unica soluzione la
x−y = 2
coppia (1,−1).
Indice
®
x−2y = 1
— : il sistema è compatibile e indeterminato, e ha come soluzioni tutte
2x−4y = 2
(cid:74)(cid:74) (cid:73)(cid:73) le coppie (2t+1,t)∀t ∈ R.
®
x−2y = 1
— : il sistema è incompatibile.
2x−4y = 3
(cid:74) (cid:73)
La risoluzione di un sistema lineare di due equazioni in due incognite può avvenire in
maniera elementare usando il cosiddetto metodo di sostituzione: si ricava un’incognita in
una delle due equazioni e la si sostituisce nell’altra, ottenendo un’equazione in una sola
Pag. 9di106 incognita, facilmente risolubile; a questo punto il gioco è fatto. Per completezza riporto i
calcoli necessari a risolvere il primo dei sistemi appena visti.
® ® ® ® ®
2x+y = 1 y = 1−2x y = 1−2x y = 1−2x y = −1
, , , ,
x−y = 2 x−y = 2 x−(1−2x) = 2 x = 1 x = 1
1.3. Il metodo di Cramer
Un metodo alternativo di risoluzione dei sistemi, poco pratico nel caso in esame, ma di
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enorme importanza per quanto segue, è il metodo di Cramer.
Per semplificare il discorso conviene introdurre alcuni nuovi concetti.
Definizione 1.1 (Matrice quadrata di ordine 2). Una tabella di numeri reali con due righe
e due colonne, indicata con uno dei simboli seguenti:
L.Battaia
Ç å ñ ô
a b a b a b
, , ,
c d c d c d
Algebra lineare
e geometria si chiama una matrice quadrata di ordine 2, o matrice 2×2.
analitica
Avremo bisogno di considerare tabelle con più di due righe e più di due colonne e ci sarà
utileavereunsimbolounicoperquestetabelle: disolitosiusaunaletteracorsivamaiuscola,
cioè si scrive (usando il simbolo con le parentesi tonde, come si farà sempre in seguito):
Indice Ç a b å
A = .
c d
(cid:74)(cid:74) (cid:73)(cid:73)
Definizione 1.2 (Determinante di una matrice 2×2). Data la matrice
Ç å
a b
A = ,
(cid:74) (cid:73)
c d
si chiama determinante di A, il numero ad−bc, indicato con uno dei seguenti simboli:
Pag. 10di106 (cid:12) (cid:12)
(cid:12) a b (cid:12)
|A| = det(A) = (cid:12) (cid:12) = ad−bc.
(cid:12) c d (cid:12)
(cid:12) (cid:12)