Algebra Linear e Geometria Analıtica - ALGAN matrizes

41 Pages·2009·0.48 MB·Portuguese

A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica - ALGAN
matrizes
Ana C.M.Castro, PhD
amc(cid:13)a isep.ipp.pt
M1 2
Definic¸a˜odematrizenotac¸a˜o.......................................................................... 3
Algunstiposdematrizes.............................................................................. 4
Algunstiposdematrizes(cont.) ........................................................................ 5
Algunstiposdematrizes(cont.) ........................................................................ 6
Algunstiposdematrizes(cont.) ........................................................................ 7
Comparac¸a˜odematrizes ............................................................................. 8
Determinantedeumamatriz........................................................................... 9
TeoremadeLaplace................................................................................ 10
Exemplos ........................................................................................ 11
M2 12
Propriedadesdosdeterminantes ...................................................................... 13
Propriedadesdosdeterminantes(cont.)................................................................. 14
Propriedadesdosdeterminantes(cont.)................................................................. 15
Propriedadesdosdeterminantes(cont.)................................................................. 16
Exemplos ........................................................................................ 17
M3 18
Operac¸o˜eselementaressobrematrizes................................................................. 19
Condensac¸a˜odeumamatriz ......................................................................... 20
Ome´tododecondensac¸a˜o .......................................................................... 21
Exemplo ......................................................................................... 22
Caracter´ısticadeumamatriz ......................................................................... 23
M4 24
Adic¸a˜odematrizes................................................................................. 25
Multiplicac¸a˜odeumescalarporumamatriz.............................................................. 26
Multiplicac¸a˜odematrizes ............................................................................ 27
Exemplo ......................................................................................... 28
Multiplicac¸a˜odematrizes-propriedades................................................................ 29
Propriedades(cont.)................................................................................ 30
Propriedades(cont.)................................................................................ 31
Exemplo ......................................................................................... 32
M5 33
Matriztransposta,sime´tricaenormal................................................................... 34
Matrizinversa ..................................................................................... 35
Propriedadesdamatrizinversa ....................................................................... 36
Atenc¸a˜o... ........................................................................................ 37
1
Ca´lculodamatrizinversa ............................................................................ 38
Ca´lculodamatrizinversa(cont.)....................................................................... 39
Ca´lculodamatrizinversa(cont.)....................................................................... 40
Exemplos ........................................................................................ 41
M6 42
Exemplo ......................................................................................... 43
2
M1 slide 2
Definic¸a˜odematrizenotac¸a˜o
Chama-sematriza` entidadematema´ticaquerepresentaumquadrodeelementosdispostosemmlinhasencolunas,
contendo,portanto,(m×n)elementos
notac¸a˜oquevamosutilizar:
a11 a12 ··· a1n
 a21 a22 ··· a2n 
A(m,n) = ... ... ... ... 
 
 am1 am2 ··· amn 
os´ındicesdoelementoaij indicam,respectivamente,alinhaiecolunajondeesta´ posicionadoesseelemento
LATEX–slide3
Algunstiposdematrizes
(cid:4) matrizlinha:e´ umamatrizdotipo(1×n)
A= a a ··· a
11 12 1n
(cid:2) (cid:3)
(cid:4) matrizcoluna:e´ umamatrizdotipo(m×1)
a
11
 a21 
A=
.
.
 . 
 
 am1 
 
LATEX–slide4
Algunstiposdematrizes(cont.)
(cid:4) matrizrectangular: e´ umamatrizdotipo(m×n)comm6=n
a a ··· a
11 12 1n
 a21 a22 ··· a2n 
A=
 ... ... ... ... 
 
 am1 am2 ··· amn 
 
(cid:4) matrizquadrada: e´ umamatrizdotipon×n
a a ··· a
11 12 1n
 a21 a22 ··· a2n 
A=
 ... ... ... ... 
 
 an1 an2 ··· ann 
 
(cid:4) matriznulae´ umamatrizcujoselementossa˜otodosnulos
LATEX–slide5
3
Algunstiposdematrizes(cont.)
(cid:4) matriztriangularsuperior: e´ umamatrizquadradacujoselementossituadosabaixodadiagonalprincipalsa˜otodos
nulos.
a a ··· a
11 12 1n
 0 a22 ··· a2n 
A=
 ... ... ... ... 
 
 0 0 ··· ann 
 
(cid:4) matriztriangularinferior: e´ umamatrizquadradacujoselementossituadosacimadadiagonalprincipalsa˜otodos
nulos
a 0 ··· 0
11
 a21 a22 ··· 0 
A=
 ... ... ... ... 
 
 an1 an2 ··· ann 
 
LATEX–slide6
Algunstiposdematrizes(cont.)
(cid:4) matrizdiagonal:e´ umamatrizquadradacujoselementossituadosacimaeabaixodadiagonalprincipalsa˜otodos
nulos
a 0 ··· 0
11
 0 a22 ··· 0 
A=
 ... ... ... ... 
 
 0 0 ··· ann 
 
(cid:4) matrizescalar: e´ umamatrizdiagonalcujoselementos(dadiagonal)sa˜otodosiguais
k 0 ··· 0
 0 k ··· 0 
A=
 ... ... ... ... 
 
 0 0 ··· k 
 
(cid:4) matrizidentidade(ouunidade): e´ umamatrizescalarcomk =1
1 0 ··· 0
 0 1 ··· 0 
I=
 ... ... ... ... 
 
 0 0 ··· 1 
 
LATEX–slide7
4
Comparac¸a˜odematrizes
(cid:4) Duasmatrizescomomesmonu´merodelinhaseomesmonu´merodecolunasdizem-sesobrepon´ıveis
(cid:4) UmelementodeumamatrizAdiz-sehomo´logodeumelementodeumamatrizBseambosestiveremnamesma
posic¸a˜o(linhaecoluna)dentrodamatriza` qualpertemcem
(cid:4) Duasmatrizessa˜oiguaisseforemsobrepon´ıveiseseambastiveremtodososelementoshomo´logosiguais
1 0 2 0 2 0 2 7
A= 0 1 3 4 B= 3 0 0 4
   
4 2 1 9 4 6 1 9
   
A B
Asmatrizes (3×4)e (3×4)sa˜osobrepon´ıveis,masna˜osa˜oiguais
a =0
12
b =2
12
a12eb12sa˜ohomo´logos
LATEX–slide8
Determinantedeumamatriz
Chama-sedeterminantedamatrizquadradaAdeordemnaonu´merorepresentadopor:
a a ··· a
11 12 1n
(cid:12) a21 a22 ··· a2n (cid:12)
∆(A)=(cid:12)(cid:12)(cid:12) ... ... ... ... (cid:12)(cid:12)(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)(cid:12) an1 an2 ··· ann (cid:12)(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
a a
Determinantede2aordem: 11 12
(cid:12)(cid:12) a21 a22 (cid:12)(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
a a a
11 12 13
Determinantede3aordem: (cid:12)(cid:12) a21 a22 a23 (cid:12)(cid:12)
(cid:12) a31 a32 a33 (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)(cid:12) (cid:12)(cid:12) LATEX–slide9
TeoremadeLaplace
Chama-semenorcomplementardeumelementoaij deumdeterminantedeumamatrizaodeterminantequeseobte´m
dessamatrizeliminandoalinhaieacolunaj
notac¸a˜o:Mij
Chama-secomplementoalge´bricodeumelementoaij deumdeterminantedeumamatrizaoprodutodomenor
complementardesseelementopor(−1)i+j
notac¸a˜o:Aij =(−1)i+jMij
A
TeoremadeLaplace: Ovalordeumdeterminantedeumamatriz e´ iguala` somadosprodutosdecadaumdos
elementosdeumaqualquerfila(linhaoucoluna)pelorespectivocomplementoalge´brico,istoe´:
n
∆(A)= a A
ij ij
Xi=1
j=1
LATEX–slide10
5
Exemplos
1 −1
∆(A)= =5
2 3
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
2 1 −1
∆(B)=(cid:12) −1 5 −4 (cid:12)=16
(cid:12)(cid:12) 3 −1 2 (cid:12)(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)(cid:12) (cid:12)(cid:12) LATEX–slide11
M2 slide 12
Propriedadesdosdeterminantes
(cid:4) Ovalordeumdeterminantedeumamatrizna˜osealteraquandosetrocamordenadamenteassuaslinhaspelas
suascolunas
1 3 1 2
=
2 4 3 4
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:4) Odeterminantedeumamatrize´ nuloseamatrizpossuiumafila(linhaoucoluna)nula
1 0
=1.0−0.2=0
2 0
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:4) Trocandoentresiduasfilas(linhasoucolunas)damatriz,osrespectivosdeterminantessera˜osime´tricos
1 3 2 4
=−
2 4 1 3
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
LATEX–slide13
Propriedadesdosdeterminantes(cont.)
(cid:4) Semultiplicarmosumafila(linhaoucoluna)deumamatrizporumaconstantekna˜onula,odeterminanteresultante
temcomovaloroprodutododeterminanteinicialporessenu´mero
1 2 3 3 6 9 1 2 3
1
1 1 1 = 1 1 1 =2 1 1 1
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) 2 2 0 (cid:12) 3(cid:12) 2 2 0 (cid:12) (cid:12) 1 1 0 (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:4) Odeterminantedeumamatrize´ nuloseamatrizpossuiduasoumaisfilas(linhasoucolunas)iguaisouproporcionais
1 2 7
2 4 8 =0
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) 3 6 9 (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
LATEX–slide14
6
Propriedadesdosdeterminantes(cont.)
(cid:4) Odeterminantedeumamatriztriangular(superiorouinferior)e´ igualaoprodutodoselementosdadiagonalprincipal
1 0 0 1 6 5
∆=(cid:12) 4 2 0 (cid:12)=1×2×3=6 ; ∆=(cid:12) 0 2 4 (cid:12)=1×2×3=6
(cid:12) 5 6 3 (cid:12) (cid:12) 0 0 3 (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:4) Umdeterminantedeordennpodeserdecompostonasomaalge´bricadendeterminantes,ondeapenassealtera
umafilaesemanteˆminalteradasasrestantes
(1+3+5) 4 1 4 3 4 5 4
= + +
(1+2+3) 6 1 6 2 6 3 6
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
LATEX–slide15
Propriedadesdosdeterminantes(cont.)
(cid:4) Umdeterminantena˜osealteraquandosesomamaoselementosdeumafila(linhaoucoluna)damatrizos
elementoscorrespondentesdeoutrafilaparalelapreviamentemultiplicadosporumaconstantena˜onula
1 2 3 9 12 15
(cid:12) 4 5 6 (cid:12)=(cid:12) 4 5 6 (cid:12)
(cid:12) 7 8 9 (cid:12) (cid:12) 7 8 9 (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
LATEX–slide16
Exemplos
a b c d
(cid:12)(cid:12) a −b −c −d (cid:12)(cid:12)=−8abcd
(cid:12) a b −c −d (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) a b c −d (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
a 1 1 1
(cid:12)(cid:12)(cid:12) bc 01 10 11 (cid:12)(cid:12)(cid:12)=2a−b−c−d
(cid:12)(cid:12) d 1 1 0 (cid:12)(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
1 1 1 ··· 1
(cid:12) 1 2 1 ··· 1 (cid:12)
(cid:12)(cid:12) 1 1 3 ··· 1 (cid:12)(cid:12)=(n−1)!
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) .. .. .. .. .. (cid:12)
(cid:12) . . . . . (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)(cid:12) (cid:12)(cid:12) LATEX–slide17
7
M3 slide 18
Operac¸o˜eselementaressobrematrizes
Operac¸o˜eselementaressobrematrizes
(cid:4) permutadefilasparalelas(linhasoucolunas)
(cid:4) multiplicac¸a˜odeumafilaporumescalarna˜onulo
(cid:4) substituic¸a˜odeumafilaporaquelaqueseobte´mdaadic¸a˜odoselementoshomo´logosdeumafilaparalela
multiplicadosporumqualquerescalarna˜onulo
A B
Duasmatrizes e dizem-seequivalentesseumadelase´ obtidaapartirdaoutraapo´sseefectuarumnu´merofinitode
operac¸o˜eselementares
A≈B
LATEX–slide19
Condensac¸a˜odeumamatriz
Chama-secondensac¸a˜odeumamatrizaoprocessoqueconsisteemencontrarumamatrizequivalente,triangularsuperior,
deelementosdiagonaisna˜onulosedamaiorordemposs´ıvel,poraplicac¸a˜odasoperac¸o˜eselementaressobrematrizes
Chama-sepivot(ouelementoredutor)deumamatrizatodooelementona˜onulolocalizadonasuadiagonalprincipal
Consistenaaplicac¸a˜odeduaste´cnicas:
(cid:4) pivotagem,queconsistenaobtenc¸a˜odepivots(elementona˜onulolocalizadonadiagonalprincipal)atrave´sda
aplicac¸a˜odeoperac¸o˜eselementaressobrematrizes
(cid:4) anulamento,queconsisteemanulartodososelementosabaixodecadapivot
LATEX–slide20
Ome´tododecondensac¸a˜o
Ome´todopressupo˜equeasduaste´cnicassa˜ooperadasordenadamentedaseguinteforma:
(cid:4) Considera-seamatrizinicialAeaplica-seate´cnicadepivotagemparaencontraro1opivot,istoe´,aquelequesera´localizadona
1alinhaena1acolunadamatriz.Deseguidaaplica-seate´cnicadeanulamentoparaanulartodososelementoslocalizadosabaixo
do1opivot.Chame-seBa`matrizagoraobtida.
(cid:4) Posteriormente,va˜otrabalhar-setodososelementosdamatrizBa`excepc¸a˜odaqueleslocalizadosna1olinhaena1ocoluna.
Assim,aplica-seate´cnicadepivotagemparaencontraro2opivotdamatriz,istoe´,aquelequesera´localizadona2olinhaena2o
colunadamatriz.Deseguidaaplica-seate´cnicadeanulamentoondeseva˜oanulartodososelementoslocalizadosabaixodo2o
pivot.Chame-seCa`matrizagoraobtida.
(cid:4) Asetapasseguintesseguemomesmoracioc´ınioate´que,quandoparaumdeterminadopivotja´na˜oexistiremelementos
localizadosabaixodeleparaanular,oprocessotermina
LATEX–slide21
Exemplo
0 1 2 3 1 0 3 5
A= 2 1 −1 0 ≈...≈ 0 1 −7 −10 
1 0 3 5 0 0 9 13
   
LATEX–slide22
8
Caracter´ısticadeumamatriz
Acaracter´ısticadeumamatrizcorrespondeaonu´meroma´ximodeelementosna˜onulosexistentesdadiagonalprincipal,
apo´sefectuadaacondensac¸a˜odamatriz
Exemplo:
1 a 0 1 a 0
A= 1 2 1 ≈ 0 2−a 1 
0 0 −1 0 0 −1
   
Car(A)=3sea=6 2;Car(A)=2sea=2
1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0
B= −1 2 a 1 ≈ 0 4 a+3 1 ≈ 0 4 a+3 1 
1 6 6+2a 1 0 4 3+2a 1 0 0 a 0
     
Car(B)=3sea=6 0;Car(B)=2sea=0
1 1 1 1 1 1 1 1
C= 11 a1 a1 11 ≈ 00 a−0 1 a−0 1 00 
 1 1 1 a   0 0 0 a−1 
   
Car(C) = 3 se a 6= 1 ; Car(C) = 1 se a = 1
LATEX–slide23
M4 slide 24
Adic¸a˜odematrizes
A B C
Aadic¸a˜odeduasmatrizessobrepon´ıveis e e´ umamatriz comamesmadimensa˜odasanteriorescujoselementos
A B
sa˜oobtidosporsomaalge´bricadoselementoshomo´logosde e ,istoe´:
c =a +bij
ij ij
exemplo:
1 0 2 0 2 0 2 7 3 0 4 7
A= 0 1 3 4  B= 3 0 0 4  A+B=C= 3 1 3 8 
4 2 1 9 4 6 1 9 8 8 2 18
     
Propriedades:
(cid:4) Comutatividade: A+B=B+A
(cid:4) Associatividade: (A+B)+C=A+(B+C)
(cid:4) Existeˆnciadeelementoneutro(matriznula): A+0=0+A=A
(cid:4) Existeˆnciadeelementooposto:A+(−A)=(−A)+(A)=0
LATEX–slide25
9
Multiplicac¸a˜odeumescalarporumamatriz
Amultiplicac¸a˜odeumescalarκ∈RporumamatrizAe´ umaoutramatrizBtalque:
b =κa
ij ij
exemplo:
1 0 2 0 2 0 4 0
2A=2 0 1 3 4 = 0 2 6 8 
4 2 1 9 8 4 2 18
   
Propriedades:
(cid:4) (κ κ )A=κ (κ A)
1 2 1 2
(cid:4) (κ +κ )A=(κ A)+(κ A)
1 2 1 2
(cid:4) κ(A+B)=(κA+κB)
(cid:4) 1A=A
LATEX–slide26
Multiplicac¸a˜odematrizes
Oprodutodeduasmatrizesso´ e´ poss´ıvelseelasforemencadeadas,istoe´,onu´merodecolunasda1aforigualaonu´mero
delinhasda2a
A B C
Amultiplicac¸a˜odeduasmatrizes (m×n)e (n×p)e´ umamatriz (m×p)talque:
cij = nk=1aikbkj, (i=1,2,...,m;j =1,2,...,p)
P
a11 a12 ··· a1n b11 b12 ··· b1p c11 c12 ··· c1p
 a21 a22 ··· a2n   b21 b22 ··· b2p   c21 c22 ··· c2p 
 am...1 am...2 ·.·..· am...n × bn...1 bn...2 ·.·..· bn...p = cn...1 cn...2 ·.·..· cn...p 
LATEX–slide27
Exemplo
1 2 0 1 6
A= B=
Sejam (cid:20) 3 4 (cid:21) e (cid:20) 7 −1 5 (cid:21)
A B
amultiplicac¸a˜ode por sera´ amatriz
14 −1 16
C=
(cid:20) 28 −1 38 (cid:21)
LATEX–slide28
10