Álgebra Lineal y sus Aplicaciones

101 Pages·2015·0.89 MB·Spanish

by  David C. Lay

1
Ecuaciones lineales
en álgebra lineal
WEB
EJEMPLO INTRODUCTORIO
Modelos lineales en economía
e ingeniería
A fi nales del verano de 1949 Wassily Leontief, profesor
de Harvard, introdujo cuidadosamente la última de sus
tarjetas perforadas en la computadora de la universidad,
la Mark II. Las tarjetas contenían información acerca de la
economía de Estados Unidos, y representaban un resumen
de más de 250,000 piezas de información producidas
por la ofi cina encargada de las estadísticas laborales en
Estados Unidos después de dos años de trabajo intenso.
Leontief había dividido la economía de Estados Unidos
Leontief, quien recibió el Premio Nobel de Economía
en 500 “sectores”, tales como la industria del carbón, la
en 1973, abrió la puerta a una nueva era en el modelado
industria automotriz, las comunicaciones, etc. Para cada
matemático de la economía. Sus esfuerzos desplegados
sector, escribió una ecuación lineal que describía la forma
en Harvard en 1949 marcaron uno de los primeros usos
en que dicho sector distribuía sus salidas hacia otros signifi cativos de las computadoras para analizar lo que
sectores de la economía. Debido a que la Mark II, una entonces era un modelo matemático a gran escala.
de las computadoras más grandes de la época, no podía Desde entonces, los investigadores de muchos otros
manejar el sistema resultante de 500 ecuaciones y 500 campos han empleado computadoras para analizar
incógnitas, Leontief había condensado el problema en un modelos matemáticos. Debido a las masivas cantidades
sistema de 42 ecuaciones y 42 incógnitas. de datos involucrados, por lo general, los modelos son
La programación de la computadora Mark II para lineales; esto es, se describen mediante sistemas de
las 42 ecuaciones de Leontief requirió varios meses de ecuaciones lineales.
esfuerzo, y él estaba ansioso por ver cuánto tiempo le La importancia del álgebra lineal para las
tomaría a la máquina resolver el problema. La Mark II aplicaciones se ha elevado en proporción directa al
zumbó y destelló durante 56 horas hasta que fi nalmente aumento del poder de las computadoras, cada nueva
produjo una solución. La naturaleza de esta solución se generación de equipo y programas de cómputo dispara
analizará en las secciones 1.6 y 2.6. una demanda de capacidades aún mayores.
1
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2 Capítulo 1 Ecuaciones lineales en álgebra lineal
Por lo tanto, la ciencia de las computadoras está mediante explosiones con pistolas de aire. Las
sólidamente ligada al álgebra lineal mediante el ondas rebotan en las rocas que hay bajo la superfi cie
crecimiento explosivo de los procesamientos paralelos de marina y se miden empleando geófonos conectados a
datos y los cálculos a gran escala. extensos cables instalados debajo del barco.
Los científi cos e ingenieros trabajan ahora en
• Programación lineal. En la actualidad, muchas
problemas mucho más complejos de lo que creían
decisiones administrativas importantes se toman con
posible hace unas cuantas décadas. En la actualidad, el
base en modelos de programación lineal que utilizan
álgebra lineal tiene para los estudiantes universitarios un
cientos de variables. Por ejemplo, la industria de
mayor valor potencial en muchos campos científi cos y
las aerolíneas emplea programas lineales para
de negocios que cualquier otra materia de matemáticas.
crear los itinerarios de las tripulaciones de vuelo,
El material incluido en este texto proporciona la base
monitorear las ubicaciones de los aviones, o planear
para un trabajo posterior en muchas áreas interesantes.
los diversos programas de servicios de apoyo como
A continuación se presentan unas cuantas posibilidades;
mantenimiento y operaciones en terminal.
posteriormente se describirán otras.
• Redes eléctricas. Los ingenieros utilizan programas
• Exploración petrolera. Cuando un barco busca
de cómputo de simulación para diseñar circuitos
depósitos submarinos de petróleo, diariamente
eléctricos y microchips que incluyen millones de
sus computadoras resuelven miles de sistemas de
transistores. Estos programas utilizan técnicas
ecuaciones lineales por separado. La información
de álgebra lineal y sistemas de ecuaciones lineales.
sísmica para elaborar las ecuaciones se obtiene
a partir de ondas de choque submarinas creadas
L
os sistemas de ecuaciones lineales se encuentran en el corazón del álgebra lineal,
y este capítulo los utiliza para introducir algunos de los conceptos centrales del
álgebra lineal de una manera simple y concreta. En las secciones 1.1 y 1.2 se
presenta un método sistemático para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Este algo-
ritmo se utilizará para realizar cálculos a lo largo del texto. En las secciones 1.3 y 1.4 se
muestra cómo un sistema de ecuaciones lineales es equivalente a una ecuación vectorial
y a una ecuación matricial. Esta equivalencia reducirá problemas que involucran combi-
naciones lineales de vectores a preguntas sobre los sistemas de ecuaciones lineales. Los
conceptos fundamentales de generación, independencia lineal y transformaciones linea-
les, que se estudian en la segunda mitad del capítulo, desempeñarán un papel esencial a
lo largo del texto mientras se explora la belleza y el poder del álgebra lineal.
1.1
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Una ecuación lineal en las variables x , . . . , x es una ecuación que puede escribirse
1 n
de la forma
a x +a x +···+a x =b (1)
1 1 2 2 n n
donde b y los coefi cientes a , . . . , a son números reales o complejos, por lo general co-
1 n
nocidos. El subíndice n puede ser cualquier entero positivo. En los ejemplos y ejercicios
del libro, n está normalmente entre 2 y 5. En los problemas de la vida real, n puede ser
igual a 50, 5000, o incluso a valores más grandes.
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1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 3
Las ecuaciones
√
4x1−5x2+2=x1 y x2=2 6−x1 +x3
son ambas lineales porque pueden reordenarse algebraicamente como en la ecuación
(1):
√
3x1−5x2=−2 y 2x1+x2−x3=2 6
Las ecuaciones
√
4x1−5x2=x1x2 y x2=2 x1−6
√
no son lineales debido a la presencia de x x en la primera ecuación y x en la se-
1 2 1
gunda.
Un sistema de ecuaciones lineales (o sistema lineal) es una colección de una o
más ecuaciones lineales que involucran las mismas variables —digamos, x , . . . , x . Un
1 n
ejemplo es
2x −x + 1.5x = 8
1 2 3
(2)
x − 4x =−7
1 3
Una solución del sistema es una lista (s , s , . . . , s ) de números que hacen de cada ecua-
1 2 n
ción un enunciado verdadero cuando los valores s , . . . , s sustituyen, respectivamente, a
1 n
x , . . . , x . Por ejemplo, (5, 6.5, 3) es una solución del sistema (2) porque, cuando estos
1 n
valores sustituyen en (2) a x , x y x , respectivamente, las ecuaciones se simplifi can a
1 2 3
8 = 8 y −7 = −7.
El conjunto de todas las soluciones posibles se llama conjunto solución del sistema
lineal. Se dice que dos sistemas lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto
solución. Esto es, cada solución del primer sistema es una solución del segundo sistema,
y cada solución del segundo sistema es una solución del primero.
Determinar el conjunto solución de un sistema de dos ecuaciones lineales resulta
sencillo porque consiste en localizar la intersección de dos rectas. Un problema típico es
x −2x =−1
1 2
−x + 3x = 3
1 2
Las gráfi cas de estas ecuaciones son rectas, las cuales se denotan mediante ℓ y ℓ . Un
1 2
par de números (x , x ) satisface las dos ecuaciones de este sistema si, y sólo si, el pun-
1 2
to (x , x ) pertenece tanto a ℓ como a ℓ . En el sistema anterior, la solución es el punto
1 2 1 2
único (3, 2), lo cual puede verifi carse con facilidad. Vea la fi gura 1.
x
2
2
x
1
3
l
2
l
1
FIGURA 1 Exactamente una solución.
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4 Capítulo 1 Ecuaciones lineales en álgebra lineal
Por supuesto, la intersección de dos rectas no debe darse necesariamente en un solo
punto —las rectas pueden ser paralelas o coincidir y, por lo tanto, “intersecar” en todos
los puntos sobre la recta. En la fi gura 2 se muestran las gráfi cas que corresponden a los
siguientes sistemas:
(a) x −2x = −1 (b) x −2x = −1
1 2 1 2
−x +2x = 3 −x +2x = 1
1 2 1 2
x x
2 2
2 2
x x
1 1
3 3
l
2 l l
1 1
(a) (b)
FIGURA 2 (a) Sin solución. (b) Con infi nidad de soluciones.
Las fi guras 1 y 2 ilustran los siguientes hechos generales acerca de los sistemas
lineales, los cuales serán verifi cados en la sección 1.2.
Un sistema de ecuaciones lineales puede
1. no tener solución, o
2. tener exactamente una solución, o
3. tener una cantidad infi nita de soluciones.
Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es consistente si tiene una solución
o una infi nidad de soluciones; un sistema es inconsistente cuando no tiene ninguna
solución.
Notación matricial
La información esencial de un sistema lineal puede registrarse de manera compacta en
un arreglo rectangular llamado matriz. Dado el sistema
x −2x + x = 0
1 2 3
2x −8x = 8 (3)
2 3
−4x +5x +9x =−9
1 2 3
con los coefi cientes de cada variable alineados en columnas, la matriz
⎡ ⎤
1 −2 1
⎣ 0 2 −8⎦
−4 5 9
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1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 5
se denomina matriz coefi ciente (o matriz de coefi cientes) del sistema (3), y
⎡ ⎤
1 −2 1 0
⎣ 0 2 −8 8⎦ (4)
−4 5 9 −9
se denomina matriz aumentada del sistema. (Aquí, la segunda fi la contiene un cero
porque la segunda ecuación podría escribirse como 0·x + 2x − 8x = 8.) La matriz
1 2 3
aumentada de un sistema consta de su matriz de coefi cientes con una columna adicional
que contiene las constantes de los lados derechos de las ecuaciones.
El tamaño de una matriz indica el número de fi las y columnas que la integran. La
matriz aumentada (4) que se presentó líneas arriba tiene 3 fi las y 4 columnas y se conoce
como una matriz de 3 × 4 (se lee “3 por 4”). Si m y n son enteros positivos, una matriz
m × n es un arreglo rectangular de números con m fi las y n columnas. (El número de
fi las siempre va primero.) La notación matricial simplifi cará los cálculos de los ejemplos
que se presentan enseguida.
Resolución de un sistema lineal
En esta sección y en la siguiente se describe un algoritmo, o procedimiento sistemático,
para resolver sistemas lineales. La estrategia básica es reemplazar un sistema con un
sistema equivalente (es decir, uno con el mismo conjunto solución) que sea más fácil de
resolver.
Dicho de manera sencilla, utilice el término x que esté presente en la primera ecua-
1
ción de un sistema para eliminar los términos x que haya en las otras ecuaciones. Des-
1
pués use el término x presente en la segunda ecuación para eliminar los términos x en
2 2
las otras ecuaciones, y así sucesivamente, hasta que obtenga un sistema de ecuaciones
equivalente muy simple.
Para simplifi car un sistema lineal se utilizan tres operaciones básicas: reemplazar
una ecuación mediante la suma de la propia ecuación y un múltiplo de otra ecuación,
intercambiar dos ecuaciones, y multiplicar todos los términos de una ecuación por una
constante distinta de cero. Después del primer ejemplo, se verá por qué estas tres opera-
ciones no cambian el conjunto solución del sistema.
EJEMPLO 1 Resuelva el sistema (3).
Solución El procedimiento de eliminación se muestra enseguida con y sin notación
matricial, y los resultados se colocan uno junto al otro para compararlos:
⎡ ⎤
x1 −2x2 + x3 = 0 1 −2 1 0
2x −8x = 8 ⎣ 0 2 −8 8⎦
2 3
−4x + 5x + 9x =−9 −4 5 9 −9
1 2 3
Mantenga x en la primera ecuación y elimínela de las otras ecuaciones. Para hacer
1
esto, sume 4 veces la ecuación 1 a la ecuación 3. Por lo general, luego de alguna práctica
este tipo de cálculos se realizan mentalmente:
4·[ecuación1]: 4x −8x + 4x = 0
1 2 3
+[ecuación3]: −4x + 5x + 9x =−9
1 2 3
[nueva ecuación3]: −3x +13x =−9
2 3
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6 Capítulo 1 Ecuaciones lineales en álgebra lineal
El resultado de este cálculo se escribe en lugar de la tercera ecuación original:
⎡ ⎤
x1 −2x2 + x3 = 0 1 −2 1 0
2x − 8x = 8 ⎣0 2 −8 8⎦
2 3
−3x + 13x =−9 0 −3 13 −9
2 3
Ahora, multiplique la ecuación 2 por 1/2 para obtener 1 como el coefi ciente para x .
2
(Este cálculo simplifi cará la aritmética del siguiente paso.)
⎡ ⎤
x1 −2x2 + x3 = 0 1 −2 1 0
x − 4x = 4 ⎣0 1 −4 4⎦
2 3
−3x + 13x =−9 0 −3 13 −9
2 3
Utilice x en la ecuación 2 para eliminar −3x en la ecuación 3. El cálculo “mental” es
2 2
3·[ecuación2]: 3x −12x = 12
2 3
+[ecuación3]: −3x + 13x =−9
2 3
[nueva ecuación3]: x = 3
3
El nuevo sistema tiene una forma triangular:1
⎡ ⎤
x1 −2x2 + x3 = 0 1 −2 1 0
x −4x = 4 ⎣0 1 −4 4⎦
2 3
x = 3 0 0 1 3
3
Al fi nal, se deseará eliminar el término −2x de la ecuación 1, pero resulta más efi ciente
2
utilizar primero x en la ecuación 3, para eliminar los términos −4x y +x en las ecua-
3 3 3
ciones 2 y 1. Los dos cálculos “mentales” son
4·[ec. 3]: 4x = 12 −1·[ec. 3]: −x = −3
3 3
+[ec. 2]: x −4x = 4 +[ec. 1]: x −2x + x = 0
2 3 1 2 3
[nueva ec. 2]: x = 16 [nueva ec. 1]: x −2x = −3
2 1 2
Es conveniente combinar los resultados de estas dos operaciones:
⎡ ⎤
x1 −2x2 =−3 1 −2 0 −3
x = 16 ⎣0 1 0 16⎦
2
x = 3 0 0 1 3
3
Ahora, después de haber limpiado la columna que está sobre la x en la ecuación 3, re-
3
grese a la x en la ecuación 2 y úsela para eliminar el −2x ubicado sobre ella. Debido
2 2
al trabajo previo realizado con x , ahora no existe ninguna operación que involucre a
3
términos de x .
3
1En la próxima sección, el término intuitivo triangular se reemplazará por uno más preciso.
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1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 7
Sume dos veces la ecuación 2 a la ecuación 1 para obtener el sistema
⎧
⎡ ⎤
⎪⎨x1 =29 1 0 0 29
x =16 ⎣0 1 0 16⎦
⎪⎩ 2
x = 3 0 0 1 3
3
En esencia, el trabajo ya está hecho. Se observa que la solución única del sistema ori-
ginal es (29, 16, 3). Sin embargo, como hay muchos cálculos involucrados, resulta una
buena práctica verifi car las operaciones. Para comprobar que (29, 16, 3) es una solución,
sustituya estos valores en el lado izquierdo del sistema original, y calcule:
(29)−2(16) + (3)=29−32+3=0
(29, 16, 3) 2(16)−8(3)=32−24=8
Cada una de las ecuaciones −4(29) + 5(16) + 9(3)=−116+80+27=−9
originales determina un plano en
el espacio tridimensional. El punto Los resultados coinciden con el lado derecho del sistema original, así que (29, 16, 3) es
(29, 16, 3) pertenece a los tres una solución del sistema. ❙❙❙❙❘❙❙❙❙❚
planos.
En el ejemplo 1 se ilustra cómo, en un sistema lineal, las operaciones sobre ecua-
ciones corresponden a las operaciones sobre las fi las apropiadas de la matriz aumentada.
Las tres operaciones básicas mencionadas con anterioridad corresponden a las siguien-
tes operaciones sobre la matriz aumentada.
OPERACIONES ELEMENTALES DE FILA
1. (Reemplazo) Reemplazar una fi la por la suma de sí misma y un múltiplo de
otra fi la.2
2. (Intercambio) Intercambiar dos fi las.
3. (Escalamiento) Multiplicar todas las entradas de una fi la por una constante
distinta de cero.
Las operaciones de fi la pueden aplicarse a cualquier matriz, no únicamente a una
que surja como la matriz aumentada de un sistema lineal. Se dice que dos matrices son
equivalentes por fi las si existe una sucesión de operaciones elementales de fi la que
convierta una matriz en la otra.
Es importante advertir que las operaciones de fi la son reversibles. Si dos fi las se
intercambian, pueden regresarse a sus posiciones originales mediante otro intercambio.
Si una fi la se escala mediante una constante c distinta de cero, al multiplicar después
la nueva fi la por 1/c se obtiene la fi la original. Por último, considere una operación de
reemplazo que involucra dos fi las —por ejemplo, las fi las 1 y 2— y suponga que a la fi la 2
se le suma la fi la 1 multiplicada por c para producir un nueva fi la 2. Si desea “revertir”
esta operación, sume a la nueva fi la 2 la fi la 1 multiplicada por −c y obtenga la fi la 2
original. Vea los ejercicios 29 a 32 al fi nal de esta sección.
Por el momento, nuestro interés reside en las operaciones de fi la sobre la matriz
aumentada de un sistema de ecuaciones lineales. Suponga un sistema que se transforma
en otro nuevo mediante operaciones de fi la.
2Una paráfrasis común del reemplazo de una fi la es “sumar a una fi la un múltiplo de otra fi la”.
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8 Capítulo 1 Ecuaciones lineales en álgebra lineal
Al considerar cada uno de los tipos de operaciones de fi la, puede advertirse que cual-
quier solución del sistema original continúa siendo una solución del sistema nuevo. Asi-
mismo, como el sistema original puede producirse mediante operaciones de fi la sobre el
sistema nuevo, cada una de las soluciones del sistema nuevo también es una solución
del sistema original. Esta explicación justifi ca el hecho siguiente.
Si las matrices aumentadas de dos sistemas lineales son equivalentes por fi las,
entonces los dos sistemas tienen el mismo conjunto solución.
Aunque el ejemplo 1 es extenso, puede afi rmarse que, después de algún tiempo de
práctica, los cálculos se ejecutan con rapidez. Por lo general, en el texto y en los ejercicios
las operaciones de fi la serán muy fáciles de realizar, lo cual permitirá que el estudiante
se enfoque en los conceptos importantes. No obstante, se recomienda aprender a realizar
operaciones de fi la de manera precisa porque se utilizarán a lo largo de todo el libro.
En el resto de esta sección se muestra cómo utilizar las operaciones de fi la para deter-
minar el tamaño de un conjunto solución, sin resolver por completo el sistema lineal.
Preguntas de existencia y unicidad
En la sección 1.2 se estudiará porqué un conjunto solución para un sistema lineal puede
no contener ninguna solución, contener solamente una solución, o contener una infi -
nidad de soluciones. Para determinar cuál posibilidad es verdadera para un sistema en
particular, se formulan dos preguntas.
DOS PREGUNTAS FUNDAMENTALES ACERCA DE UN SISTEMA LINEAL
1. ¿El sistema es consistente? Es decir, ¿existe al menos una solución?
2. Si existe solución, ¿sólo hay una? Esto es, ¿la solución es única?
Estas dos preguntas aparecerán a lo largo del texto en muchas formas diferentes. En esta
sección y en la próxima, se mostrará cómo contestarlas mediante operaciones de fi la
sobre la matriz aumentada.
EJEMPLO 2 Determine si el siguiente sistema es consistente:
x −2x + x = 0
1 2 3
2x −8x = 8
2 3
−4x + 5x + 9x =−9
1 2 3
Solución Éste es el sistema del ejemplo 1. Suponga que se realizan las operaciones
necesarias para obtener la forma triangular
⎡ ⎤
x1 −2x2 + x3 =0 1 −2 1 0
x −4x =4 ⎣0 1 −4 4⎦
2 3
x =3 0 0 1 3
3
En este punto ya se conoce x ; si su valor se sustituyera en la ecuación 2, sería posible
3
calcular x y, por ende, se podría determinar x a partir de la ecuación 1. Por lo tanto,
2 1
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1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 9
existe una solución; y el sistema es consistente. (De hecho, x se determina únicamente
2
con la ecuación 2 puesto que x tiene un solo valor posible, y por lo tanto x se resuelve
3 1
solamente a partir de la ecuación 1. De manera que la solución es única.) ❙❙❙❙❘❙❙❙❙❚
EJEMPLO 3 Determine si el siguiente sistema es consistente:
x −4x =8
2 3
2x −3x + 2x =1 (5)
1 2 3
5x −8x + 7x =1
1 2 3
Solución La matriz aumentada es
⎡ ⎤
0 1 −4 8
⎣2 −3 2 1⎦
5 −8 7 1
Para obtener una x en la primera ecuación, se intercambian las fi las 1 y 2:
1
⎡ ⎤
2 −3 2 1
⎣0 1 −4 8⎦
5 −8 7 1
Para eliminar el término 5x en la tercera ecuación, se agrega a la fi la 3 la fi la 1 multi-
1
plicada por −5/2:
⎡ ⎤
2 −3 2 1
⎣0 1 −4 8 ⎦ (6)
0 −1/2 2 −3/2
Enseguida, utilice el término x en la segunda ecuación para eliminar el término −(1/2)x
2 2
de la tercera ecuación. Sume a la fi la 3 la fi la 2 multiplicada por 1/2:
⎡ ⎤
2 −3 2 1
⎣0 1 −4 8 ⎦ (7)
0 0 0 5/2
Ahora, la matriz aumentada está en forma triangular. Para interpretarla de manera co-
rrecta, regrese a la notación con ecuaciones:
2x −3x + 2x = 1
1 2 3
x −4x = 8 (8)
2 3
0 =5/2
La ecuación 0 = 5/2 es una forma corta de 0x + 0x + 0x = 5/2. Desde luego, este
1 2 3
sistema en forma triangular tiene una contradicción. No existen valores de x , x , x que
Este sistema es inconsistente 1 2 3
porque no existe un punto que satisfagan (8) porque la ecuación 0 = 5/2 nunca es verdadera. Como (8) y (5) tienen el
pertenezca de manera simultánea mismo conjunto solución, el sistema original es inconsistente (es decir, no tiene solu-
a los tres planos. ción). ❙❙❙❙❘❙❙❙❙❚
Preste atención especial a la matriz aumentada en (7). Su última fi la es típica de un
sistema inconsistente en forma triangular.
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10 Capítulo 1 Ecuaciones lineales en álgebra lineal
NOTA NUMÉRICA
En problemas reales, los sistemas de ecuaciones lineales se resuelven empleando una
computadora. Para una matriz de coefi cientes cuadrada, los programas de cómpu-
to casi siempre usan el algoritmo de eliminación que se presenta aquí en la sección
1.2, con pequeñas modifi caciones para mejorar su precisión.
La gran mayoría de los problemas de álgebra lineal que se presentan en los ne-
gocios y la industria se resuelven con programas que utilizan la aritmética de punto
fl otante. Los números se representan como decimales ±.d · · · d × 10r, donde r es un
1 p
entero y el número p de dígitos a la derecha del punto decimal usualmente se encuen-
tra entre 8 y 16. Normalmente, las operaciones aritméticas con estos números resultan
inexactas, porque el resultado debe redondearse (o truncarse) al número de dígitos
almacenados. El “error de redondeo” también se presenta cuando un número como
1/3 es introducido a la computadora, puesto que su representación debe aproximarse
mediante un número fi nito de dígitos. Por fortuna, las inexactitudes de la aritmética
de punto fl otante muy pocas veces causan problemas. Las notas numéricas incluidas
en este libro lo prevendrán, ocasionalmente, sobre aspectos que podrá necesitar tener en
consideración más adelante en su carrera.
PROBLEMAS DE PRÁCTICA
A lo largo del texto, debe intentar resolver los problemas de práctica antes de trabajar
con los ejercicios. Después de cada serie de ejercicios se presentan las soluciones.
1. Exprese con sus propias palabras la siguiente operación elemental de fi la que debe
realizarse para resolver los sistemas presentados a continuación. [Para (a), existe más
de una respuesta posible.]
a. x +4x −2x + 8x = 12 b. x −3x +5x −2x = 0
1 2 3 4 1 2 3 4
x −7x + 2x = −4 x +8x = −4
2 3 4 2 3
5x − x = 7 2x = 3
3 4 3
x + 3x = −5 x = 1
3 4 4
2. La matriz aumentada de un sistema lineal ha sido transformada mediante operaciones
de fi la a la forma que se presenta a continuación. Determine si el sistema es consis-
tente.
⎡ ⎤
1 5 2 −6
⎣0 4 −7 2⎦
0 0 5 0
3. ¿Es (3, 4, −2) una solución del siguiente sistema?
5x − x + 2x = 7
1 2 3
−2x + 6x + 9x = 0
1 2 3
−7x + 5x −3x =−7
1 2 3
4. ¿Para cuáles valores de h y k es consistente el siguiente sistema?
2x − x =h
1 2
−6x + 3x = k
1 2
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