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· \ , (Gl - 1\1 Catedrático de Profesora Ti CA Profesor Tit EDITO! Barcelona-Bo: MANUEL CASTELLET Catedrático de la Universidad Autónoma de Barcelona IRENE LLERENA Profesora Titular de la Universidad de Barcelona Con la colaboración de CARLOSCASACUBERTA Profesor Titular de la Universidad de Barcelona / EDITORIAL REVERTE, S. A. Barcelona-Bogotá-Buenos Aires-Caracas-México A Albert, Josep y Mar< Título de la obra original: Álgebra Lineal i Geometria Edición original en lengua catalana publicada por: Publicacions de la Universitat Autonoma de Barcelona Versión española por: Carlos Casacuberta Profesor Titular de la Universidad de Barcelona Revisado por los autores Copyright © M. CASTELLET, I. LLERENA Propiedad de: EDITORIAL REVERTÉ, S. A. Loreto, 13-15, Local B 08029 Barcelona E-mail: [email protected] Internet: http://www.reverte.com Reservados todos los derechos. La reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento in fornático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo pú blicos, queda rigurosamente prohibida, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas por las leyes. Edición en español © EDITORIAL REVERTÉ, S. A., 2000 Impreso en España -Printed in Spain ISBN -84-291-5009-9 Depósito Legal: B -46212 -2000 Impreso por BIGSA, Industria Gráfica 08930 Sant Adria del Besós (B arcelona) A Albert, Josep y Marc lOa o parcial de esta obra, por rografía y el tratamiento in mte alquiler o préstamo pú .ción escrita de los titulares :yes. Et surtout leur~ a gues celles qu admirent la déli. ,. ils s'émerveillent " une perspective i n'a-t-elle pas le ( ~ ;"R':':;:ó;"'): ,', prennent aUC'IJ,n € C'est pourquoi ~~.'J!"'.":'::: .._.._ .... ques méritent d' théories qui ne 'J. vent l'étre comm ...Mais, le mat du monde extéri rait harmonieusE a mais qui les m. trice serait bient. Et surtout leurs adeptes y trouvent des jouissances analo a gues celles que donnent la peinture et la musique. Ils admirent la délicate harmonie des nombres et des formes; ils s'émerveillent quand une découverte nouvelle leur ouvre une perspective inattendue; et lajoie qu'ils éprouvent ainsi n'a-t-elle pas le caractere esthétique, bien que les sens n'y prennent aucune part? .. a C'est pourquoi je n'hésite pas dire que les mathémati ques méritent d'etre cultivées pour elles-memes et que les a théories qui ne peuvent etre appliquées la physique doi vent l'etre comme les autres. ...Mais, le mathématicien pur qui oublierait l'existence a du monde extérieur serait semblable un peintre qui sau rait harmonieusement combiner les couleurs et les jormes, a mais qui les modeles, jeraient déjaut. Sa puissance créa trice serait bientót tarie. Henri Poincaré Índice I Divisibilidad en 1 1.1 División entl 1.2 Mínimo com 1.3 Números pri 1.4 Congruencia 1.5 Los anillos 2 - 1.6 Ecuaciones c 1.7 Notahistári< f\ 1.8 Ejercicios . . 1.9 Ejercicios pa II Divisibilidad en ( lI.1 Definición dI 11.2 División entl 11.3 Mínimo com lIA Polinomios i 11.5 Ceros de un lI.6 Polinomios i lI.7 Los anillos} 11.8 Nota histári< 11.9 Ejercicios. lI.10 Ejercicios pa ~: III Grupos lIU Definición y . lII.2 Permutacion llI.3 Subgrupos. lIlA Homomorfisl lIL5 Grupo cociel lII.6 Producto dil Índice I Divisibilidad en los números enteros 1.1 División entera. Ideales . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Mínimo común múltiplo y máximo común divisor 10 1.3 Números primos entre sí y números primos 13 1.4 Congruencias.. . . . . . . . . 15 1.5 Los anillos Z/ (m) . . . . . . . 17 1.6 Ecuaciones diofánticas lineales 18 1.7 Nota histórica . 19 it 1.8 Ejercicios . . . . . . . . . . 20 1.9 Ejercicios para programar 22 ~ II Divisibilidad en el anillo de polinomios 11.1 Definición del anillo de polinomios . . . . . . . . . 23 11.2 División entera e ideales en K[x] . 25 11.3 Mínimo común múltiplo y máximo común divisor 27 11.4 Polinomios irreducibles y polinomios primos entre sí . 30 11.5 Ceros de un polinomio ..... 32 11.6 Polinomios irreducibles de R[x] 34 11.7 Los anillos K[x]/(m(x)) . 35 11.8 Nota histórica . 38 11.9 Ejercicios . 39 11.10 Ejercicios para programar 40 III Grupos IIU Definición y ejemplos 41 111.2 Permutaciones. 43 111.3 Subgrupos...... 47 lIlA Homomorfismos... 49 111.5 Grupo cociente. Subgrupos normales 51 111.6 Producto directo de grupos . . . . . . 55 ~ III.7 Grupos cíclicos. 57 VII Sistemas de ecuacionl rf;i III.8 Grupos finitos 58 VII.1 Planteo del probh " III.9 Nota histórica . 62 VII.2 Existencia de solu ~ r III.10 Ejercicios . . . . 63 VII.3 Regla de Cramer. H III.11 Ejercicios para programar 66 VII.4 Resolución de un: ~ VII.5 Método de Gauss VII.6 Cálculo de la matI IV Espacios vectoriales VII.7 Nota histórica . . IV.1 Definición y ejemplos . . . . . 67 VII.8 Ejercicios..... í~ IV.2 Subespacios vectoriales .... 70 VII.9 Ejercicios para prc IV.3 Bases de un espacio vectorial. 72 IVA Fórmula de Grassmann. Suma directa de subespacios.. 77 VIII Estructura de los end< IV.5 Suma directa de espacios vectoriales. 79 VIII.1 Vectores propios y IV.6 Espacio vectorial cociente. 80 Polinomio caracter. IV.7 Coordenadas. 82 VIII.2 Diagonalización de IV.8 Nota histórica . . . . . . . 84 VIII.3 Polinomio IIÚnimo IV.9 Ejercicios.......... 85 VIllA Subespacios invaria IV.10 Ejercicios para programar 87 VIII.5 Grado del polinomi _ VIII.6 El teorema de Cayl iT VIII.7 Matriz canónica (gl V Aplicaciones lineales VIII.8 Matriz canónica de V.1 Definición y ejemplos . 89 VIII.9 Nota histórica .. V.2 Matriz asociada a una aplicación lineal 94 VIII. 10 Ejercicios . F V.3 Teorema de isomorfismo . 99 VIII. 11 Ejercicios para prog VA El espacio de las aplicaciones lineales 102 V.S El álgebra de endomorfismos 103 IX Espacios afines V.6 El espacio dual . 105 IX.1 Definición de espaci, V.7 Subespacios ortogonales. 109 IX.2 Traslaciones. Otra c V.8 Nota histórica . 111 IX.3 Vari~dades lineales V.9 Ejercicios . 111 IXA Intersección y suma V.lO Ejercicios para programar 114 IX.5 Dependencia lineal c IX.6 Coordenadas baricér VI Determinantes IX.7 Ecuaciones de una v. IX.8 COQlrdenadas cartesi. VI.1 Determinante de n vectores. 115 IX.9 Ecuaciones de una v; VI.2 Determinante de una matriz 121 cartesianas '" . . VI.3 Determinante de un endomorfismo . 122 IX.1O Razón simple. . . . VI.4 Regla de Laplace . 124 IX.11 Orientación de un es VI.5 Cálculo del rango de una matriz 128 IX.12 Semiespacios . VI.6 Nota histórica . 132 IX.13 Nota histórica ... VI.7 Ejercicios.......... 132 IX.14 Ejercicios. . . . . . VI.8 Ejercicios para programar 134 IX.15 Ejercicios para progr;