Álgebra lineal para cursos con enfoque por competencias

460 Pages·2013·58.878 MB·Spanish

by  David C. Lay, Javier Alfaro Pastor, María del Carmen López Laiseca, Marcela González Peláez

P R I M E R A E D I C I Ó N
Álgebra lineal
para cursos con enfoque
por competencias
David C. Lay
University of Maryland—College Park
Traducción
Ana Elizabeth García Hernández
Traductora especialista en matemáticas
Adaptadores técnicos
Javier Alfaro Pastor
Marcela González Peláez
María del Carmen López Laiseca
Departamento de Matemáticas
Instituto Tecnológico Autónomo de México
Colaboración especial de
Javier Alfaro Pastor y Marcela González Peláez
en la redacción del capítulo Números complejos
Revisión didáctica
Verónica Valdés Salmerón
Licenciatura en Psicología
Universidad Iberoamericana
Datos de catalogación bibliográfica
LAY, DAVID C.
Álgebra lineal para cursos con enfoque
por competencias.
Primera edición
PEARSON EDUCACIÓN, México, 2013
ISBN: 978-607-32-1638-8
Área: Matemáticas
Formato: 21 (cid:19) 27 cm Páginas: 456
Adaptation of the authorized translation from the English language edition, entitled LINEAR ALGEBRA AND ITS APPLICATIONS 4th Edi-
tion, by DAVID C. LAY, published by Pearson Education, Inc., publishing as Pearson, Copyright © 2012. All rights reserved.
ISBN 9780321385178
Adaptación de la traducción autorizada de la edición en idioma inglés, titulada LINEAR ALGEBRA AND ITS APPLICATIONS 4ª edición por
DAVID C. LAY, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Pearson, Copyright © 2012. Todos los derechos reservados.
Esta edición en español es la única autorizada.
Edición en español
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Editor de desarrollo: Felipe Hernández Carrasco
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PRIMERA EDICIÓN, 2013
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El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes.
ISBN 978-607-32-1638-8
ISBN e-book 978-607-32-1639-5
ISBN e-chapter 978-607-32-1640-1
Impreso en México. Printed in Mexico.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 16 15 14 13
www.pearsonenespañol.co m ISBN: 978-607-32-1638-8
A mi esposa, Lillian, y a nuestras hijas
Christina, Deborah y Melissa, cuyo
apoyo, ánimos y devotas
oraciones hicieron posible este libro.
Acerca del autor
David C. Lay tiene una licenciatura de Aurora University (Illinois), y una maestría y un doc-
torado en la Universidad de California en Los Ángeles. Lay ha sido catedrático e investigador
en matemáticas desde 1966, principalmente en la Universidad de Maryland, College Park.
También ha trabajado como profesor visitante en la Universidad de Amsterdam, en la Uni-
versidad Libre de Amsterdam y en la Universidad de Kaiserslautern, en Alemania. Ha escrito
más de 30 artículos de investigación de análisis funcional y álgebra lineal.
Como miembro fundador del Grupo de Estudio del Currículo de Álgebra Lineal patro-
cinado por la NSF, ha sido líder en el movimiento actual para modernizar el plan de estudios
de álgebra lineal. Lay también es coautor de varios libros de matemáticas, entre los que se
incluyen, Introduction to Functional Analysis, con Angus E. Taylor, Calculus and its Appli-
cations, con L. J. Goldstein y D. I. Schneider, y Linear Algebra Gems–Assets for Undergra-
duate Mathematics, con D. Carlson, C. R. Johnson y A. D. Porter.
El profesor Lay ha recibido cuatro premios universitarios por excelencia docente, inclui-
do el de Distinguished Scholar Teacher de la Universidad de Maryland en 1996. En 1994 la
Mathematical Association of America le otorgó el premio Distinguished College or Univer-
sity Teaching of Mathematics. Ha sido elegido por los estudiantes universitarios como miem-
bro de la Alpha Lambda Delta National Scholastic Honor Society y de la Golden Key National
Honor Society. En 1989 Aurora University le concedió el premio Outstanding Alumnus.
Lay es miembro de la American Mathematical Society, de la Canadian Mathematical Society,
de la International Linear Algebra Society, de la Mathematical Association of America, Sig-
ma Xi, y de la Society for Industrial and Applied Mathematics. Desde 1992 ha formado parte
de la junta directiva nacional de la Association of Christians in the Mathematical Sciences.
iv
Contenido
Presentación de la edición para cursos por competencias viii
Prefacio de la cuarta edición de Álgebra lineal y sus aplicaciones x
Nota para los estudiantes xvi
Capítulo 1 Ecuaciones lineales en álgebra lineal 2
Modelos lineales en economía e ingeniería 5
1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 6
1.2 Reducción por filas y formas escalonadas 16
1.3 Ecuaciones vectoriales 28
1.4 Ecuación matricial Ax 5 b 38
1.5 Conjuntos solución de sistemas lineales 47
1.6 Aplicaciones de sistemas lineales 53
1.7 Independencia lineal 59
1.8 Introducción a las transformaciones lineales 66
1.9 Matriz de una transformación lineal 74
1.10 Modelos lineales en los negocios, ciencia e ingeniería 84
Ejercicios complementarios 92
Autoevaluación 95
Capítulo 2 Álgebra de matrices 98
Modelos de computadora en el diseño de aeronaves 101
2.1 Operaciones de matrices 102
2.2 La inversa de una matriz 112
2.3 Caracterizaciones de matrices invertibles 121
2.4 Matrices particionadas 127
2.5 Factorizaciones de matrices 133
2.6 El modelo de Leontief de entrada y salida 142
2.7 Aplicaciones a los gráficos por computadora 148
2.8 Subespacios de Rn 156
2.9 Dimensión y rango 163
Ejercicios complementarios 170
Autoevaluación 172
Capítulo 3 Determinantes 174
Trayectorias aleatorias y distorsión 177
3.1 Introducción a los determinantes 178
3.2 Propiedades de los determinantes 183
v
vi Contenido
3.3 Regla de Cramer, volumen y transformaciones lineales 191
Ejercicios complementarios 199
Autoevaluación 202
Capítulo 4 Espacios vectoriales 204
Vuelo espacial y sistemas de control 207
4.1 Espacios y subespacios vectoriales 208
4.2 Espacios nulos, espacios columna y transformaciones lineales 216
4.3 Conjuntos linealmente independientes; bases 226
4.4 Sistemas de coordenadas 234
4.5 La dimensión de un espacio vectorial 243
4.6 Rango 248
4.7 Cambio de base 257
4.8 Aplicaciones a las ecuaciones en diferencias 262
4.9 Aplicaciones a cadenas de Markov 271
Ejercicios complementarios 280
Autoevaluación 283
Capítulo 5 Ortogonalidad y mínimos cuadrados 286
Base de datos geográficos de Norteamérica y sistema
de navegación GPS 289
5.1 Producto interior, longitud y ortogonalidad 290
5.2 Conjuntos ortogonales 298
5.3 Proyecciones ortogonales 307
5.4 Proceso de Gram-Schmidt 314
5.5 Problemas de mínimos cuadrados 320
5.6 Aplicaciones a modelos lineales 328
5.7 Espacios con producto interior 336
5.8 Aplicaciones de espacios con producto interior 343
Ejercicios complementarios 350
Autoevaluación 353
Capítulo 6 Números complejos 354
Fractales 357
6.1 Los números complejos como campo 359
6.2 Solución de ecuaciones de segundo grado en C 364
6.3 Interpretación geométrica de los números complejos 367
6.4 Representación polar 373
6.5 Raíces n-ésimas de números complejos 377
6.6 Los números complejos en la factorización de polinomios 384
Ejercicios complementarios 389
Autoevaluación 391
Contenido vii
Los capítulos 7, 8 y 9 se encuentran en el sitio Web del libro.
Capítulo 7 Valores propios y vectores propios
Sistemas dinámicos y búhos manchados
7.1 Vectores propios y valores propios
7.2 La ecuación característica
7.3 Diagonalización
7.4 Vectores propios y transformaciones lineales
7.5 Valores propios complejos
7.6 Sistemas dinámicos discretos
7.7 Aplicaciones a ecuaciones diferenciales
7.8 Estimaciones iterativas para valores propios
Ejercicios complementarios
Capítulo 8 Matrices simétricas y formas cuadráticas
Procesamiento de imágenes multicanal
8.1 Diagonalización de matrices simétricas
8.2 Formas cuadráticas
8.3 Optimización restringida
8.4 Descomposición en valores singulares
8.5 Aplicaciones al procesamiento de imágenes y estadística
Ejercicios complementarios
Capítulo 9 Geometría de espacios vectoriales
Los sólidos platónicos
9.1 Combinaciones afines
9.2 Independencia afín
9.3 Combinaciones convexas
9.4 Hiperplanos
9.5 Polítopos
9.6 Curvas y superficies
Apéndices
A Unicidad de la forma escalonada reducida A1
Glosario A3
Respuestas a los ejercicios con numeración impar A13
Respuestas a los ejercicios de autoevaluación A41
Índice analítico I1
Créditos de fotografía C1
Presentación de la edición para
cursos por competencias
El enfoque por competencias en la educación superior se va adoptando paulatinamente en
gran parte de las instituciones universitarias. Más allá de los esfuerzos que se realizan por
ofrecer capacitación a los profesores, y del interés que ellos muestran en prepararse para este
nuevo reto, hacen falta apoyos para comprender esta forma diferente de guiar a sus alumnos
en el aprendizaje.
El presente libro surge de la necesidad que existe en el nivel superior de materiales que
apoyen la práctica docente y la reflexión de los estudiantes en los cursos de álgebra lineal,
cuyos programas de estudios adoptan el enfoque por competencias.
Un segundo reto para los profesores es el cuidado con el que debe revisarse el álgebra
lineal en sus cursos, debido al nivel de abstracción que requiere y a su importancia dentro
de la matemática y en las distintas aplicaciones dentro de otras disciplinas como ingeniería,
computación y administración, entre otras.
Álgebra lineal para cursos con enfoque por competencias es una adaptación de la cuar-
ta edición del libro Álgebra lineal y sus aplicaciones, de David C. Lay. El libro ofrece una
introducción elemental actualizada al álgebra lineal, una amplia selección de aplicaciones
interesantes y brinda un importante apoyo para el uso de tecnología en el curso; además, con-
serva las características actualizadas y novedosas de esa edición, y proporciona a estudiantes
y profesores diversos elementos que apoyan su tarea.
En el caso de los estudiantes cuyo interés no es la matemática pura, el apoyo que se
brinda en este libro es de gran utilidad. Por ejemplo, al iniciar cada capítulo, se introducen or-
ganizadores gráficos que presentan una relación de los temas que se tratarán. Los organizado-
res se pueden consultar constantemente para tener una buena idea de cómo se relacionan los
conceptos. Al finalizar cada capítulo, el lector puede revisar individualmente su comprensión
de los conceptos mediante una autoevaluación.
El enfoque por competencias presentado en el libro también ayuda a los profesores
a manejar los temas de cada capítulo apoyados en el trabajo de los estudiantes, mediante
los problemas y ejercicios que se señalan para resolverse de forma individual o de manera
colaborativa. Así, se ofrece a los estudiantes la oportunidad de llevar cabo una reflexión
propia y grupal de la comprensión y conocimientos logrados. Por otro lado, los problemas
de práctica permiten a los profesores detectar si el concepto correspondiente fue realmente
comprendido o si es necesario reforzarlo.
Se incluye también una descripción de las competencias por desarrollar en cada capítulo,
así como de las actividades de aprendizaje que se llevan a cabo para desarrollarlas.
Confiamos en que este libro será un verdadero apoyo docente y dicente tanto desde la
disciplina del álgebra lineal como desde el enfoque de las competencias.
LO NUEVO EN ESTA ADAPTACIÓN
El objetivo de la adaptación realizada es presentar a profesores y estudiantes un libro cuyos
elementos y estructura apoyen la transición entre el enfoque conductual o por objetivos, y el
enfoque por competencias.
La estructura de la obra incorpora secciones específicas que ofrecen elementos para el
aprendizaje tanto desde el punto de vista disciplinar del álgebra lineal como desde el enfoque
de las competencias. Tales secciones se describen a continuación.
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