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Capítulo 1 Sistemas de ecuaciones lineales 1.1. Introducción Unproblemafundamentalqueapareceenmatemáticasyenotrasciencias eselanálisisyresolucióndem ecuacionesalgebraicasconn incógnitas.Eles- tudiodeunsistemadeecuacioneslinealessimultáneasestáíntimamenteliga- doalestudiodeunamatrizrectangulardenúmerosdefinidaporloscoeficien- tesdelasecuaciones.Estarelaciónparecequesehanotadodesdeelmomento enqueaparecieronestosproblemas. Elprimeranálisisregistradodeecuacionessimultáneasloencontramosen el libro chino Jiu zhang Suan-shu ( Nueve Capítulos sobre las artes matemáti- cas),(véaseMcTutoryCarlosMaza)escritoalrededordel200a.C.Alcomienzo delcapítuloVIII,apareceunproblemadelasiguienteforma: Tresgavillasdebuencereal,dosgavillasdecerealmediocreyunagavillade cereal malo se venden por 39 dou. Dos gavillas de bueno, tres mediocres y una malasevendenpor 34dou.Yunabuena,dos mediocresytresmalas sevenden por26dou.¿Cuáleselpreciorecibidoporcadagavilladebuencereal,cadaga- villadecerealmediocre,ycadagavilladecerealmalo? Hoyendía,esteproblemaloformularíamoscomounsistemadetresecua- cionescontresincógnitas: 3x + 2x + x = 39, 1 2 3 2x + 3x + x = 34, 1 2 3 x + 2x + 3x = 26, 1 2 3 dondex ,x yx representanelpreciodeunagavilladebuen,mediocreymal 1 2 3 cereal,respectivamente.Loschinosvieronelproblemaesencial.Colocaronlos coeficientesdeestesistema,representadosporcañasdebambúdecolor,como 1 Depto.deÁlgebra uncuadradosobreuntablerodecontar(similaraunábaco),ymanipulabanlas filasdel cuadradosegúnciertasreglasestablecidas.Sutablerodecontarysus reglasencontraronsucaminohaciaJapónyfinalmenteaparecieronenEuropa, con las cañas de color sustituidas por números y el tablero reemplazado por tintaypapel. Figura1.1:Numeraleschinosconcañasdebambú En Europa, esta técnica llegó a ser conocida como eliminación gaussiana, enhonordelmatemáticoalemánCarlF.Gauss. Figura1.2:C.F.Gauss(1777-1855) Comolatécnicadeeliminaciónesfundamental,empezamoselestudiode nuestramateriaaprendiendocómoaplicarestemétodoparacalcularlassolu- cionesdelossistemaslineales.Despuésdequelosaspectoscomputacionales semanejenbien,profundizaremosencuestionesmásteóricas. 1.2. Equivalencia de sistemas Nota 1.2.1. En lo que sigue consideraremos fijado un cuerpo K de coeficien- tes. En el texto nos referiremos a los elementos del cuerpo como números o 2 ÁlgebraLinealyGeometría Depto.deÁlgebra escalares.EllectorbienpuedepensarqueKeselcuerpoQdelosnúmerosra- cionales, R de los reales o incluso C de los complejos. Aunque debe tener en cuenta que todo lo dicho sobre sistemas de ecuaciones lineales y matrices es ciertoengeneralparacualquiercuerpoK. Ecuaciónlineal Sean≥1unnúmeronatural.Unaecuaciónlinealesunaexpresiónde laforma a x +a x +···+a x =b, 1 1 2 2 n n dondea , a ,..., a yb sonnúmerosconocidosyx x ,..., x sonin- 1 2 n 1 2 n cógnitas. Los números a se denominan coeficientes de la ecuación, i mientrasqueb eseltérminoindependiente. Unasolucióndelaecuaciónlinealanterioresunaseriedenúmerosα ,α ,...,α 1 2 n quelasatisfacen,esdecir,queverifican a α +a α +···+a α =b. 1 1 2 2 n n Diremostambiénquelasoluciónseescribecomox =α ,x =α ,...,x =α . 1 1 2 2 n n Elcarácterlinealseaplicaporquelasincógnitasaparecencongradoiguala1. Ejemplo 1.2.1.-Laexpresión3x +2x =−1esunaecuaciónlinealyx =1,x = 1 2 1 2 −2esunasolución.Laexpresión0·x =2esunaecuaciónlineal,peronotiene 1 solución. ÁlgebraLinealyGeometría 3 Depto.deÁlgebra Sistemalinealdeecuaciones Seanm≥1yn≥1númerosnaturales.Unsistemalinealdeecuaciones esunconjuntodem ecuacioneslinealesyn incógnitasdelaforma a x + a x + ... + a x = b , 11 1 12 2 1n n 1 a x + a x + ... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 S ≡ ... a x + a x + ... + a x = b , m1 1 m2 2 mn n m donde las x son las incógnitas y los a ,b son números. Los núme- i ij i ros a se denominancoeficientesdel sistema,y el conjuntodelos b ij i términosindependientesdelsistema. Unasolucióndelsistemalinealanterioresunaseriedenúmerosα ,α ,...,α 1 2 n quesatisfacecadaecuacióndelsistema,esdecir,queverifica a α +a α +···+a α =b , paracadai =1,...,n. i1 1 i2 2 in n i Paraabreviar,hablaremosconfrecuencia deunsistemadeecuaciones,elimi- nandolapalabra“lineal”,puesseránelobjetodecálculohabitualenelcurso. Elproblemaesdeterminarsiunsistemadeecuacionestienesoluciónonoy,si es posible,calcularlastodas.Yacon unaecuación a x =b nos encontramos 1 1 1 condiferentesposibilidades. Sia 6=0,entonceslaecuacióntieneunaúnicasoluciónx =b /a . 1 1 1 1 Sia =0,b 6=0,entoncesnohaysolución. 1 1 Sia =0=b ,entoncescualquiervalordex essolución. 1 1 1 Ensistemasconmásecuacionesencontramoselmismofenómeno. Ejemplo 1.2.2.- Consideremos el sistema lineal planteado por el problema chinodelasgavillasdecerealvistoenlapágina1: 3x +2x +x =39, 1 2 3 S ≡ 2x +3x +x =34, (1.2.1) 1 2 3 x +2x +3x =26. 1 2 3 4 ÁlgebraLinealyGeometría Depto.deÁlgebra Despejando en la tercera ecuación, x = 26−2x −3x , y sustituyendo en las 1 2 3 otrasecuacionestenemos −4x −8x =−39, 2 3 (1.2.2) ½ −x −5x =−18. 2 3 Ahora,enlasegundaecuación,es x =5x −18.Sustituyendoenlaotraecua- 2 3 ción,seobtiene 12x =33. 3 Luegodebeserx =11/4.Delaecuaciónx =5x −18seobtienex =17/4.Por 3 2 3 2 último,dex =26−2x −3x obtenemosx =37/4. 1 2 3 1 Esdecir,elsistemalinealS tienecomoúnicasolución 37/4 17/4 . 11/4 Ejemplo 1.2.3.-Consideremosahoraelsistemalineal x +2x −x =−3, 1 2 3 S ≡ x +x =1, (1.2.3) 1 2 2x +x +x =0. 1 2 3 Despejando en la segunda ecuación, x = 1−x , y sustituyendo en las otras 1 2 obtenemos x −x =−4, 2 3 (1.2.4) ½ −x +x =−2. 2 3 Enlaprimeraecuacióndespejamosx =−4+x .Sustituyendoenlaotraecua- 2 3 ciónseobtiene −(−4+x )+x =−2⇒4−x +x =−2dedonde4=−2. 3 3 3 3 Como46=−2,deducimosquenohaysolucionesparaelsistemalinealS . ÁlgebraLinealyGeometría 5 Depto.deÁlgebra Losanterioressonejemplosdesistemasdeecuacionesconsoluciónúnica osinsolución.Elsiguientepasoesestudiarquéocurreconlossistemaslineales quenoestánenningunodeloscasosanteriores,esdecir,aquellosquetienen másdeunasolución. Veamoselsiguienteejemplo. Ejemplo 1.2.4.-Vamosacalcularsolucionesdelsistema x +x +2x =3, 1 2 3 S ≡ 2x +2x +x =3, (1.2.5) 1 2 3 x +x −3x =−2. 1 2 3 Como en los casos anteriores, resolveremos el sistema por el método de sus- titución. Despejamos entonces x en la última ecuación, x = −2−x +3x . 1 1 2 3 Sustituyendoenlasotrasecuacionessetiene 5x =5, 3 (1.2.6) ½ 7x =7. 3 Se trata de un sistema lineal con dos ecuaciones y una incógnita, cuya única soluciónesx =1.Respectoax yx solamentepodemosdecirque 3 1 2 x =1−x . 1 2 Esdecir,queparacadavalordistintodex seobtieneunvalordistintodex .El 2 1 conjuntodelassolucionesdelsistemalinealS es 1−x 2 x dondex ∈K. 2 2 1 Enestecasoelsistemalinealtienetantassolucionescomoelementoshayenel cuerpodeescalaresK. Veremosqueenlossistemasdeecuacionesengeneralsepresentanlasmis- masposibilidadesquehemosvistoenlosejemplosanteriores. 6 ÁlgebraLinealyGeometría Depto.deÁlgebra Compatibilidaddesistemaslineales DecimosqueunsistemalinealS es compatibledeterminadositieneunaúnicasolución. compatibleindeterminadositienemásdeunasolución. incompatiblesinotienesoluciones. Sistemadeecuacionesequivalentes Dossistemaslinealesconn incógnitassedicenequivalentessitienen losmismosconjuntosdesoluciones. Ejemplo 1.2.5.- 1. Sistemasequivalentescondistintonúmerodeecuaciones. 2. Sistemasnoequivalentes. 1.3. Eliminación gaussiana La eliminación gaussiana es una herramienta que nos permitirá resolver el problema planteado. Es un algoritmo que sistemáticamentetransforma un sistemaenotromássimple,peroequivalente.Laideaesllegaraunsistemalo más sencillo posible, eliminando variables, y obtener al final un sistema que seafácilmenteresoluble. ÁlgebraLinealyGeometría 7 Depto.deÁlgebra Ejemplo 1.3.1.-Elsistema 2x +5x =−1, S ≡ 1 2 ½ 2x =3, 2 sepuederesolverfácilmente.Laúltimaecuaciónnospermitedespejarx =3/2 2 ysustituirestevalorenlaprimeraecuaciónparaobtener 3 1 15 17 2x +5 =−1, dedondex = (−1− )=− . 1 1 2 2 2 4 Elprocesodeeliminacióndescansasobretresoperacionessimplesquetrans- formanunsistemaenotroequivalente.Paradescribirestasoperaciones,seaE k lak-ésimaecuación E :a x +a x +...+a x =b k k1 1 k2 2 kn n k yescribamoselsistemacomo E 1 E 2 S ≡ ... . E m DadounsistemadeecuacionesS,cadaunadelassiguientestransformacio- neselementalesproduceunsistemaequivalenteS ′. 1. Intercambiodelasecuacionesi-ésimay j-ésima(1≤i ≤ j ≤m).Estoes, si E E 1 1 . . . . . . Ei Ej S ≡ ... , entoncesS′≡ ... . E E j i .. .. . . Em Em 8 ÁlgebraLinealyGeometría Depto.deÁlgebra 2. Reemplazodelai-ésima ecuaciónporunmúltiplononulodeella.Esto es, E 1 . . . S ′≡ αE , dondeα6=0. i . . . Em 3. Reemplazo de la j-ésima ecuación por la suma de ella misma con un múltiplodelai-ésimaecuación.Estoes, E 1 . . . Ei S ′≡ ... . E +αE j i .. . Em Ejemplo 1.3.2.-Seaelsistema 2x − x − 2x + 3x − x = 1 1 2 3 4 5 S ≡ x1 + 2x2 − x3 + x4 + 2x5 = 0 . (1.3.1) 3x + x + x + x + x = 0 1 2 3 4 5 −x + x − x + x − x = 2 1 2 3 4 5 Elintercambiodelasecuaciones(2)y(4)produceelsistema 2x − x − 2x + 3x − x = 1 1 2 3 4 5 S ′≡ −x1 + x2 − x3 + x4 − x5 = 2 . (1.3.2) 3x + x + x + x + x = 0 1 2 3 4 5 x + 2x − x + x + 2x = 0 1 2 3 4 5 ÁlgebraLinealyGeometría 9 Depto.deÁlgebra Ejemplo 1.3.3.-Seaelsistema 2x − x − 2x + 3x − x = 1 1 2 3 4 5 S ≡ x1 + 2x2 − x3 + x4 + 2x5 = 0 . (1.3.3) 3x + x + x + x + x = 0 1 2 3 4 5 −x + x − x + x − x = 2 1 2 3 4 5 Lasustitucióndelacuartaecuaciónporeldobledeellamismaproduceelsis- tema 2x − x − 2x + 3x − x = 1 1 2 3 4 5 S′≡ x1 + 2x2 − x3 + x4 + 2x5 = 0 . (1.3.4) 3x + x + x + x + x = 0 1 2 3 4 5 −2x + 2x − 2x + 2x − 2x = 4 1 2 3 4 5 Ejemplo 1.3.4.-Seaelsistema 2x − x − 2x + 3x − x = 1 1 2 3 4 5 S ≡ x1 + 2x2 − x3 + x4 + 2x5 = 0 . (1.3.5) 3x + x + x + x + x = 0 1 2 3 4 5 −x + x − x + x − x = 2 1 2 3 4 5 Lasustitucióndelaterceraecuaciónporeltripledelacuartaproduceelsiste- ma 2x − x − 2x + 3x − x = 1 1 2 3 4 5 S ′≡ x1 + 2x2 − x3 + x4 + 2x5 = 0 . (1.3.6) 4x − 2x + 4x − 2x = 0 2 3 4 5 −x + x − x + x − x = 2 1 2 3 4 5 Sistemasequivalentesportransformacioneselementales Si el sistema S′ se obtiene a partir del sistema S por una concate- nación de transformaciones elementales, entonces S′ es un sistema equivalenteaS. 10 ÁlgebraLinealyGeometría
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