Álgebra Linear II

143 Pages·2010·4.293 MB·Portuguese

by  Hernando Bedoya, Ricardo Camelier

(cid:51)
(cid:77)(cid:243)(cid:100)(cid:117)(cid:108)(cid:111)(cid:32) (cid:86)(cid:111)(cid:108)(cid:117)(cid:109)(cid:101) (cid:50)
(cid:50)(cid:170)(cid:32)(cid:101)(cid:100)(cid:105)(cid:231)(cid:227)(cid:111)
(cid:72)(cid:101)(cid:114)(cid:110)(cid:97)(cid:110)(cid:100)(cid:111)(cid:32)(cid:66)(cid:101)(cid:100)(cid:111)(cid:121)(cid:97)
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Álgebra Linear II
Volume 2- Módulo 3 Hernando Bedoya
2ª edição
Ricardo Camelier
Apoio:
Fundação Cecierj / Consórcio Cederj
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira – Rio de Janeiro, RJ – CEP 20943-001
Tel.: [phone] Fax: [phone]
Presidente
Masako Oya Masuda
Vice-presidente
Mirian Crapez
Coordenação do Curso de Matemática
UFF - Regina Moreth
UNIRIO - Luiz Pedro San Gil Jutuca
Material Didático
Departamento de Produção
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO
Hernando Bedoya
EDITORA ILUSTRAÇÃO
Ricardo Camelier
Tereza Queiroz Fabiana Rocha
COORDENAÇÃO DE DESENVOLVIMENTO Fábio Muniz
COORDENAÇÃO EDITORIAL
INSTRUCIONAL
Jane Castellani CAPA
Cristine Costa Barreto
Sami Souza
COORDENAÇÃO DE
DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL
PRODUÇÃO PRODUÇÃO GRÁFICA
E REVISÃO
Jorge Moura Oséias Ferraz
Alexandre Rodrigues Alves
Patricia Seabra
Janaina Silva PROGRAMAÇÃO VISUAL
Marcelo Freitas
COORDENAÇÃO DE LINGUAGEM
Maria Angélica Alves
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Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio
eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Fundação.
B412a
Bedoya, Hernando.
Álgebra linear II. v.2 / Hernando Bedoya. – 2.ed. – Rio de Janeiro:
Fundação CECIERJ, 2010.
140p.; 21 x 29,7 cm.
ISBN: 85-7648-055-7
1. Operadores ortogonais. 2. Projeções ortogonais. 3. Matrizes
simétricas. 4. Teorema Espectral. 5. Cônicas. 6. Quádricas. I. Camelier,
Ricardo. II. Título.
CDD: 512.5
2010/1
Referências Bibliográfi cas e catalogação na fonte, de acordo com as normas da ABNT.
Governo do Estado do Rio de Janeiro
Governador
Sérgio Cabral Filho
Secretário de Estado de Ciência e Tecnologia
Alexandre Cardoso
Universidades Consorciadas
UENF - UNIVERSIDADE ESTADUAL DO UFRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL DO
NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIRO RIO DE JANEIRO
Reitor: Almy Junior Cordeiro de Carvalho Reitor: Aloísio Teixeira
UERJ - UNIVERSIDADE DO ESTADO DO UFRRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL
RIO DE JANEIRO DO RIO DE JANEIRO
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UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE UNIRIO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO
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Reitora: Malvina Tania Tuttman

Álgebra Linear II
Volume 2 - Módulo 3
SUMÁRIO Aula 19 – Operadores ortogonais ______________________________________7
Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 20 – Projeções ortogonais – 1a Parte ______________________________ 11
Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 21 – Projeções ortogonais – 2a Parte ______________________________ 19
Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 22 – Matrizes simétricas _______________________________________ 27
Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 23 – O Teorema Espectral ______________________________________ 35
Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 24 – Operadores auto-adjuntos __________________________________ 43
Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 25 – Formas bilineares ________________________________________ 51
Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 26 – Formas quadráticas _______________________________________ 59
Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 27 – Cônicas ________________________________________________ 67
Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 28 – Quádricas ______________________________________________ 81
Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 29 – Autovalores complexos ____________________________________ 93
Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 30 – Exercícios resolvidos – 3ª Parte ______________________________ 99
Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 31 – Exercícios resolvidos – 4ª Parte _____________________________ 113
Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 32 – Um caso prático ________________________________________ 127
Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Soluções de exercícios selecionados __________________________ 135
.
Operadores ortogonais
MO´DULO3 – AULA19
Aula 19 – Operadores ortogonais
Objetivos
• Compreender o conceito e as propriedades apresentadas sobre opera-
dores ortogonais.
• Aplicar os conceitos apresentados em exemplos importantes.
Pr´e-requisitos: Aulas10a14,
Vocˆe deve se lembrar de que um operador T : Rn → Rn ´e dito ortogonal 17e18.
se existe uma base ortonormal α de Rn tal que a matriz de T na base α ´e
uma matriz ortogonal, isto ´e, se a matriz [T] ´e ortogonal.
α
Veremos que os operadores ortogonais esta˜o bem definidos no sentido
de que o fato de ser um operador ortogonal na˜o depende da base ortonormal
escolhida, ou seja, se a matriz [T] , numa certa base ortonormal α de Rn, for
α
ortogonal, enta˜o a matriz [T] tamb´em sera´ ortogonal para qualquer outra
β
base ortonormal β de Rn.
Na verdade, temos o seguinte resultado:
Teorema 1
Sejam T : Rn → Rn um operador ortogonal e α e β duas bases orto-
normais de Rn. Se a matriz [T] ´e ortogonal, enta˜o a matriz [T] tamb´em
α β
ser´a ortogonal.
Demonstra¸c˜ao:
O teorema sobre mudan¸ca de base para operadores lineares, visto no
curso de A´lgebra Linear I, nos garante que
[T] = P−1[T] P,
β α
onde P ´e a matriz mudanc¸a de base entre as bases ortonormais α e β. Como
α e β s˜ao duas bases ortonormaisde Rn, temos que P ´euma matriz ortogonal
e, pelo Teorema 1 da Aula 10, segue-se que
P−1 = Pt,
t
onde P ´e a transposta da matriz P. Assim,
t
[T] = P [T] P.
β α
Como [T] ´e uma matriz ortogonal por hipo´tese e como o produto de
α
matrizes ortogonais ´e tamb´em uma matriz ortogonal, conclu´ımos que [T]
β
tamb´em sera´ uma matriz ortogonal. (cid:1)
7
CEDERJ
Operadores ortogonais
Oresultado anteriorsimplifica umproblemacrucial: paradecidirmos se
um dado operador linear T : Rn → Rn´e ortogonal, basta considerar qualquer
base ortonormal α de Rn e verificar se a matriz [T] ´e uma matriz ortogonal.
α
Exemplo 1
Verifique que o operador linear T : R3 → R3
T(x,y,z) = (xcosθ −ysenθ, x senθ+ycosθ, z),
com θ ∈ [0,2π), ´e um operador ortogonal.
Soluc¸˜ao
De fato, escolhendo a base canoˆnica {e ,e ,e } de R3, dada por
1 2 3
e = (1,0,0), e = (0,1,0) e e = (0,0,1),
1 2 3
obtemos
T(e ) = (cosθ,senθ,0)
1
T(e ) = (−senθ cosθ,0)
2
T(e ) = (0,0,1).
3
Portanto, a matriz que representa T nesta base ´e dada por
 
cosθ −senθ 0
 
A =  senθ cosθ 0 .
0 0 1
Sabemos que A ´e uma matriz ortogonal de R3. Mais ainda, A ´e uma
rotac¸˜ao de θ radianos em torno do eixo-z (Exemplo 1 da Aula 17). Assim, o
operador linear T ´e um operador ortogonal.
O pro´ximo teorema segue imediatamente do Teorema 2 da Aula 10.
Teorema 2
Seja T : Rn → Rn um operador ortogonal. Enta˜o as seguintes proprie-
dades s˜ao va´lidas:
1. T transforma bases ortonormais em bases ortonormais, ou seja, se
{v ,v ,...,v }´eumabaseortonormaldeRn,ent˜ao{Tv ,Tv ,...,Tv }
1 2 n 1 2 n
tamb´em ´e uma base ortonormal de Rn.
2. T preserva o produto interno, ou seja, para todo u,v ∈ Rn vale que
(cid:3)Tu,Tv(cid:4) = (cid:3)u,v(cid:4).
3. T preserva a norma, ou seja, para todo v ∈ Rn vale que
||Tv|| = ||v||.
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